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Master Mathematical Analysis and Applications Course M1 - S1 Image
processing - Restoration - Week 8-10 Mohammed Hachama [email protected] http://hachama.github.io/home Saad Dahlab University - Blida 1 -February 2021-

Bruit Filtrage spatial Filtrage fr´ equentiel Filtrage morphologiques D´ econvolution
Plan 1. Bruit 2. Filtrage spatial 3. Filtrage fr´ equentiel 4. Filtrage morphologiques 5. D´ econvolution Image processing (week 8-10) -Restoration- (2/21) M. Hachama ([email protected])

Description du bruit • Diﬀ´ erentes perturbations d´ egradant les images • ´ etalonnage de l’appareil, • mauvaises conditions d’acquisition : nuages pour les photos a´ eriennes,manque de luminosit´ e etc ... • vieillissement des supports (photographies ou ﬁlms anciens), • artefacts num´ eriques lors de reconstructions ` a partir des donn´ ees physiques (comme en tomographie par exemple). Image processing (week 8-10) -Restoration- (4/21) M. Hachama ([email protected])

Description du bruit • Estimation du bruit • Rapport signal sur bruit (SNR : Signal to Noise Ratio) d’un signal x entach´ e d’un bruit b sur un intervalle de temps ﬁni I (en d´ ecibels dB) : SNR = 20 · log10 x b • Le SNR peut ˆ etre obtenu (exp´ erimentalement) grˆ ace ` a l’´ etalonnage des instruments de mesure. Image processing (week 8-10) -Restoration- (4/21) M. Hachama ([email protected])

Description du bruit • Bruit additif gaussien (centr´ e) d’´ ecart-type σ : ub = u + bσ • Bruit additif uniforme : ub = u + b • Bruit non lin´ eaire poivre et sel : ub = f (u) Image processing (week 8-10) -Restoration- (4/21) M. Hachama ([email protected])

Description du bruit • Bruit multiplicatif (donc proportionnel ` a l’intensit´ e lumineuse) : ub = u · (1 + bσ ) Exp. Le chatoiement (speckle) : petites taches rapidement ﬂuctuantes qui donnent un aspect granuleux. Image processing (week 8-10) -Restoration- (4/21) M. Hachama ([email protected])

Description du bruit Image processing (week 8-10) -Restoration- (4/21) M. Hachama ([email protected])

Description du bruit • Densit´ e gaussienne : P(z) = 1 σ √ 2π e−(z−µ)2 2σ2 • Bruit thermique, appareils, ... • Densit´ e de Rayleigh : P(x) = x σ2 exp −x2 2σ2 • Image de profondeur (depth), ... Image processing (week 8-10) -Restoration- (4/21) M. Hachama ([email protected])

Description du bruit • Densit´ e exponentielle : f (x) = λe−λx ; si x 0 0 ; si x < 0 • Laser, ... • Poivre et sel : P(w) = pw , P(b) = pb , P(x) = 0 sinon • Uniforme : P(x) = cst Image processing (week 8-10) -Restoration- (4/21) M. Hachama ([email protected])

Description du bruit • Bruit p´ eriodique • Des pics anormaux dans le domaine de Fourier Image processing (week 8-10) -Restoration- (4/21) M. Hachama ([email protected])

Description du bruit • Flou : convolution ` a eﬀet fortement r´ egularisant ub = u ∗ gσ Image processing (week 8-10) -Restoration- (4/21) M. Hachama ([email protected])

Restauration d’images • Am´ eliorer la qualit´ e visuelle des images • M´ ethodes objectives • Filtrage passe-bas/Filtrage spatial • Filtres non lin´ eaires : m´ edian, ... • Filtre de rehaussement • M´ ethodes subjectives • Mod´ eliser la d´ egradation de l’images • M´ ethodes en fonction de la d´ egradation Image processing (week 8-10) -Restoration- (5/21) M. Hachama ([email protected])

Restauration d’images • Mod` ele g´ en´ erique : I0 = I ∗ h + n • Cas particulier (image bruit´ ee) : I0 = I + n Image processing (week 8-10) -Restoration- (5/21) M. Hachama ([email protected])

