Sistemas lineares - métodos iteratiivos

Descrevemos os métodos de Gaus-Jacobi, Gaus-Seidel e de relaxação para obtenção de soluções para sistemas lineares.

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1. Sistemas lineares, métodos iterativos e Scipy Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ
2. A teoria sobre os métodos iterativos básicos está explicada no §3 do cap. 3 do livro texto Cálculo Numérico, aspectos teóricos e computacionais, de Ruggiero e Lopes.
3. Entretanto, tem apenas interesse didático! O método mais simples de todos é o de Gauss-Jacobi. Ele é uma extensão do método do ponto-fixo para sistemas lineares.
4. = Um sistema linear pode ser escrito na forma matricial. Ou ode ser escrito equação por equação.
5. Separando o termo x 1 da 1ª equação, o x 2 da 2ª (e assim por diante) e isolando x 1 na 1ª, x 2 na 2ª (e assim por diante), obtemos:
6. = 11 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ # = − e Se D e A# são as matrizes acima, então as equações indicadas pela Mestra ficam: = −1( − #)
7. +1 = −1( − #) para = 0, 1, 2, … , com 0 dado A partir dessa identidade vetorial criamos um método iterativo do tipo ponto-fixo para aproximar a solução x do sistema linear Ax = b. É o método de Gauss-Jacobi.
8. = 1,2, … , +1 ← 1 . =1 ≠ , para Na prática, trabalhamos com cada equação separadamente.
9. Professor, faça um exemplo, por gentileza. Eu me atrapalho bastante com somatórios. 50 + 21 + 2 = −1 0 + 31 − 2 = 0 0 − 21 + 42 = 5 Ok Loirinha. Vamos resolver o sistema linear abaixo pelo método de Gauss-Jacobi.
10. 50 = −1 − 21 − 2 31 = 0 − 0 + 2 42 = 5 − 0 + 2 1 É tudo muito simples, começamos isolando x 0 na 1ª equação, x 1 na 2ª e x 2 na 3ª. 0 = 1 5 (−1 − 21 − 2 ) 1 = 1 3 (0 − 0 + 2 ) 2 = 1 4 (5 − 0 + 21 )
11. 0 +1 = 1 5 (−1 − 21 − 2 ) 1 +1 = 1 3 (0 − 0 + 2 ) 2 +1 = 1 4 (5 − 0 + 21 ) E as equações de iteração ficam:
12. 0 ← 1 5 (−1 − 21 − 2 ) 1 ← 1 3 (0 − 0 + 2 ) 2 ← 1 4 (5 − 0 + 21 ) Computacionalmente, usamos um vetor y para guardar os novos valores do vetor x. Fazemos isso usando uma função vetorial que recebe o vetor x e devolve o vetor y.
13. Sendo muito prático Professora mostre-nos como se programa tudo isso. É prá já, Surfista. Eu mesmo vou fazer!
14. Nos três exemplos a seguir utilizamos um programa que define as equações de iteração e chama um dos programas desse módulo. Eu e a Professora criamos o módulo sis_lin_iter para guardar os métodos iterativos que usaremos.
15. Este é o programa do módulo.
16. Este é o programa chamador. Ele importa o gauss_jabobi e define as equações de iteração.
17. Muito lento, 54 iterações para um sistema 3x3 As 4 primeiras e as 4 últimas iterações.
18. Como eu disse, Surfista, o método de Gauss-Jacobi tem apenas interesse didático. Eis o resultado final.
19. Sim Professor. Ao calcular o novo valor da variável x k utilizamos todos os novos valores das variáveis x 0 , x 1 , ..., x k-1 . O método de Gauss-Seidel é uma modificação esperta do método de Gauss-Jacobi.
20. Ele é praticamente igual ao método de Gauss-Jacobi. Só que, ao calcular o novo x 10 , por exemplo, usamos os valores de x 0 , x 1 , ... , x 9 , que acabamos de calcular!
21. Não entendi! Vocês podem explicar melhor? 50 + 21 + 2 = −1 0 + 31 − 2 = 0 0 − 21 + 42 = 5 Ok Loirinha. Vou mostrar como fica no mesmo sistema linear que usei para o Gauss-Jacobi
22. 0 ← 1 5 (−1 − 21 − 2 ) 1 ← 1 3 (0 − 0 + 2 ) 2 ← 1 4 (5 − 0 + 21 ) Veja só como a ideia é simples:
23. Compare esta linha de código com a mesma no método de Gauss-Jacobi.
24. Compare esta iterEqs com a do método de Gauss-Jacobi.
25. Melhorou bastante. Agora são 30 iterações. Novamente, as 4 primeiras e as 4 últimas iterações.
26. Reduzimos em 44% (≅ 1-30/54) o número de iterações, apenas com a “modificação esperta”
27. Sim Professor. Vou mostrar a ideia na próxima transparência. O método de Gauss-Seidel com fator de relaxação é uma modificação do próprio método de Gauss-Seidel.
28. Na expressão acima, fator de ponderação é o ω (a letra grega ômega minúscula) Para calcular o novo xi usamos uma média ponderada entre os antigos.
29. u v ω u + (1-ω) v A ideia da ponderação. Quando = 1 temos o próprio método de Gauss-Seidel. Quando 0 < < 1 falamos em sub-relaxação e quando > 1 falamos em sobre-relaxação.
30. O fator de ponderação ω ótimo é calculado da forma abaixo.
31. O método implementado.
32. Continuação.
33. Chamando o método.
34. Novamente, as 4 primeiras e as 4 últimas iterações.
35. Reduzimos ainda mais o número de iterações.
36. Tchau, até a próxima aula!