Cálculo de Predicados

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Transcript

1. LNCC UFRJ O cálculo proposicional Prof. Paulo R. G. Bordoni
2. A Pedra de Roseta Pinturas em cavernas Caracteres cuneiformes Falar e escrever, com regras e significados, é o que distingue o “bicho homem” dos demais animais.
3. Então o tempo correu, e dando um salto gigantesco no tempo:
4. Trata-se de uma expressão LÓGICA!
5. No processador há uma Unidade de Aritmética e Lógica
6. Circuitos LÓGICOS!
7. Em 1857, Boole trouxe uma ideia nova: a manipulação algébrica para proposições
8. Uma Álgebra de Boole é uma estrutura algébrica constituída por um conjunto A, que possui pelo menos dois elementos 0 e 1, no qual estão definidas duas operações binárias + e × e uma operação unária ‘ satisfazendo os 5 pares de propriedades: + = + × = × Comutatividade + + = + ( + ) Associatividade ( × ) × = × ( × )
9. + 0 = × 1 = Exist. de ele/. neutros + ’ = 1 × ’ = 0 Propr. do complemento Uma Álgebra de Boole é uma estrutura algébrica ... x + y × z = (x + y) × (x + z) Distributividade x × y + z = x × y + (x × z)
10. Várias representações das operações lógicas básicas: • Álgebra de Boole • Circuitos lógicos • Diagramas de Venn • Cálculo proposicional
11. Confira que o conjunto das partes, (), do conjunto = { 0, 1 } é uma álgebra de Boole quando + é a reunião, × a interseção e ' é o complemento. Só para começar: () = {, {0}, {1}, {0,1} }
12. Os diagramas de Venn para teoria dos conjuntos ...
13. U Reunião U Interseção U Complementação Nunca ninguém ficou tão conhecido por tão pouco!
14. Em sua tese de mestrado no MIT fez o casamento entre álgebras de Boole e circuitos elétricos.
15. Um recorte da folha de rosto da sua tese de mestrado no MIT
16. Sobre a tese de mestrado no MIT
17. x x* 0 1 1 0 + 0 1 0 0 1 1 1 1 ∙ 0 1 0 0 0 1 0 1 A menor Álgebra de Boole possível é construída com o conjunto X = { 0, 1 } e as operações +, ∙ e * definidas pelas tabelas:
18. Desl. Ligar/desligar – acender/apagar
19. Um circuito inversor Desl. Lig.
20. Desl. Lig. Desl. Lig. Desl. Desl. Circuito em paralelo
21. Lig. Lig. Circuito em série
22. A∙B AND A’ NOT A+B OR As portas lógicas associadas:
23. Uma das partes da Lógica Matemática é o Cálculo Proposicional. Nele lidamos com proposições – mais precisamente realizaremos operações entre proposições.
24. No Cálculo Proposicional, a perspectiva operacional é inter-sentencial. A outra parte da Lógica Matemática é o Cálculo de Predicados, onde a perspectiva é intra-sentencial. Ela envolve as noções de constante, variável, quantificação, função e substituição.
25. Σ = {átomos} ∪ { ˄ ,˅ ,  ,  } ∪ {( , ) } Os símbolos usados no Cálculo Proposicional são os identificadores das proposições atômicas(átomos) juntamente com operadores , ˄, ˅ ,  ,  e delimitadores ( , ).
26. Os átomos são as proposições mais simples. Como os dígitos na álgebra. Os parênteses são usados na pontuação. Os símbolos ˄, ˅, ,  são conectivos binários e  é um conectivo unário. Como os operadores na álgebra.
27.  negação ˅ disjunção ˄ conjunção  condicional bicondicional  O nome de cada um dos conectivos é:
28. letra_maiúsc átomo dígito Desta forma, todo nome de átomo inicia com uma letra maiúscula e pode ser seguido por qualquer número natural. Portanto são nomes válidos para átomos: A, B, P, Q, A1, A35, P482, ... Para escrever identificadores para um conjunto enumerável de átomos, temos a regra:
29. prop ˄ ˅ → ↔ prop ( ) ¬ prop ( ) átomo prop E esta é a regra para construir proposições. Ela é recursiva!
