2026年度秋学期　画像情報処理　第1部・画像のサンプリングと周波数／第5回　離散フーリエ変換，フーリエ変換の実例

2026年度秋学期画像情報処理第1部・画像のサンプリングと周波数／第5回離散フーリエ変換，フーリエ変換の実例関西大学総合情報学部浅野晃

離散フーリエ変換🤔🤔 2 20

サンプリングされた関数のフーリエ変換サンプリング fT (x) = f (x)combT (x) fT(x) 輝度f(x)
δ(x–T) δ(x) × δ(x–nT) ... ... ＝ ... x x 位置x T サンプリングされた関数のフーリエ変換 F T [fT (x)](ν) = F T [f (x)combT (x)](ν) ∞ = f (x)combT (x) exp(−i2πνx)dx −∞ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 3 26

サンプリングされた関数のフーリエ変換 FT[f(x)](ν) f(x) フーリエ変換 –νc x νc ν サンプリングフーリエ変換
fT(x) FT[fT(x)](ν) ... ... ν x T 1/T 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 4 26

fT(x) FT[fT(x)](ν) ... ... ν x T 1/T こちらは離散的だが 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 4 26

fT(x) FT[fT(x)](ν) ... ... ν x T こちらは離散的だが 1/T こちらは離散的でない→コンピュータで扱えない 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 4 26

周波数空間でもサンプリング［実空間］［周波数空間］ FT[fT(x)](ν) 間隔1 / T [1/mm] fT(x) 間隔T
[mm] フーリエ変換 ν [1/mm] x 周波数空間で，１周期あたり N 点のサンプリングをする ν [1/mm] FT[fT(x)](n) 間隔 1 / NT [1/mm] 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 5 26

実空間ではどうなる？実空間でサンプリング→周波数空間で周期的に現れる周波数空間でサンプリング→実空間で周期的に現れる［実空間］［周波数空間］ FT[fT(x)](ν) と見ると 1 / T
[1/mm] fT(x)とみると T [mm] フーリエ変換 ν [1/mm] x n u(n)とみると 1[刻み] = 1[T(mm)] 離散フーリエ変換 x[mm] n[刻み] N[刻み] = N[T(mm)] = NT[(mm)]周期の周期関数とみなしている FT[fT(x)](n) とみると 1 / NT [1/mm] ν [1/mm] k[刻み] U(k) とみると 1[刻み] 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 6 26

「周波数空間でサンプリング」とは周波数空間でサンプリング→実空間で周期的に現れる 🤔🤔 周波数空間でサンプリング，つまり「周波数がとびとび」それはつまり波長 L f(x) = 波長
L/2 + 波長 L/n 波長 L/3 + +…+ +… フーリエ級数ということは，周期関数を三角関数の足し合わせで表している 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 7 26

離散フーリエ変換［実空間］［周波数空間］ FT[fT(x)](ν) と見ると 1 / T [1/mm] fT(x)とみると
T [mm] フーリエ変換 ν [1/mm] x n u(n)とみると 1[刻み] = 1[T(mm)] 離散フーリエ変換 x[mm] n[刻み] N[刻み] = N[T(mm)] = NT[(mm)]周期の周期関数とみなしている ν [1/mm] FT[fT(x)](n) とみると 1 / NT [1/mm] k[刻み] U(k) とみると離散フーリエ変換は 1[刻み] ここの計算になっている 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 8 26

離散フーリエ変換元のフーリエ変換とはだいぶ違う［実空間］［周波数空間］ FT[fT(x)](ν) と見ると 1 / T [1/mm]
fT(x)とみると T [mm] フーリエ変換 ν [1/mm] x n u(n)とみると 1[刻み] = 1[T(mm)] 離散フーリエ変換 x[mm] n[刻み] N[刻み] = N[T(mm)] = NT[(mm)]周期の周期関数とみなしている ν [1/mm] FT[fT(x)](n) とみると 1 / NT [1/mm] k[刻み] U(k) とみると離散フーリエ変換は 1[刻み] ここの計算になっている 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 8 26

fT(x)とみると T [mm] フーリエ変換 ν [1/mm] x これが元のフーリエ変換 n u(n)とみると 1[刻み] = 1[T(mm)] 離散フーリエ変換 x[mm] n[刻み] N[刻み] = N[T(mm)] = NT[(mm)]周期の周期関数とみなしている ν [1/mm] FT[fT(x)](n) とみると 1 / NT [1/mm] k[刻み] U(k) とみると離散フーリエ変換は 1[刻み] ここの計算になっている 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 8 26

fT(x)とみると T [mm] フーリエ変換 ν [1/mm] x これが元のフーリエ変換 n u(n)とみると 1[刻み] = 1[T(mm)] こっちが離散フーリエ変換離散フーリエ変換 x[mm] n[刻み] N[刻み] = N[T(mm)] = NT[(mm)]周期の周期関数とみなしている ν [1/mm] FT[fT(x)](n) とみると 1 / NT [1/mm] k[刻み] U(k) とみると離散フーリエ変換は 1[刻み] ここの計算になっている 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 8 26

