Vetores e matrizes

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1. Espaços vetoriais, ℝ e × Prof. Paulo R. G. Bordoni LNCC UFRJ
2. Neste conjunto de transparências vocês vão revisar o conteúdo básico de vetores e matrizes.
3. Lembrem-se: Descartes (1637) e Fermat (1636) amarraram a Geometria de Euclides à Álgebra com o conceito de sistema de coordenadas. Eles foram contemporâneos ao Galileu.
4. A partir daí segmentos, retas e curvas puderam ser representados algebricamente por equações. Os sistemas de coordenadas permitiram identificar pontos por pares (, ) ∈ ℝ2 ou ternas (, , ) ∈ ℝ3 de coordenadas cartesianas.
5. = ( , ) = ( , ) De segmentos para segmentos orientados foi apenas um passo. Segmentos orientados permitiram representar algebricamente forças!
6. Meu célebre experimento do plano inclinado, que idealizei, para mostrar que a velocidade das bolas depende apenas da inclinação da canaleta e da massa delas, mas não da constituição física das bolas.
7. Mas porque você usou um plano inclinado, Galileu? Porque no plano inclinado o espaço a percorrer é maior que na vertical, Loirinha. Assim fica mais fácil perceber a diferença nos tempos de percurso para bolas de massas diferentes ou para inclinações distintas!
8. As três leis de Newton, estabelecendo o conceito de força de forma clara, foram apresentadas em seu famoso livro, publicado em 1687.
9. Para levantar uma caixa precisamos vencer sua resistência através de uma força, na direção oposta, maior que seu peso.
10. A composição de forças Forças possuem direção, sentido e intensidade
11. Uma relação de equivalência ℛ é uma relação, definida num conjunto (de fato em × ), satisfazendo as propriedades: • Reflexiva: ℛ • Simétrica: ℛ ⟹ ℛ • Transitiva: ℛ e ℛ ⟹ ℛ Um vetor-livre (livre de coordenadas) é a classe de equivalência de todos os segmentos orientados que possuem os mesmos tamanho, direção e sentido.
12. Dada uma relação de equivalência ℛ definida num conjunto , as classes de equivalência estão no chamado conjunto quociente /ℛ. Em outras palavras: ∈ Τ ℛ ⟺ ( ∀, ∈ ↔ ℛ ) A magnitude (tamanho, grandeza, intensidade) de um vetor-livre é a medida de qualquer segmento orientado da classe à que ele pertence. Idem para sua direção e sentido.
13. O conjunto dos vetores-livre /ℛ é o conjunto quociente de pela relação de equipolência ℛ definida no conjunto dos segmentos orientados em ℝ2 por ℛ ⟺ e possuem os mesmos ቐ tamanho direção sentido Portanto um vetor-livre é uma abstração matemática.
14. Cacilda, /ℛ é uma entidade geométrica imensa! Em cada ponto do plano um representante de cada vetor-livre! São os fogos de Ano Novo em Copacabana!
15. A formalização do conceito de vetor-livre (livre de coordenadas!) como classe de equivalência de segmentos orientados (flechas) com mesmo tamanho, direção e sentido (a equipolência) foi realizada em 1832, por Bellavitis.
16. O representante padrão de um vetor livre é aquele definido pelo segmento orientado com início na origem de ℝ2 e final no ponto de coordenadas (, ). O azul na figura abaixo:
17. A velocidade e a aceleração são exemplos clássicos de vetores-livre. Possuem direção, sentido e magnitude. Normalmente são aplicadas num ponto específico de um corpo – a força peso no centro de massa. O conceito de vetor-livre é extremamente utilizado em física e engenharias, por exemplo na composição de forças.
18. Portanto forças podem ser descritas/representadas por vetores-livre. E vetores-livre podem ser operacionalizados por matrizes-linha = 1 2 ou por matrizes-coluna, = 1 2 .
19. − v v Lembrem-se, o vetor-livre = é o vetor-livre multiplicado pelo fator . E isso corresponde, exatamente, à multiplicação entre números e matrizes linha/coluna: Se = 1 2 e ∈ ℝ então α = 1 2 .