30. O conjunto de todas as proposições é um subconjunto infinito de σ∗ = σ \. O conjunto , de todas as proposições, é o conjunto gerado através das regras sintáticas estabelecidas nas duas transparências anteriores Nada mais é proposição!
31. ( ) ã ( ˅ ) ( ˄ ) ( ) ã , , ( ) Se P e Q são proposições então as proposições a seguir são lidas como:
32. (( ˄ )) ( ˄ ( ˅ )) ( ˅ )  (( ( ))  ( ˅ )) ((( ) ˄ ( ))  ( ( ˅ ))) Professor, mostre mais alguns exemplos de proposição. Usando a definição podemos gerar as proposições:
33. (( ˄ )) ( ˄ ( ˅ )) (( ˅ )  ) (( ( ))  ( ˅ )) ((( ) ˄ ( ))  ( ( ˅ ))) Professor, são muitos parênteses! O conectivo associado ao par de parênteses mais externo é dito conectivo principal.
34. Por simplicidade vamos omitir os parênteses mais externos das proposições Tem toda razão, Loirinha! Ah, portanto posso escrever ( ˄ ) no lugar de (( ˄ )).
35. ( ( ˅ )  ) ˅  ( ( ( ) )  ( ˅ ) )  ( )  ˅ 1º lugar:  2º lugar: ˄ 3º lugar: ˅ 4º lugar:  5º lugar:  Para simplificar mais ainda, seguiremos a regra de precedência: Legal, então vale:
36. ((( )˄( ))  (( ˅ ))) ()˄()   ˅ ((((¬)˄( ))  (¬)) ((( ˄ ( ))  )) ¬˄( )  ¬  ˄(  )  ¬ X .... - X X ˄ Y .... X · Y X ˅ Y .... X + Y X  Y .... ?? X  Y .... X = Y
37. ( + ) ∗ ∗ z + y x (˅)˄ ˄ R ˅ Q P + ∗ + x ∗ z y ˅˄ ˅ P ˄ R Q Surfista, sua sacada foi ótima! Lembrei-me das árvores de avaliação para expressões algébricas!
38. ¬ ˄ ˄ Q ¬ P ¬(˄) ¬ ˄ Q P Ótima lembrança, Loirinha! Na proposição P ˄ Q o conectivo  está associado a P e não (P ˄ Q). Veja a diferença:
39. → R → Q P ( → ) → ) → P → R Q → ( → ) A proposição  é dúbia as possíveis formas corretas são (  ) ou ( )  . Com os diagramas de árvore, fica claro:
40. ↔ R ↔ Q P ( ↔ ) ↔ ↔ P ↔ R Q ↔ ( ↔ ) A proposição também é dúbia. As possíveis formas corretas são ( ) ou ( ) Os diagramas são semelhantes ao da →
41. ¬ ˄ ( )  ¬  ˄ (  )  ↔ → Q ¬ Q P → Q P ˄ ¬ Q → → P ˄ P Genial Loirinha, como na álgebra!
42. Bem, até agora tudo isto não passa de um joguinho no qual brincamos com letras e símbolos. Nada mais!
43. Acabei de lembrar do filme O significado da vida de Monty Python. Tem razão Filósofo. Na álgebra os números possuem significado, assim como as operações!
44. Toda proposição é idêntica a si mesma. Identidade Uma proposição não pode ser, simultaneamente, verdadeira e falsa. Não contradição Toda proposição é verdadeira ou falsa, inexiste outra possibilidade. 3º excluído O primeiro passo é estabelecer três princípios básicos a respeito de proposições:
45. P V F R V F Q V F Essas ideias se aplicam às proposições atômicas: um átomo P é verdadeiro ou falso e não há uma 3ª possibilidade. Idem ibidem para outros átomos Q, R, etc.