数列の計算にする元の関数は忘れて，サンプリングされたものを数列とみなすデルタ関数の並びではなく，単に間隔 T でとびとびに取り出された関数の値を数列 u(n) とするデルタ関数の並びの積分だったのが →数列の場合は，そこの値を合計するだけ
x[s] 離散フーリエ変換(DFT) U (k) = N −1 n=0 k (k = 0, 1, . . . , N − 1) u(n) exp −i2π n N 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 9 26

離散フーリエ変換［実空間］［周波数空間］ FT[f (x)](ν) と見ると T 1 / T
[1/mm] f (x)とみると T T [mm] フーリエ変換の離散フーリエ変換は ν [1/mm] x n u(n)とみると 1[刻み] = 1[T(mm)] 実際には … 離散フーリエ変換 x[mm] n[刻み] N[刻み] = N[T(mm)] = NT[mm]周期の周期関数とみなしている FT[fT(x)](n) とみると 1 / NT [1/mm] U(k) とみると 1[刻み] ν [1/mm] … … k[刻み] … という周期関数とみなしている 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 10 26

フーリエ変換の実例💡💡 (MATLABを使って示します） 11 20

テキスト付録1：周波数空間でのサンプリングと，実空間での周期関数の関係🤔🤔 12 20

「周波数空間でサンプリング」とは周波数空間でサンプリング→実空間で周期的に現れる 🤔🤔 周波数空間でサンプリング，つまり「周波数がとびとび」それはつまり波長 L f(x) = 波長
L/2 + 波長 L/n 波長 L/3 + +…+ +… フーリエ級数ということは，周期関数を三角関数の足し合わせで表している 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 13 26

「実空間の周期関数」のほうから考えてみる f (x) T 間隔T × 実空間でサンプリングされた関数 fT(x) x 1
rect(x) = 0 1 1 (|x| > 2 ) 1 (|x| < 2 ) = 幅NT x x 幅 NT だけ切り出す矩形関数 rect( ) NT 切り出した x x ) fT (x) × rect( NT 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 14 26

サンプリングして，さらに周期関数にする切り出された x ＊コンヴォリューション … 間隔 NT のくし形関数 combNT(x)
… x 間隔NT 周期 NT の周期関数にした = … x ) fT (x) × rect( NT … x x ) ∗ combN T (x) fT (x) × rect( NT 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 15 26

そのフーリエ変換は周期 NT の周期関数になった … … x x ) ∗
combN T (x) fT (x) × rect( NT そのフーリエ変換は x F T [f (x)combT (x) × rect( ) ∗ combN T (x)] NT x = F T [f (x)combT (x)] ∗ F T [rect( )] × F T [combN T (x)] NT フーリエ変換すると ×→＊＊→× かけ算はコンヴォリューションにコンヴォリューションはかけ算に 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 16 26

矩形関数のフーリエ変換は x 幅 a の矩形関数 rect( ) の a フーリエ変換は
1 x 幅NT x F T [rect( )] = a sinc関数といい，sinc(aν) で表す 1 a 0 ∞ x rect( ) exp(−i2πνx)dx a −∞ a 2 exp(−i2πνx)dx = − a2 a 1 2 [exp(−i2πνx)]− a = 2 −i2πν 1 (exp(iπaν) − exp(−iπaν)) = i2πν sin(aπν) = πν 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 17 26

サンプリング／周期化してフーリエ変換すると周期 NT の周期関数になった … … x これのフーリエ変換は x )
∗ combN T (x) fT (x) × rect( NT ν ) F T [fT (x)] × comb 1 (xν) ∗ sinc( NT 1/(N T ) 実空間でサンプリングされた fT(x) のフーリエ変換を間隔 NT でサンプリング FT[fT(x)](ν) 間隔1 / T ν 間隔 1 / NT ν 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 18 26