20. + u v + u v Já o vetor-livre + , soma dos vetores-livre u e v, é obtido pela regra do paralelogramo: Novamente, isto corresponde à adição de matrizes-coluna: Se = 1 2 e = 1 2 então + = 1 + 1 2 +2 .
21. 1 2 2 1 1 , 2 Essa identificação de um vetor- livre a uma matriz-linha/coluna é o que chamamos de pulo do gato: Identificamos uma entidade com caraterísticas físico/geométricas a uma entidade com características algébricas. 1 2
22. Minha metade platônica treme em imaginar que, com tal identificação, vocês dois transportarão para matrizes-linha/coluna tudo o que percebemos com nossos sentidos. Matrizes-linha/coluna são do mundo das ideias. Já minha metade aristotélica acha ótimo estender a outros entes matemáticos nossa percepção euclidiana de distâncias e tamanhos, ângulos, a projeção de sombras...
23. A propósito, anotaremos por ℒ2 o conjunto das matrizes-linha de ordem 2 e por 2 o conjunto das matrizes coluna de ordem 2. A extensão dessa notação para o espaço tridimensional é imediata.
24. Essa identificação só terá sucesso, se conseguirmos garantir a correspondência entre: • A adição de vetores-livre em /ℛ via regra do paralelogramo. • E, a adição de matrizes-linha ou coluna em ℒ2 ou 2. E garantir também a correspondência entre: • A multiplicação de um vetor-livre em /ℛ por um fator de escala. • E, a multiplicação de uma matriz-coluna ou linha em 2 ou ℒ2 por um número real.
25. 2 1 v 2 1 u = + 1 2 Como os triângulos amarelos são iguais segue que = + se, e só se 1 2 = 1 2 + 1 2 . Essa é a correspondência solicitada pela Professora.
26. 2 1 = 1 2 v Como os triângulos cor de rosa e hachurado de verde são proporcionais e o fator de proporcionalidade é , segue que = se, e só se 1 2 = 1 2 . Esta é a correspondência pedida pelo Professor.
27. Acabamos de conferir que a identificação entre vetores-livre e matrizes-coluna (ou linha) preserva a correspondência entre as operações de adição e multiplicação por fator de escala. Identificações que preservam operações, como essa, são importantíssimas e recebem o nome de isomorfismos.
28. = 1 2 3 1 2 3 O mesmo vale para três dimensões: identificaremos o vetor-livre com representante padrão em 1 , 2 , 3 ∈ ℝ3 a uma matriz-coluna = 1 2 3 ∈ 3.
29. Matrizes-coluna /linha são do mundo das ideias, não admitem tais limitações! Um último detalhe: Os vetores-livres são entidades com características geométricas, por isso mesmo limitadas ao plano e ao espaço euclidianos.
30. Esse é o pulo-do-gato Platão! Matrizes-coluna de ordem n permitem abstrair o conceito de vetor-livre para n-dimensões. Explique-se, Mestre!
31. A adição é efetuada elemento a elemento, + = 1 2 ⋮ + 1 2 ⋮ = 1 + 1 2 + 2 ⋮ + e a multiplicação por escalar também, = 1 2 ⋮ = 1 2 ⋮ . A extensão para dimensões é imediata, Loirinha:
32. Não custa lembrar que uma igualdade = entre matrizes-coluna de ordem = 1 2 ⋮ e = 1 2 ⋮ corresponde a igualdades escalares: 1 = 1 , 2 = 2 , ⋯ , = .
33. Resumindo tudo: Vetores-livre, matrizes-linha e matrizes coluna são a mesma coisa, a menos de adjetivos qualificativos. Por esse motivo passaremos a chamá-los apenas de vetores e usaremos, desabusadamente, o símbolo ℝ para representar o espaço deles.
34. O tamanho de um vetor ∈ ℝ, = 1 2 ⋮ , é dado por = 1 2 + 2 2 + ⋯ + 2 . Mais adiante usaremos o termo norma para nos referirmos ao tamanho de um vetor ∈ ℝ. Usaremos também a notação para indicá-la, parecida com − o valor absoluto de um número real .
