Aproximação polinomial de Taylor

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1. Aproximação polinomial de Taylor Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ
2. Já sabemos como aproximar a derivada por quocientes de Newton. Veremos agora que a derivada permite obter aproximações locais para uma função.
3. Mestra, o que é uma aproximação local para uma função? Ao final da aula sobre espaços de funções definimos uma forma de medir a proximidade entre funções, usando a ∞ .
4. O adjetivo local é um jargão matemático para indicar que a aproximação se dá apenas numa vizinhança de um ponto do domínio da função. E vizinhança é algum termo matemático com significado específico, Mestra?
5. Sim Loirinho, o termo procura traduzir proximidade, mas no sentido do contínuo da reta. Sua definição precisa é: Ou apenas quer dizer que está nas proximidades de 0 , como aquela vizinha linda que mora no apartamento ao lado do meu? Uma vizinhança de um ponto 0 ∈ ℝ é qualquer conjunto V que contenha um intervalo aberto , contendo 0 : 0 ∈ , ⊂ .
6. Mestra, um exemplo ajudaria muito! Uma reta tangente ao gráfico de uma função fornece uma aproximação local para a função, nas vizinhanças do ponto de tangência. Veja na próxima transparência:
7. Sim, dada uma função : (, ) → ℝ, e dado 0 ∈ , , equação da reta tangente por 0 , 0 é dada por = ′ 0 − 0 + (0 ) É, o coeficiente angular da reta tangente é, exatamente, o valor da derivada ′ 0 .
8. O gráfico de = e da reta tangente () por 0 , (0 )) para 0 = 1. .
9. No programa a seguir incluímos também a função erro = () − () e o erro máximo, dado por − ∞ . Erro
10. Olhando para os gráficos, percebo claramente a ideia, Mestre! Menor a vizinhança, melhor a aproximação. No da esquerda − ∞ ≅ 0.4 e no da direita − ∞ ≅ 0.06.
11. Conhecendo a expressão da reta tangente, = ′ 0 − 0 + (0 ), você pode usá-la para aproximar o valor da exponencial , quando estiver numa vizinhança (pequena) de 0 . Pelo 2º gráfico vemos que 1.1 ≅ 1.1 = 2.72 × 0.1 + 2.72 = 2.99 ≅ 3.0, com uma casa decimal de precisão, com certeza, já que − ∞ ≅ 0.06 no intervalo 0.8, 1.2 . É mais fácil!
12. De fato, não vejo utilidade alguma nisso, já que posso usar a calculadora científica do meu celular para obter que 1.1 = 3.0041660239. Claro, é nisso que o desenvolvimento científico/tecnológico facilita nossas vidas! Mas você já se perguntou como a calculadora científica do seu celular faz isto ?
13. Mas vocês entenderam o que é uma aproximação local? Claramente, Mestra. Mas a afirmação do Surfista continua valendo!
14. Loirinha a teoria de aproximações de funções vai além das aproximações locais e lineares. Hoje ela é usada para problemas bem mais sofisticados de simulação ...
15. As séries de Taylor constituem um passo a mais na direção de aproximação local de funções. Com elas teremos aproximações locais quadráticas, cúbicas, etc.
16. Brook Taylor, 1685-1731 Eis o criador da série de Taylor de uma função. Leiam mais na referência! http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/
17. Meu conterrâneo, e a capa do livro onde apresentou as diferenças finitas, série de Taylor, etc.
18. Admitindo-se que: • , • e (+1) existe em (, ) então para todo [, ], existe um número entre 0 e tal que: • = + +1 (), com: • = σ=0 ( − 0 ), com = (0) ! , • +1 = +1 ( − 0 )+1 , onde +1 = +1 ( ) +1 ! . Teorema de Taylor Surfista, em livros de Cálculo você encontrará a demonstração do poderosíssimo:
19. É poderoso porque, impondo “módicas condições” à função garante: 1. Que ela pode ser aproximada por uma polinomial de grau . 2. Que o erro na aproximação é uma polinomial de grau + 1.