46. P ¬ P V F F V Naturalmente, sempre que uma proposição P é verdadeira, V, sua negação ¬ P é falsa, F. E vice-versa. Isto fica claro ao construirmos a tabelinha:
47. P, Q V F V F V F V, V V, F F, V F, F Para 2 átomos teremos 4 possibilidades de combinar Vs com Fs. Vejam:
48. V, V, V V, V, F V, F, V V, F, F P, Q, R V F V F V V F F F V F V V F F, V, V F, V, F F, F, V F, F, F Para 2 átomos teremos 4 combinações, para 3 teremos 8. Assim por diante, sempre dobrando.
49. Numa batalha, o famoso enxadrista salvou a vida de do imperador. Em agradecimento o Imperador disse-lhe: Peça o que quiser – eu te concederei! Humildemente, o mestre disse: Quero 1 grão de trigo para a 1ªcasa do meu tabuleiro de xadrez, 2 grãos para a 2ª, 4 para a 3ª, e assim por diante. Professora, conte a lenda do imperador indiano, do mestre em xadrez e seu tabuleiro!
50. O imperador precisou mandar matar o mestre, porque não pode cumprir sua promessa... A quantidade de trigo em todos os armazéns de seu império, e de todos os outros do mundo, era insuficiente! E como termina essa estória, Mestra?
51. O Monte Everest tem 8.848 metros de altitude e o Brasil tem uma área total de 8.514.876 m2. Fiz um programa para calcular a quantidade de formas cilíndricas de base Brasil e altura Everest necessários para cumprir a promessa do imperador.
52. Meu programa:
53. Eis o resultado dele:
54. Essa lenda objetiva apontar que a quantidade de linhas das tabelas verdade cresce muito depressa. Observe que para proposições com 20 átomos ela terá 1 mega de linhas (i. é 1.048.576 linhas) Assim, proposições com 60 átomos exigiriam tabelas com 1 hexa linhas. Em outras palavras, tantas linhas quanto a quantidade de grãos de trigo necessária para encher um cilindro de base Brasil e quase 3 vezes a altura do Everest. Algo impensável!
55. É, mas para as proposições simples P ˄ Q, P ˅ Q, P → Q, P ↔ Q, envolvendo apenas dois átomos teremos só quatro combinações: V-V, V-F, F-V, F-F, e eu vou mostrar como a coisa funciona! Essa argumentação não deixa dúvidas que é necessária alguma outra técnica, diferente de tabelas-verdade, para determinar o valor-lógico de proposições.
56. P Q P ˄ Q P ˅ Q P → Q P ↔ Q V V V F F V F F Assim as tabelas envolvendo dois átomos, deverão ter 4 linhas. O passo seguinte é saber quais valores lógicos resultarão para as proposições simples construídas.
57. P Q P ˄ Q P ˅ Q P → Q P ↔ Q V V V V V V V F F V F F F V F V V F F F F F V V Indo direto ao ponto, os valores lógicos são os escritos. E não se fala mais nisso
58. P Q P ˅ Q → P V V V F F V F F P Q → P ˅ P ˅ Q → P V V V F V V F V Para as proposições gerais, montamos a tabela (dita tabela verdade) e preenchemos as colunas dos átomos. Depois seguimos a árvore.
59. P Q P ˄ Q ↔ P V V V F F V F F P Q ↔ P ˄ P ˄ Q ↔ P V F F F V F V V Outro exemplo:
60. ↔ ⇔ ( → ) ˄ ( → ) E esta, junto com uma das acima, redefinir a bicondicional. → ⇔ ¬( ˄ ¬) → ⇔ ¬ ∨ Estas equivalências permitem redefinir a implicação apenas com ¬ e ∧ ou com ¬ e ∨.
61. Idem, idem para as portas lógicas! É por esse motivo que, nas linguagens de programação, bastam os operadores or, and e not
62. Tchau, até a próxima aula!