35. Trata-se apenas de uma generalização imediata do teorema de Pitágoras: 2 = 2 + 2, sendo a hipotenusa e e os catetos de um triângulo retângulo. Sim, basta considerar a raiz quadrada de 2 com sinal +.
36. O produto escalar de dois vetores de ℝ ℓ = ℓ1 ℓ2 ⋮ ℓ e = 1 2 ⋮ é dado por ℓ, = ℓ1 1 + ℓ2 2 + ⋯ + ℓ . Mais adiante veremos que ele também é chamado de produto interno entre ℓ e . É claro que = , .
37. Mestres, eu aprendi que o produto escalar entre dois vetores de ℝ2 é dado por ∙ = cos , onde é o ângulo entre e . Eu também. É a mesma coisa?
38. Sim meus filhos, lembrem-se que a projeção de no eixo- é dada por = cos(α) e a no eixo- por = sen α . A mesma coisa para o vetor = cos() e = sen(). Confiram na figura: = −
39. Agora, da identidade trigonométrica cos( − ) = cos cos() + ()(), dividindo por obtemos ∙ = cos( − ) = cos cos() + ()() Lembrando das expressões das projeções obtemos cos cos() + () () = + = ,
40. Efetuaremos a seguir uma abstração gigantesca, uma dos maiores que a humanidade já fez ! Estabeleceremos o conceito abstrato de espaço vetorial.
41. O conceito abstrato de espaço vetorial.
42. Vamos romper com a visualização. Mergulhar profundamente no mundo das ideias! Inclusive combinar que tudo que estiver em cinza ou preto refere-se a conceitos abstratos sobre espaços vetoriais.
43. 1800 1820 1840 1860 1900 1920 1880 Poncelet Chasles Bolzano Möebius Grassmann Hilbert Peano Banach Schmidt Bellavitis Argand Cayley Laguerre Hamilton MacTutor History of Mathematics Article by: J J O'Connor and E F Robertson http://www-history.mcs.st- andrews.ac.uk/HistTopics/Abstract_linear_spaces.html A evolução do conceito de espaço vetorial levou mais de um século: todo o século XIX e mais duas décadas. Veja abaixo quem contribuiu, e quando. Na página seguinte, como.
44. Ano Matem. Contribuição Comentário 1804 Bolzano Axiomatização da geometria Bases para o conceito de espaço vetorial 1814 Argand Os complexos como pontos no plano Pares ordenados de números reais 1822 Poncelet Geometria projetiva Abstração 1827 Möebius Coordenadas e cálculo baricêntrico 1832 Bellavitis Segm. orient. , soma, escala, equipolência Fundamental p/ o conceito de vetor livre 1834 1843 Hamilton Complexos como vetores no plano. Quaternions 1837 Chasles Geometria projetiva 1857 Cayley Álgebras matriciais 1844 Grassmann Álgebras abstratas (de Grassmann) Dependência e indep. linear, dim. 1867 Laguerre Matriz de sist.linear, adição, escala, mult. Matrizes como espaço vetorial 1888 Peano Formalização completa do conceito de espaço vetorial Um homem muito adiante do seu tempo 1890 Pincherle Operadores lineares em esp. dim. infinita 1904 Hilbert A teoria do espaços de dim. infinita O maior matemático de seu tempo 1908 Schmidt Linguagem geométrica p/ esp. de Hilbert Orientado de Hilbert 1920 Banach Axiomatização completa de esp. vetorial Tese de doutorado – marco inicial da Análise Funcional
45. Surfista, dada a importância do tema, vá vestir um smoking. Você ficou um gatinho, Surfista! Ok, Mestra, já vesti!
46. Os elementos de serão chamados vetores e os de ℝ escalares. Um espaço vetorial = ( , ℝ , +, ∙ ) sobre os reais, é constituído por um conjunto V, e duas operações + ∶ × → e ∙ ∶ ℝ × → .