サンプリング／周期化してフーリエ変換すると周期 NT の周期関数になった … … x これのフーリエ変換は x )
∗ combN T (x) fT (x) × rect( NT ν ) F T [fT (x)] × comb 1 (xν) ∗ sinc( NT 1/(N T ) 実空間でサンプリングされた fT(x) のフーリエ変換を間隔 NT でサンプリングこっちは？ FT[fT(x)](ν) 間隔1 / T ν 間隔 1 / NT ν 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 18 26

sinc関数はどうなるのか？ ν ) F T [fT (x)] × comb 1
(xν) ∗ sinc( NT 1/(N T ) 実空間でサンプリングされた fT(x) のフーリエ変換を間隔 NT でサンプリング FT[fT(x)](ν) 間隔1 / T デルタ関数の間隔 1/(NT) の並びと sinc関数のコンヴォリューション ν sinc関数 sinc( )が 1/(NT) ν 間隔 1 / NT ν 間隔 1/(NT) で並ぶ 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 26

sinc関数はどうなるのか？ ν ) F T [fT (x)] × comb 1
(xν) ∗ sinc( NT 1/(N T ) 実空間でサンプリングされた fT(x) のフーリエ変換を間隔 NT でサンプリング FT[fT(x)](ν) 間隔1 / T デルタ関数の間隔 1/(NT) の並びと sinc関数のコンヴォリューション ν sinc関数 sinc( )が 1/(NT) ν 間隔 1 / NT ν 間隔 1/(NT) で並ぶ ν sinc( ) は間隔 1/(NT) ごとにゼロになるから， 1/(NT) 間隔 1/(NT) で並んだsinc関数の影響はない 1 NT 0 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 19 26

テキスト付録2：離散フーリエ変換するとデータサイズが2倍に増えているのか？🤔🤔 20 20

離散フーリエ変換の結果は複素数 N個の実数値は，N個の複素数値に変換される複素数は a + bi の形で，2つの実数の組になっている離散フーリエ変換によって，データの大きさが2倍になっているのか？🤔🤔 そんなことはないはずです。
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離散フーリエ変換と対称性数列 u(n) を離散フーリエ変換したものが数列 U(k) であるとき ∗ U (N
− k) = U (k) という対称性がある *は複素共役 U = a + bi のとき, U ∗ = a − bi なぜならば，👉👉 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 22 26

離散フーリエ変換と対称性数列 u(n) を離散フーリエ変換したものが数列 U(k) であるとき ∗ U (N
− k) = U (k) なぜならば，👉👉 u(n) が実数ならば，u ∗(n) = u(n) なので ∗ U (N − k) = = N −1 n=0 N −1 n=0 N −k n) u (n) exp(i2π N ∗ −k n) u(n) exp(i2πn) exp(i2π N 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 23 26

離散フーリエ変換と対称性 ∗ U (N − k) = = N −1
n=0 N −1 n=0 N −k n) u (n) exp(i2π N ∗ −k n) u(n) exp(i2πn) exp(i2π N n が整数のとき指数関数と三角関数の関係から exp(i2πn) = cos(2πn) + i sin(2πn) = 1 + 0 = 1，よって ∗ U (N − k) = N −1 n=0 −k u(n) exp(i2π n) = U (k) N 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 24 26

やっぱりデータサイズは2倍にはなってない n が整数のとき指数関数と三角関数の関係から exp(i2πn) = cos(2πn) + i sin(2πn)
= 1 + 0 = 1，よって ν [1/s] これが元のフーリエ変換こっちが離散フーリエ変換 ν [1/s] U(0) N U( ) 2 ∗ u(n) が実数ならば，U (k) = U(N − k) なので離散フーリエ変換で表されている最大の周波数は N/2 は対称「指数関数2つの組でひとつの波」だから，当然といえば当然ですね💬💬 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部浅野晃 25 26

第２部へ第２部は画像データ圧縮画像の細かいところを，見た目にはわからないようにごまかして，データ量を減らす「細かいところ」はどのように表現されるか？ →周波数で表現される 2026年度秋学期画像情報処理／関西大学総合情報学部
浅野晃 26 26

第２部へ第２部は画像データ圧縮画像の細かいところを，見た目にはわからないようにごまかして，データ量を減らす「細かいところ」はどのように表現されるか？ →周波数で表現されるそういうわけで，もう少しフーリエ変換とおつきあいください。 2026年度秋学期画像情報処理／
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第２部へ第２部は画像データ圧縮画像の細かいところを，見た目にはわからないようにごまかして，データ量を減らす「細かいところ」はどのように表現されるか？ →周波数で表現されるそういうわけで，もう少しフーリエ変換とおつきあいください。もっと一般的な原理から説明します。まずは数学の「行列」から。 2026年度秋学期画像情報処理
／関西大学総合情報学部浅野晃 26 26

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