Filtrage • Filtre spatial : utilisation de masque. • Filtre passe-bas : diminue le bruit mais att´ enue les d´ etails de l’image (ﬂou plus prononc´ e). • Filtre passe-haut : accentue les contours et les d´ etails, mais ampliﬁe le bruit. • Filtre passe-bande : ´ elimine certaines fr´ equences ind´ esirables. Image processing (week 8-10) -Restoration- (7/21) M. Hachama ([email protected])

Filtrage • Propri´ et´ es des ﬁltres • Filtre s´ eparable Image processing (week 8-10) -Restoration- (7/21) M. Hachama ([email protected])

Filtrage • Strat´ egies pour le lissage d’images • Les images ne sont pas lisses lorsque les pixels voisins sont ”tr` es” diﬀ´ erents. • Lissage = rendre les pixels adjacents similaires • Exemple : Filtre de moyenne • Chaque pixel rec ¸oit la moyenne de ses voisins Image processing (week 8-10) -Restoration- (7/21) M. Hachama ([email protected])

Filtrage • Filtre de moyenne Image processing (week 8-10) -Restoration- (7/21) M. Hachama ([email protected])

Filtrage • Filtre gaussien Image processing (week 8-10) -Restoration- (7/21) M. Hachama ([email protected])

Filtrage • Filtre m´ edian • Combien de points bruit´ es peut-il ﬁltrer ? Image processing (week 8-10) -Restoration- (7/21) M. Hachama ([email protected])

Filtrage • Filtre m´ edian Image processing (week 8-10) -Restoration- (7/21) M. Hachama ([email protected])

Filtrage • Filtre bilat´ eral • moyenne vs gaussien Image processing (week 8-10) -Restoration- (8/21) M. Hachama ([email protected])

Filtrage • Filtre bilat´ eral • Filtre de moyenne Image processing (week 8-10) -Restoration- (8/21) M. Hachama ([email protected])

Filtrage • Filtre bilat´ eral • Filtre gaussien Image processing (week 8-10) -Restoration- (8/21) M. Hachama ([email protected])

Filtrage • Filtre bilat´ eral • Filtre de moyenne Image processing (week 8-10) -Restoration- (8/21) M. Hachama ([email protected])

Filtrage • Filtre bilat´ eral • ´ Eviter de moyenner sur les contours Image processing (week 8-10) -Restoration- (9/21) M. Hachama ([email protected])

Filtrage • Filtre bilat´ eral • Poids adaptatifs Image processing (week 8-10) -Restoration- (9/21) M. Hachama ([email protected])

Filtrage • Filtre bilat´ eral Image processing (week 8-10) -Restoration- (9/21) M. Hachama ([email protected])

Filtrage • Filtre bilat´ eral : Eﬀet escalier Image processing (week 8-10) -Restoration- (9/21) M. Hachama ([email protected])

Filtrage • Filtre bilat´ eral : Suppression de la texture Image processing (week 8-10) -Restoration- (9/21) M. Hachama ([email protected])

Filtrage • Filtre bilat´ eral : Eﬀet cartoon Image processing (week 8-10) -Restoration- (9/21) M. Hachama ([email protected])

Filtre non-local • Comme le ﬁltre bilat´ eral : moyenner des pixels ”similaires” • Bilat´ eral : pixels voisins avec des intensit´ es proches • NL-Means : pixels ayant des voisinages similaires Image processing (week 8-10) -Restoration- (10/21) M. Hachama ([email protected])

Filtre non-local Image processing (week 8-10) -Restoration- (10/21) M. Hachama ([email protected])

Filtre de Wiener • On connait I0 (image observ´ ee) et σ (variance du bruit). • Pour chaque pixel, on calcule la moyenne µL et la variance σL locales, calcul´ ees sur une fenˆ etre W • Reconstruction : J = µL + σ2 L σ2 L +σ2 (I0 − µL) • σ = 0 : J = I0 . Pas de bruit. • σL = 0 : J = µL . Pas de bruit. • σL >>= σ : J = I0 . Pas de r´ egularisation car pr´ esence d’un bord. • σL ≈ σ : J = 1 2 (I + µL ). Tirer la valeur du pixel vers la moyenne de ses voisins dans les ”r´ egions normales”. • Estimation de σ ` a partir de r´ egion homog` ene de l’image. Image processing (week 8-10) -Restoration- (11/21) M. Hachama ([email protected])