47. Para , , : 1. Comutatividade: + = + 1. Associatividade: + + = + ( + w) 3. O vetor nulo, 0, é o elemento neutro para a adição de vetores: 0 + = 4. Cada vetor tem seu oposto: + (−) = 0 A operação de adição de vetores + ∶ × → , , ⟼ + satisfaz as quatro propriedades:
48. Para , ∈ , , : 1. 1ª distributividade : ∙ + = ∙ + ∙ 2. 2ª distributividade: (α + ) ∙ = ∙ + ∙ 3. Uma associatividade: () ∙ = ∙ ( ∙ ) 4. O 1 é o elemento neutro multiplicativo: 1 ∙ = A operação de multiplicação por fator de escala ∙ ∶ ℝ × → , , ⟼ ∙ satisfaz outras quatro propriedades:
49. No restante dessa aula e na próxima veremos alguns exemplos de espaços vetoriais. Repetindo, usaremos uma metalinguagem gráfica: • para a teoria abstrata de espaços vetoriais usaremos a preto e cinza. • para os exemplos, outras cores.
50. Surfista, é uma questão de rotina provar que os vetores de ℝ (os que já definimos) satisfazem as oito propriedades enunciadas pela Mestra na definição de espaço vetorial. Portanto posso afirmar que os vetores de ℝ constituem um espaço vetorial.
51. Apresentarei a seguir o espaço vetorial ℳ× das matrizes × .
52. Lembrem-se, uma matriz × é uma tabela de com m linhas e n colunas. Como abaixo. Para resumir tudo isso, escrevemos = [ ]. Cada é um número real, posicionado no cruzamento da linha i com a coluna j. Sim, lembro-me lá do 2º grau: = 11 12 21 22 ⋯ 1 2 ⋮ ⋱ ⋮ 1 2 ⋯ m linhas n colunas
53. Recordem ainda que uma igualdade = , entre matrizes de ordem × , = e = corresponde a × igualdades escalares: = = … = = = … = ⋮ = ⋮ = ⋮ … =
54. Mestres, qual a conexão entre matrizes e vetores? Se elas são vetores, onde escondem suas flechas? Esqueça as flechas, Loirinha
55. No 2º grau aprendemos a somar matrizes e multiplicá-las por números reais. Só falta verificar que elas satisfazem as oito propriedades. De acordo com a definição abstrata, vetores são “apenas” entidades abstratas (objetos, coisas, ...) que podem ser somadas e escaladas. E precisam cumprir as oito propriedades listadas na definição.
56. Por exemplo: 2.0 3.0 1.0 −1.0 0. 2.5 + 0.5 −0.5 2.0 1.0 1.0 −1.0 = 2.5 2.5 3.0 0. 1.0 1.5 Confirmando, a soma entre entre uma matriz = [ ] e uma matriz = [ ], ambas de ℳ× , é a matriz de ℳ× dada por + = [ + ].
57. Para = 2. e = 1.1 0.7 −1.4 2.3 temos = 2.∗ 1.1 2.∗ 0.7 2 ∗ (−1.4) 2 ∗ 2.3 = 2.2 1.4 −2.8 4.6 . E o produto por escalar entre um número real e uma matriz = [ ] de ℳ× é a matriz de ℳ× definida por = [ ].
58. Novamente, é um trabalho de rotina conferir que as operações com matrizes de ℳ× e números reais satisfazem as oito regras da definição de espaço vetorial. Surfista, sobrou para você! Confira a afirmação do Sherlock.
59. O conjunto ℳ× das matrizes de ordem × com as operações de adição e multiplicação por fator de escala constitui um espaço vetorial. So, never forget:
60. Alguma vezes será conveniente olhar para uma matriz ∈ ℳ× como um vetor linha formado por n vetores coluna de ordem m = 1 2 ⋯ = 11 21 ⋮ 1 12 22 ⋮ 2 ⋯ 1 2 ⋮ Uma radiografia dos ossos verticais da matriz .
61. Uma radiografia dos ossos horizontais da matriz . Outras vezes, como um vetor coluna formado por m vetores linha de ordem n = 1 2 ⋮ = 11 12 ⋯ 1 21 22 ⋯ 2 ⋮ 1 2 ⋯
62. Em FORTRAN: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⟼ 1 4 7 2 5 8 3 6 9 Em Python, C, C++ e Java: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⟼ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Em FORTRAN, as matrizes são armazenadas na memória dos computadores como um grande vetor, coluna após coluna (pendurando os ossos verticais) . Já em Python, C, C++ e Java, elas são armazenadas linha após linha (enfileirando os ossos horizontais) .