20. Não tão módicas assim, Galileu! A condição , verbalizada é: é derivável vezes e a função derivada -ésima, (): [, ] → ℝ é contínua. E a outra condição é que a função (+1): (, ) → ℝ exista. Em outras palavras: para todo ∈ (, ) podemos calcular +1 ().
21. Além de informar a possibilidade de aproximar por uma polinomial de grau , fornece como aproximar! Claro, pois dá uma regra para calcular os coeficientes da polinomial.
22. Exatamente Loirinha, o coeficiente da polinomial é obtido derivando k vezes a f e calculando seu valor no ponto 0 : (0 ). Depois dividimos por ! = 1 × 2 × 3 × ⋯ × .
23. A polinomial de Taylor de grau n da função exponencial, = , entorno de 0 = 0. é a mais fácil de obter: Sim Mestra, pois de = para = 1,2, … segue |=0. = 0. = 1, para todo k. = 1 + + Τ 2 2 + Τ 3 6 + ⋯ + Τ !
24. Este programa mostra a aproximação, numa vizinhança [0 − , 0 + ], de uma função () pela polinomial de Taylor.
25. Esta é a parte gráfica do programa.
26. Para a função = a polinomial de Taylor de ordem 1, 1 = 1 + , é a própria reta tangente por 0 = 0.
27. Ainda para = a polinomial de Taylor de ordem 1, entorno de 0 = 1., 1 = 1. + 1.( − 1), é a própria reta tangente, mas agora por 0 = 1.
28. A polinomial de Taylor de ordem 2, para , entorno de 0 = 1., 2 = 1. + 1. − 1. + 1.( − 1. )2, é uma parábola, que tangencia o gráfico da exponencial em 0 = 1: A parábola “gruda mais” na exponencial, que a reta tangente, Mestra.
29. Fiz para = 4. Colou na exponencial. Veja o erro máximo Mestra: − 4 ∞ ≅ 0.01.
30. Este programa faz a tabela mostrada na próxima transparência.
31. Escolhi a exp() e a 4 () para aproximá-la. O erro está enorme no final.
32. Dobrei o grau da polinomial interpoladora e o erro aumentou. Problemas! Vou aumentar um pouco mais o grau!
33. Problemas seríssimos, Surfista. Sabemos que > 0 para todo ∈ ℝ mas 9 < 0 a partir de = −4. na tabela!
34. Eu já sabia Surfista. Você está enfrentando um algoritmo instável para < 0. Quando < 0 a polinomial de grau 5 de Taylor fica 5 = 1 − + 1 2 2 − 1 6 3 + 1 24 4 − 1 120 5. A alternância de sinais conjugada à aritmética finita da IEEE 754 é o que conduz ao erro.
35. E como saímos dessa Mestres? É só usar a identidade − = Τ 1 e a aproximação de Taylor para > 0. É um novo algoritmo. Agora estável!
36. Mais que isto, meus jovens, basta saber calcular a polinomial de Taylor da exponencial para 0 < < 1. Claro, dado ∈ ℝ, existe ∈ ℕ tal que = + , com 0 < < 1. Assim = + = ∙ .
37. 1. Para ∈ [0,1], aproxime com a maior precisão possível usando uma polinomial de Taylor . 2. Para > 1, calcule o produto × onde = + e é o maior inteiro contido em . Calcule pelo 1º passo. 3. Para < 0, use que = Τ 1 e o 1º e 2º passos. Assim um algoritmo completo para calcular o valor de , para qualquer valor real de fica:
38. Surfista, Loirinha e Cabelos de fogo: Coloquei terno, com camisa vermelha, roupa de gala, para apontar algo fundamental no que acabamos de fazer!
39. Possuímos um algoritmo para aproximar uma função transcendental por polinomiais ! Não entendi porque isto é fundamental, Mestre.
40. Então todas as funções que uso em programação são construídas assim, usando aproximações polinomiais de Taylor ? Porque o computador (processador) só sabe fazer as operações fundamentais: +, −, ×, ÷, , entrada, saída e as lógicas!