Filtre de Wiener • Exemple Image processing (week 8-10) -Restoration- (11/21) M. Hachama ([email protected])

Filtrage • Types de ﬁltre fr´ equentiel/spatial • Filtre fr´ equentiel F(g) = HF(f ) Image processing (week 8-10) -Restoration- (13/21) M. Hachama ([email protected])

Filtre passe-bas • Passe-bas id´ eal Image processing (week 8-10) -Restoration- (14/21) M. Hachama ([email protected])

Filtre passe-bas • Passe-bas de Butterworth Image processing (week 8-10) -Restoration- (14/21) M. Hachama ([email protected])

Filtrage d’un bruit p´ eriodique • Input Image processing (week 8-10) -Restoration- (15/21) M. Hachama ([email protected])

Filtrage d’un bruit p´ eriodique • Transform´ ee de Fourier Image processing (week 8-10) -Restoration- (15/21) M. Hachama ([email protected])

Filtrage d’un bruit p´ eriodique • Filtre Notch Image processing (week 8-10) -Restoration- (15/21) M. Hachama ([email protected])

Filtrage d’un bruit p´ eriodique • Filtrage fr´ equentiel Image processing (week 8-10) -Restoration- (15/21) M. Hachama ([email protected])

Filtrage d’un bruit p´ eriodique Image processing (week 8-10) -Restoration- (15/21) M. Hachama ([email protected])

Filtres morphologiques • Application sur des images binaires et en niveaux de gris • Modiﬁcation des morphologies des objets • Nettoyer le r´ esultat de la segmentation • Remplir les trous, ´ eliminer le bruit • Lisser le r´ esultat de la segmentation • Caract´ erisation • un ´ el´ ement structurant • des transformations : ´ erosion, dilatation, ouverture (´ erosion-dilatation), fermeture (dilatation-´ erosion) Image processing (week 8-10) -Restoration- (17/21) M. Hachama ([email protected])

Filtres morphologiques • Soit une image binaire avec fond=0 et objet=1 • On glisse l’´ el´ ement structurant ”glisse” sur les pixels • Autres : ´ el´ ements structurants pas forc´ ement sym´ etriques • Application dune transformation • ´ Erosion : Si l’un des pixels du masque est fond (valeur 0), alors le pixel central devient fond (i.e., min) • Dilatation : Si l’un des pixels du masque fait partie de l’ objet (valeur> 0), alors le pixel central devient objet (i.e., max) • Autres : ´ Erosion puis dilatation (Ouverture) ; Dilatation puis ´ erosion (Fermeture) Image processing (week 8-10) -Restoration- (17/21) M. Hachama ([email protected])

Filtres morphologiques • ´ Erosion Image processing (week 8-10) -Restoration- (17/21) M. Hachama ([email protected])

Filtres morphologiques • Dilatation Image processing (week 8-10) -Restoration- (17/21) M. Hachama ([email protected])

Filtres morphologiques • Nombre d’objets ? Image processing (week 8-10) -Restoration- (17/21) M. Hachama ([email protected])

Filtres morphologiques • Exemple de Dilatation Image processing (week 8-10) -Restoration- (17/21) M. Hachama ([email protected])

Filtres morphologiques • ´ Erosion-Dilatation Image processing (week 8-10) -Restoration- (17/21) M. Hachama ([email protected])

Filtres morphologiques • Ouverture-Fermeture Image processing (week 8-10) -Restoration- (17/21) M. Hachama ([email protected])

Filtres morphologiques • Exemple Image processing (week 8-10) -Restoration- (17/21) M. Hachama ([email protected])

Filtres morphologiques • Inﬂuence de l’´ el´ ement structurant Image processing (week 8-10) -Restoration- (17/21) M. Hachama ([email protected])

