コンピュータによる数の表現

2025年更新

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1. by Naoki Kato ©Naoki Kato ©Naoki Kato 数の表現 Computer Science, Engineering and Literacy
2. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 情報とは 意味 を持つものを広くさす概念 情報
3. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 無形である情報を 記録するには，伝えるには，… 表現しなければならない 表現の方法（表現メディア） 身体表現：発声，身振り，言葉，… 記号表現：文字，数字，記号，数式，表，… パタン表現：絵，図，映像，音楽，… 情報
4. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 情報の記録と伝達 身体表現は 直接伝えることも可 記号・パタン表現は たとえば紙上に 様々な伝達メディアやマスメディアも利用可能 情報
5. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato コンピュータで扱えるのは二つの状態 一般的なコンピュータは電気的なスイッチの集合 入力は，電気が流れているか，流れていないか 出力も，電気が流れているか，流れていないか ＝電圧がかかっているか（H），かかっていないか（L) コンピュータにおける情報の表現 電流を流す 電流を流さない
6. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato コンピュータで扱えるのは二つの状態 どんなスイッチ回路も扱える状態は二つの状態 コンピュータにおける情報の表現 X Y S C （⼆進数１桁） HかLか （⼆進数１桁） HかLか 加算結果（1桁⽬） HかLか 加算結果（繰り上がり） HかLか
7. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato コンピュータで扱えるのは二つの状態 この二つの状態を 0 と 1 で表現 ビット(bit：binary digit) コンピュータにおける情報の表現
8. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato より多彩な状態は 0 と 1 の組合せで表現 二つのビットを組み合わせると 4 種類の状態 00, 01, 10, 11 三つのビットを組み合わせると 8 種類の状態 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 N 個のビットを組み合わせると 2N 種類の状態が表現可能 コンピュータにおける情報の表現 ビット列
9. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 1000本の睡眠薬入りワイン問題 1000本の中に１本だけ睡眠薬が入っています 睡眠薬入りワインを飲むと 10～20分後に寝てしまい，20分は目が覚めません 30分以内にどのワインに睡眠薬が入っているかを 調べるには最小何人必要か？ 最小を考えないなら，一番簡単な答えは1000人 誰か1人が寝るので，その人が飲んだワインが答え おまけ
10. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 色々な回答？ 999人 誰も寝なかったら，飲まれてないワイン 500人 １回目500本を試す，20分後に残り500本を・・・・🙅🙅 500人 1人目に1番と2番と3番 2人目に3番と4番と5番 500人目に999番と1000番と1番 果たして最小人数は？？？ おまけ
11. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 5～8本なら おまけ ０ ０ １ ０ １ ０ ０ １ １ １ ０ ０ １ ０ １ １ １ ０ １ １ １ 3人いると （3bitあると） 最大8種類 (23） を区別可能 ０ ０ ０
12. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato コンピュータのマルチメディア化 情報をビット列で表現すると コンピュータに入力（記憶）することができる なんらかの処理をすることができる コンピュータにおける情報の表現 ⽂字や絵図 映像 ⾳楽
13. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 情報の表記 ビット列 01010001 だと長たらしい ビット列 01010001 を二進記数法による数とみなし 十六進記数法 51h を用いて表現することが多い コンピュータにおける情報の表現
14. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 2進記数法と10進記数法と16進記数法数 （参考）基数変換 00000000 0 0h 00000001 1 1h 00000010 2 2h 00000011 3 3h ： ： ： 00001010 10 0ah ： ： ： 00001111 15 0fh 00010000 16 10h ： ： ：
15. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato コンピュータから情報を出し入れする コンピュータに情報を入れるには， 情報をビット列（二進記数法の数）に変換する 符号化 コンピュータから情報を出すには， ビット列（二進記数法の数）を情報に戻す 複合化 コンピュータにおける情報の表現
16. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 符号化と複合化 コンピュータにおける情報の表現 東 西 南 北 00 01 10 11 東 西 南 北 符 号 化 複 合 化
17. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 数をビット列で表現する 基本は，単純に，数を二進記数法で表す 数の表現 0010101010001010（2） 2A8A（16）
18. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 自然数と0の符号化 そのまま二進表記法を利用 ０ ００００００００ １０ ００００１０１０ １ ０００００００１ １１ ００００１０１１ ２ ００００００１０ １２ ００００１１００ ３ ００００００１１ １３ ００００１１０１ ４ ０００００１００ １４ ００００１１１０ ５ ０００００１０１ １５ ００００１１１１ ６ ０００００１１０ １６ ０００１００００ ７ ０００００１１１ １７ ０００１０００１ ８ ００００１０００ １８ ０００１００１０ ９ ００００１００１ ： （8ビット長の場合） 数の表現
19. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 十進記数法から二進記数法への変換 ２で割り算をしていく ２）１９ ２） ９ １ ２） ４ １ ２） ２ ０ ２） １ ０ ０ １ １９（１０） ＝１００１１（２） （参考）基数変換 商 余り 余りを逆順に読む
20. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 整数の符号化 負の整数をどうするかがポイント 符号-仮数部 最上位ビットを符号とする ＋７ ０１１１ －７ １１１１ ＋６ ０１１０ －６ １１１０ ＋５ ０１０１ －５ １１０１ ＋４ ０１００ －４ １１００ ＋３ ００１１ －３ １０１１ ＋２ ００１０ －２ １０１０ ＋１ ０００１ －１ １００１ ＋０ ００００ （－０ １０００） （※４ビットの場合） 整数の表現
21. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato １の補数 負の整数は，全ビットを反転させる （11・・11から引く） ＋７ ０１１１ －７ １０００ ＋６ ０１１０ －６ １００１ ＋５ ０１０１ －５ １０１０ ＋４ ０１００ －４ １０１１ ＋３ ００１１ －３ １１００ ＋２ ００１０ －２ １１０１ ＋１ ０００１ －１ １１１０ ＋０ ００００ （－０ １１１１） （４ビットの場合） 整数の表現
22. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato １の補数の場合の加算 二進記数法として加算後， 桁があふれたときはそれを加算 ＋３（００１１） ＋）＋１（０００１） （０１００）＋４ ＋１（０００１） －１（１１１０） ＋）－２（１１０１） ＋）－２（１１０１） １１１０ －１ １１０１１ １ １１００ －３ 整数の表現
23. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 2の補数 負の整数は，1 桁多い 2 のべき乗の値から引く （最上位が1であとは0） －８ １０００（ ８と同じ） ＋７ ０１１１ －７ １００１（ ９と同じ） ＋６ ０１１０ －６ １０１０（１０と同じ） ＋５ ０１０１ －５ １０１１（１１と同じ） ＋４ ０１００ －４ １１００（１２と同じ） ＋３ ００１１ －３ １１０１（１３と同じ） ＋２ ００１０ －２ １１１０（１４と同じ） ＋１ ０００１ －１ １１１１（１５と同じ） ＋０ ００００ 整数の表現
24. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 2の補数の場合の加算 二進記数法の数の加算をすればよい （桁あふれは無視） ＋３（００１１） ＋１（０００１） ＋）＋１（０００１） ＋）－１（１１１１） （０１００）＋４ １００００ ０ ＋１（０００１） －１（１１１１） ＋）－２（１１１０） ＋）－２（１１１０） １１１１ －１ １１１０１ －３ 整数の表現
25. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 十進記数法と二進記数法の意味 十進記数法 １ ０ ９ 二進記数法 １ ０ １ ＝ 5(10) 実数の表現 102=百が⼀個 101=⼗は無し 100=⼀が九個 22=四が⼀個 21=⼆は無し 20=⼀が⼀個
26. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 十進記数法と二進記数法の意味 十進記数法 ０．１ ０ ９ 二進記数法 ０．１ ０ １ ＝ 0.5(10) ＋0.125(10) ＝0.625(10) 実数の表現 10-1=⼗分の⼀が⼀個 10-2=百分の⼀は無し 10-3=千分の⼀が九個 2-1=⼆分の⼀が⼀個 2-2=四分の⼀は無し 2-3=⼋分の⼀が⼀個
27. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 固定小数点 b1 b0 ．b-1 b-2 ＝ b1 ×21+b0 ×20+b-1 ×2-1+b-2 ×2-2 (4 ビット，小数点部 2 ビットの場合） ００００ ＝ ０ ０００１ ＝ ０．２５ １１１１ ＝ ー０．２５ ００１０ ＝ ０．５ １１１０ ＝ ー０．５ ００１１ ＝ ０．７５ １１０１ ＝ ー０．７５ ０１００ ＝ １ １１００ ＝ ー１ ０１０１ ＝ １．２５ １０１１ ＝ ー１．２５ ０１１０ ＝ １．５ １０１０ ＝ ー１．５ ０１１１ ＝ １．７５ １００１ ＝ ー１．７５ 実数の表現
28. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 十進記数法の小数を二進記数法に変換す る方法 小数部分に２を掛けていく ０．６２５ ２ １．２５０ ２ ０．５０ ２ １．０ ０．６２５（１０） ＝０．１０１（２） （参考）基数変換
29. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 固定小数点で表現できる実数 小数点部 2 ビットの場合， 表現できるのは 2-2（1/4=0.25）単位 小数点部３ビットの場合は，2-3（1/8=0.125）単位 小数点部４ビットの場合は，2-4（1/16=0.0625） ： 1/3 は 1/2n での和ではあらわせない 1/3 を 2 進数で表記すると循環小数 ０．０１０１０１０１・・・ 実数の表現
30. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 丸め誤差 １／３ ＝ ０．０１０１０１０１・・・ ＝ ０．０１０１ 1/3 + 1/3 + 1/3 ＝？ ０．０１０１ ０．０１０１ ＋）０．０１０１ ０．１１１１＝０．９３７５ 実数の表現 & 丸め誤差
31. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato コンピュータによる計算時の問題 ∞ Σ２-n を計算したい n=1 無限回数繰り返すことはできないので N 回で打ち切り ∞ Σ２-n 分の誤差が発生 n=N+1 （参考）実数の表現 打ち切り誤差
32. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 固定小数点で表現できる実数 4ビットの場合，すべてを整数部に使ったとしても 23-1 (7) ～ 1 , 0 , -1 ～ (-8) -23 8ビットの場合，127～-128 32ビットでも，231-1～1,0,-1～-231の範囲 小数部を使うと，さらに範囲は狭まる より表現範囲を広げたい 浮動小数点 実数の表現
33. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 浮動小数点 符号部，指数部，仮数部で表現 実数の絶対値 ＝ 仮数部×基数指数部 ００１０１１０ ＝ ＋１．１１０×２０１０ ＝ ＋１．１１０×２ －１ ＝ ＋０．１１１ ＝ ＋０．８７５ （符号部１ビット＋指数部３ビット＋仮数部３ビット） 実数の表現 111 → 4 110 → 3 101 → 2 100 → 1 011 → 0 010 → -1 001 → -2 000 → -3
34. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 浮動小数点 10進記数法で考えてみます．．． 7桁使えるとき 固定小数点だと +999999～-9999999 +99999.9～ -999999.9 ： 浮動小数点（仮数部3桁）だと +999×10+99～ +001×10-99 0 -001×10-99 ～ -999×10+99 実数の表現
35. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 浮動小数点の特徴 たとえば整数は 仮数部が3桁（0～999）の場合 0 1 2・・9 10・・999 1000 1010 ・・9990 10000 10100 X × 100 X × 101 X × 102 実数の表現 1000以降は10おきになる 10000以降は100おきになる
36. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 浮動小数点による計算時の問題 近い値同士の減算をすると．．． 1.11111×210 有効桁数6桁 ー）1.11101×210 有効桁数6桁 0.00010×210 ＝1.0×26 有効桁数2桁 実数の表現 桁落ち
37. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 浮動小数点による計算時の問題 二次方程式の解の公式 で 4ac が限りなく0に近いと 小さい解を求めるとき （限りなくbに近い数値 ‒ b）の計算が発生 桁落ちが発生し，解が不正確に！ ※小さい解βは， 1/大きい解αを求めてから で求める 実数の表現 x = −b± b2 − 4ac 2a 1 α c a
38. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 浮動小数点による計算時の問題 絶対値が大きく異なる値の加減算を行うと 64(10) ＋0.125(10) を有効桁数6桁の2進数で計算すると 1.00000×26 ＋）1.00000×20 1.00000×26 ＋）0.000001×26 1.00000×26 実数の表現 情報落ち
39. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 実数の誤差を体験してみよう！ 実数の表現 0.1 0.1 =IF(A1=B1,"◦","×")
40. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 実数の誤差を体験してみよう！ 実数の表現 0.1 0.1 =5.7-5.6 =400.2-400 =1355-1352 0.1 0.2 0.3 3 =135.5-135.2
41. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 誤差があるとまずい場面がいろいろある 金融計算などで誤差が出たら大変！！ 電卓ではせめて，1÷3×3 は 1 になってほしい 十進数の世界をシミュレートする 二進数の問題は 少数は 1/2，1/4, 1/8,...,1/2n の和で表現 0.1, 0.01, 0.001 など現社会で用いられる 基底数が無限小数＝有限桁では正確に表現できない！ 誤差の少ない数の表現
42. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato 10進加算エミュレート 誤差の少ない数の表現
43. by Naoki Kato © Naoki Kato © Naoki Kato お おし しま まい い 数の表現