41. Nem sempre por Taylor. Mas geralmente por aproximação polinomial ou por funções racionais, que são quocientes de polinomiais, por exemplo as aproximações de Padé. Regra geral, elas fornecem aproximações melhores que as polinomiais de Taylor, mas isto é assunto para um curso de Cálculo Numérico avançado.
42. Ao calcular o erro na aproximação pela polinomial de Taylor vocês fizeram um gol de mão, Mestres. Sempre atento aos detalhes, Sherlock. Mas você está certo!
43. Sim, confiram no código dos dois programas. Ao calcularmos o erro máximo, − 4 ∞ usamos a aproximação para exp() feita pela NumPy. É, mas o próprio Teorema de Taylor, fornece uma forma de estimar o erro.
44. Não Mestre, ele fornece uma expressão para calcular o erro: +1 = +1 ( − 0 )+1, onde +1 = +1 ( ) +1 ! . Não, Surfista. O teorema apenas informa que existe () entre e 0 para “calcular” +1 ( ) em +1 .
45. Portanto, a estimativa de erro fica +1 ≤ +1 ∞ − 0 +1/ + 1 ! Assim, tudo que podemos fazer é majorar o erro, substituindo +1 ( ) por (+1) ∞ no intervalo [, ] de aproximação.
46. Então, nos dois programas, devemos substituir a função erro por +1 ≤ +1 − 0 +1/ + 1 ! Na aproximação de ordem 4, para ∈ [0,1] temos então: 5 ≤ 5 − 0.5 5 5!
47. Fazendo as contas obtemos 5 ≤ 0.105, um resultado 10 vezes pior que o exibido no gráfico. Sim, Surfista. Normalmente as majorações de erro são pessimistas, mas seguras.
48. Vamos calcular mais algumas aproximações polinomiais de Taylor.
49. A polinomial deTaylor de ordem n da função logaritmo neperiano. O termo constante é zero. Logaritmo neperiano: ln 1 + = ෍ =1 Τ (−1) ( + 1) +1, < 1
50. A polinomial de Taylor de grau 3 para a função () = ln(1 + ). Usei o intervalo −0.9, 0.9 . Como lim →−1 log 1 + = −∞, o erro cresce próximo de −1.0 . 3 = − 2 2 + 3 3
51. Estes gráficos enfatizam que a aproximação é local. Quanto menor a vizinhança (0 − , 0 + ) entorno de 0 , mais a polinomial de Taylor “cola” na log(1 + ) - menor o .
52. Uma função f é par quando − = (). Na polinomial de Taylor de uma função par só comparecem potências pares de . Abaixo mostro o gráfico de algumas funções pares.
53. Uma função f é ímpar quando − = −(). Na polinomial de Taylor de uma função par só comparecem potências ímpares de . Abaixo mostro o gráfico de algumas funções ímpares.
54. • cos = σ=0 ∞ (−1) 2 ! 2, ∈ ℝ • sen = σ=0 ∞ (−1) 2+1 ! 2+1, ∈ ℝ O desenvolvimento em série de Taylor das funções cos() e ().
55. Surfista, observe que no intervalo para [−, ], o erro na aproximação de () pela polinomial deTaylor 3 () é enorme. Isto porque ≤ 1 para ∈ ℝ, mas a polinomial de Taylor 3 = − 3/6 é ilimitada em ℝ.
56. Considerando a polinomial de grau 7, diminuímos o erro. Vou aumentar o grau para 11.
57. Será mesmo preciso chegar numa polinomial de grau 11?
58. Não, Loirinha. De forma semelhante à exponencial, basta sabermos calcular a polinomial de Taylor de () apenas para 0 < < /2. Sim Mestra, para qualquer outro valor de ∈ ℝ é só usarmos a periodicidade mais simetrias. Explique como Surfista!
59. Com uma polinomial de Taylor de grau 7 em [ 0. , Τ 2 ] o erro máximo é metade do erro máximo para grau 11. Confiram com o resultado do Surfista.
60. Efetuando o desenvolvimento entorno de 0 = /4, o ponto médio do intervalo 0. , /2 teremos mais precisão ainda. Vejam os erros máximos:
61. Tchau, até a próxima aula!