Filtres morphologiques • Exemple Image processing (week 8-10) -Restoration- (17/21) M. Hachama ([email protected])

Filtres morphologiques • Gradient morphologique Image processing (week 8-10) -Restoration- (17/21) M. Hachama ([email protected])

Filtre inverse • Mod´ elisation de la d´ egradation : I0 = I ∗ h + η • Filtre inverse • Formulation f = h ∗ u , f = hu • Calcul de 1/h. C’est le plus simple et peut donner de bons r´ esultats pour une image non bruit´ ee. Toutefois il n’est pas toujours possible d’inverser h car elle peut s’annuler. Image processing (week 8-10) -Restoration- (19/21) M. Hachama ([email protected])

Filtre inverse • Filtre inverse : Image originale Image processing (week 8-10) -Restoration- (19/21) M. Hachama ([email protected])

Filtre inverse • Filtre inverse : Image Floue Image processing (week 8-10) -Restoration- (19/21) M. Hachama ([email protected])

Filtre inverse • Filtre inverse : D´ econvolution Image processing (week 8-10) -Restoration- (19/21) M. Hachama ([email protected])

Filtre inverse • Filtre inverse : Image ﬂoue + Bruit Image processing (week 8-10) -Restoration- (19/21) M. Hachama ([email protected])

Filtre inverse • Filtre inverse : D´ econvolution Image processing (week 8-10) -Restoration- (19/21) M. Hachama ([email protected])

Algorithme de Van Cittert • Formulation f = h ∗ u • R´ esolution : Posons ˆ g = 1 − ˆ h de sorte que formellement on obtient ˆ u = ˆ f 1 − ˆ g = +∞ k=0 ˆ gk ˆ f Si on pose uo = f et ˆ un = n k=0 ˆ gk ˆ f pour tout n = 1, on obtient ˆ un+1 = ˆ f + ˆ gˆ un = ˆ f + (1 − ˆ h)ˆ un , ou de mani` ere ´ equivalente un+1 = f + un − h ∗ un Image processing (week 8-10) -Restoration- (20/21) M. Hachama ([email protected])

Algorithme de Van Cittert Image processing (week 8-10) -Restoration- (20/21) M. Hachama ([email protected])

Algorithme de Van Cittert • Choix a priori du filtre h. • Ne prend pas en compte le bruit. Si f est une image flout´ ee et bruit´ ee :f = h ∗ u + b, o` u u est un bruit blanc gaussien. Le passage ` a un filtre inverse donne ˆ u = ˆ f ˆ h − ˆ b ˆ h . Image processing (week 8-10) -Restoration- (20/21) M. Hachama ([email protected])

Filtre de Wiener • Formulation variationnelle de type Tychonov min v∈L2(R) f − h ∗ u 2 L2 + q ∗ u 2 L2 min v∈L2(R) ˆ f − ˆ h v 2 2 + ˆ qv 2 2 • D´ erivation : ˆ h∗(ˆ h ˆ u − ˆ f ) + |ˆ q|2ˆ u = 0 Et donc : ˆ u = ˆ h∗ˆ f |ˆ h|2 + |ˆ q|2 Image processing (week 8-10) -Restoration- (21/21) M. Hachama ([email protected])

Filtre de Wiener • Choix de q : Id´ ealement, il faudrait choisir ˆ q(w) = |ˆ b(w)| |ˆ u(w)| car, dans ce cas, le deuxi` eme terme p´ enalise le bruit. En eﬀet, : q ∗ u 2 = ˆ qˆ u 2 = ˆ b 2 = b 2 . • Apr` es calcul : W = ¯ ˆ h |ˆ h|2 + |ˆ q|2 , Dans le cas o` u b est un bruit blanc gaussien d’´ ecart-type σ : |ˆ q|2 = σ2 < |ˆ h| >2 < |ˆ f | >2 −σ2 . Image processing (week 8-10) -Restoration- (21/21) M. Hachama ([email protected])

Filtre de Wiener Image processing (week 8-10) -Restoration- (21/21) M. Hachama ([email protected])

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