63. Dada uma matriz de ordem × e outra de ordem × , o produto delas, nessa ordem, é a matriz de × definida por: = 11 12 ⋯ 1 21 22 ⋯ 2 ⋮ 1 ⋮ 2 ⋱ ⋯ ⋮ Confira Surfista: os × elementos de estão posicionados nos cruzamentos dos ossos horizontais de com os ossos verticais de .
64. Não entendi nem gostei desse papo sinistro cruzamento de ossos horizontais com ossos verticais! Oh Loirinha, todos os produtos das linhas , = 1,2, ⋯ , de pelas colunas de , = 1,2, ⋯ , de : os números = 1 1 + 2 2 + ⋯ +
65. Loirinha, os mestres estão afirmando para colocar o número na posição da matriz produto. Uma caveira no cruzamento de cada osso horizontal com vertical. Kkkk! Piada detestável Surfista. Até parece um coveiro de cemitério!
66. Aplicações (ou transformações) lineares são funções : → , de um espaço vetorial em um espaço vetorial satisfazendo as propriedades: • + = + (), para , ∈ . • = (), para ∈ ℝ e ∈ . Observe que transformações lineares preservam as operações de adição de vetores e de multiplicação por escalar: • Se → T e → T então + → T + • Se → T e ∈ ℝ então → T
67. Toda matriz ∈ ℳ× define uma aplicação linear : ℝ → ℝ , ⟼ = . Mostre como, Mestra. Assim: = = 1 2 ⋮ onde = [1 , 2 , ⋯ , ] é -ézimo osso horizontal de .
68. E como já vimos, = 1 1 + 2 2 + ⋯ + . E o vetor resultante é obtido repetido isso para cada valor de , de 1 até . Confirmando: para cada osso horizontal de um número real .
69. Surfista, dada a matriz = 1 2 3 6 5 1 9 2 7 4 2 1 e o vetor = 1 0 2 calcule o vetor = . Fácil-fácil, Mestra: = ∙ = 1 ∗ 1 + 2 ∗ 0 + 3 ∗ 2 6 ∗ 1 + 5 ∗ 0 + 1 ∗ 2 9 ∗ 1 + 7 ∗ 0 + 2 ∗ 2 2 ∗ 1 + 4 ∗ 0 + 1 ∗ 2 = 1 + 0 + 6 6 + 0 + 2 9 + 0 + 4 2 + 0 + 2 = 7 8 13 4
70. É óbvio que essa multiplicação matriz –vetor define uma transformação linear. Claro, pois: • + = + , ∀, ∈ ℝ e • = , ∀ ∈ ℝ, ∀ ∈ ℝ .
71. Seja = uma matriz × com colunas e = um vetor de ℝ. Podemos entender o vetor produto = como uma combinação linear das colunas de . Sim, é só pensar na radiografia dos ossos verticais de : = 1 1 + 2 2 + ⋯ + .
72. Basta observar que 2 1 + 2 2 + ⋯ + = = 1 1 + 2 2 + ⋯ + = = 11 21 ⋮ 1 1 + 12 22 ⋮ 2 2 + ⋯ + 1 2 ⋮ = = 11 1 + 12 2 + ⋯ + 1 21 1 + 22 2 + ⋯ + 2 ⋮ 1 1 + 2 2 + ⋯ + = 1 2 ⋮ =
73. Os escalares 1 , 2 , ⋯ , ∈ ℝ são denominados coordenadas de relativas aos 1 , 2 , ⋯ , Seja um espaço vetorial. O termo usado para expressões do tipo = 1 1 + 2 2 + ⋯ + onde 1 , 2 , ⋯ , ∈ e 1 , 2 , ⋯ , ∈ ℝ é combinação linear.
74. Um subespaço de um espaço vetorial é um subconjunto ⊆ que é um espaço vetorial com as operações que herda de . Atenção para as propriedades de fechamento: , ∈ ⟹ + ∈ ∈ ℝ , ∈ ⟹ ∈
75. Como a aplicação : ℝ → ℝ é linear sua imagem (ℝ) ⊆ ℝ é um subespaço de ℝ. E como os vetores de (ℝ) são combinações lineares das colunas de ele é denominado espaço coluna de .
76. x y = / v Para qualquer vetor não-nulo , o vetor e definido por Τ = é unitário. Ele é dito versor associado a . Lembrem-se: Se, p/ex., = então = 2 + 2. Versores são ferramentas para estabelecer direção, sentido de percurso e unidade de medida (o tamanho da unidade).
77. v i j k Em física e engenharia os versores das direções dos três eixos x, y, z são anotados i, j ,k. Temos: = 1 0 0 , = 0 1 0 , = 0 0 1 . Dado um vetor = 1 2 3 do espaço ℝ3 é imediato que: = 1 + 2 + 3 .
78. Também é claro que se = 1 2 ⋮ então = 1 1 + 2 2 + ⋯ + . No espaço euclidiano n-dimensional os versores correspondentes aos eixos 1 , 2 , ⋯ , são 1 = 1 0 0 ⋮ 0 , 2 = 0 1 0 ⋮ 0 , ⋯ , = 0 0 ⋮ 0 1
79. Outra definição importante é a de conjunto gerador de subespaço: Seja um espaço vetorial. O conjunto de todas as combinações lineares geradas por vetores 1 , 2 , ⋯ , ∈ é denominado subespaço gerado por eles. É usual anotá-lo 1 , 2 , ⋯ , .
80. Um conjunto de vetores 1 , 2 ⋯ , é dito linearmente independente (LI) quando, e apenas quando valer a implicação 1 1 + 2 2 + ⋯ + = 0 ⟹ 1 = 2 = ⋯ = = 0. Caso contrário é linearmente dependente (LD). A justificativa para o termo é simples: Se, por exemplo, 1 ≠ 0 em 1 1 + 2 2 + ⋯ + = 0 então podemos dividir essa expressão por 1 , obtendo 1 = (− Τ 2 1 ) 2 + ⋯ + (− Τ 1 ) .
81. Portanto os vetores em 1 , 2 ⋯ , dependem uns dos outros – não são independentes! Eu nunca tinha pensado dessa forma, colega!
82. Um conjunto de vetores β = 1 , 2 , ⋯ , é uma base de um espaço vetorial quando: 1. Gera , isto é, todo ∈ se escreve como combinação linear de vetores de β, 2. β é LI. Para todo espaço vetorial temos apenas duas possibilidades: 1ª - Ou toda base possui um mesmo número máximo de vetores 2ª - Ou não.
83. Dito de outra forma: uma base de um espaço vetorial V é um subconjunto linearmente independente maximal. Maximal e finito significam: se ∉ então ∪ será LD.
84. O argumento para a finitude é o seguinte: 1. No caso finito: • Se acrescentarmos um vetor à ela deixará de ser LI. • Se excluirmos um vetor de ela deixará de gerar . 2. No outro caso: • Acrescentando um vetor à ela continuará LI (esta é a propriedade que define os naturais ℕ). • Não há como gerar de outra forma (sem acrescentar mais vetores).
85. No 1º caso, dizemos que tem dimensão finita e anotamos = . No 2º caso dizemos que tem dimensão infinita enumerável e escrevemos = ℵ0 . (leia Aleph zero).
86. Espaços vetoriais de dimensão infinita Mestra ? Nunca ouvi falar ! Você está na UFRJ para aprender bem mais que em outras Un[zb,s.
87. Portanto = 1 , 2 , ⋯ , , ⋯ e = σ=1 ∞ , uma série para qualquer ∈ ? Não Surfista, apenas que: ∈ ⟹ = ෍ ∈ para algum subconjunto finito ⊂ ℕ .
88. Explique melhor Mestra. Algumas vezes o Mestre me confunde! Combinações lineares são somas envolvendo apenas um número finito de vetores, sempre ! Assim para qualquer vetor ∈ , existe um subconjunto finito de vetores ⊂ 1 , 2 , ⋯ , , ⋯ e = ෍ ∈
89. Tchau, até a próxima aula!