Cálculo numérico, com meus óculos

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Transcript

1. Cálculo Numérico, com meus óculos Prof. Paulo R. G. Bordoni LNCC UFRJ
2. O objeto de nossos diálogos será o Cálculo Numérico.
3. cálculo numérico É um nome composto por um substantivo e um adjetivo qualificador.
4. Mestre, perguntei por Cálculo Numérico na Wikipédia e veja o 1º da lista:
5. Nas minhas seções de Análise busco meu eu. Tento entender minhas paixões! Eis a contribuição feminina para entendimento do processo de análise!
6. Loirinha, como você apontou, não basta calcular, precisamos analisar as coisas para entender e utilizar.
7. Eis o que a Wikipédia diz sobre o substantivo sem modificador, só análise:
8. Uma coisa é certa: com números.
9. Sob o título Análise Numérica a Wiki mostra: Ele é objetivo!
10. Denuncio o Bordoni e seus seguidores perante a Igreja: o nome da disciplina é Cálculo Numérico, não Análise Numérica.
11. Cuidado Surfista, o Torquemada quer te confundir. Quer dividir para conquistar! O Torquinho tem razão Mestres, eu me inscrevi na disciplina Cálculo Numérico. Vou mudar de turma!
12. Para todos sairmos ganhando trarei à nossa presença um dos maiores Mestres da área: L. N. Trefethen. Vejam a definição que ele propôs para Análise Numérica.
13. Ela está no Apêndice deste livro:
14. “Análise numérica é o estudo de algoritmos para os problemas da matemática do contínuo”. Uma tradução dela:
15. algoritmos problemas matemática Os conceitos presentes na definição do Trefethen: estudo resolução contínuo Análise Numérica
16. E do papel desempenhado por esses conceitos. Ao final desta aula vocês, Surfistas, Loirinhas e Cabelos de Fogo, deverão possuir uma visão geral do nosso curso de Análise Numérica.
17. Coloquei no site, em “Leituras adicionais”, o texto de Trefethen. Loirinhas, Surfistas e Cabelos de Fogo, leiam esse texto e façam a tarefa que o Tio vai mandar.
18. Após ler o texto do Trefethen: 1. Escolham um dos sete autores citados por ele e apresentem a definição dele (vocês terão que buscar o livro numa biblioteca ou na Internet); 2. Comparem e comentem a definição do Trefethen com a que escolheram.
19. Mestres, quando deveremos apresentar a tarefa ordenada pelo Tio? Apresente tua resposta impreterivelmente na próxima semana, senão mandarei o Tribunal da Inquisição te condenar como bruxa!
20. Torquinho, como deveremos entregar esses exercícios? Sempre em papel almaço pautado, com nome, DRE e turma. Manuscrito!
21. Atenção: No decurso da disciplina Cálculo Numérico vocês terão muitas listas de exercícios como esta. Elas terão peso 2.0 na média. Portanto serão, pelo menos, 2,0 pontos na média, algo que poderá significar aprovação ou reprovação. Não arrisquem!
22. Começaremos buscando um primeiro entendimento sobre algoritmos.
23. Grosseiramente: algo como uma receita de bolo. Na próxima aula, vamos nos aprofundar nesse conceito. Sim Mestra, o que é um algoritmo?
24. A Mestra simplificou demais! Algoritmo é um dos conceitos mais fundamentais em Computação.
25. O que encontramos na Wikipedia:
26. Allan M Turing 1912-1954 Nesse artigo Turing apresenta sua forma de entender um algoritmo. Ela passou a ser referida como “Máquina de Turing”.
27. Outra palavra-chave, composta: resolver problemas.
28. Ah, se houvesse uma regra geral... Mestres chineses dizem que você tem que atingir o alvo! Professor, como eu faço para resolver problemas?
29. G. Polya contribuiu fantasticamente para a compreensão do conceito.
30. A arte de resolver problemas
31. Polya dedicou-se a entender, explicar e ensinar a arte de resolver problemas.
32. • Compreender o problema; • Conceber um plano para resolver o problema; • Executar o plano concebido; • Examinar a solução encontrada. No seu livro, Polya ensina que, para acertar o alvo, para resolver um problema, você só tem que:
33. Donald E. Knuth foi orientado por Polya. Knuth criou o TEX e escreveu “The Art of Computer Programming” - a bíblia de Ciência da Computação.
34. Mais uma palavra-chave: matemática do contínuo.
35. Matemática do contínuo, um conceito que inclui todo o Cálculo Diferencial e Integral. Em particular o estudo de funções, limites, continuidade, derivadas e integrais de funções e das sequências e séries.
36. Funções: o objeto de estudo dos Cálculos. Em nosso Curso elas serão tratadas como deusas do Olimpo – porque realmente são.
37. Trataremos também das equações diferenciais, da resolução de sistemas lineares e do cálculo de autovalores e autovetores. Uma repetição dos Cálculos I, II, III, IV e da Álgebra Linear?
38. Você está coberto de razão, Surfista. Analisaremos todos esses tópicos, mas sob outros pontos de vista! Não tem sentido, Loirinha. Seria perda de tempo!
39. Aproximação: um conceito fundamental em Cálculo Numérico.
40. Aproximar: Um verbo que pressupõe a noção de medir distâncias para calcular o erro na aproximação.
41. Podemos medir o erro absoluto ou o erro relativo. Porque essa distinção, Sherlock?
42. Claro Galileu, nesse caso, o que importa é medir o erro relativo (percentual) e não o erro absoluto. Ora Surfista, para dimensões atômicas um erro de 1 mm é gigantesco, mas absolutamente desprezível para medir o erro no tamanho de um tijolo!
43. Mas então, quando eu usarei o erro absoluto? Ora minha filha, para comparar mensurações envolvendo o mesmo fenômeno, nas quais você conhece a ordem de grandeza das coisas envolvidas.
44. Loirinha, suponha que ∗ é uma aproximação para uma grandeza . O erro absoluto é definido por = − ∗ Já o erro relativo (ou percentual) é definido por = − ∗ , para ≠ 0.
45. Jovens, atenção às palavras-chave: • Erro, • Precisão, • Exatidão, • Dígitos significativos ...
46. Mas, e o que é precisão? Mestra, explique porque − ∗ < 0.5 × 10−3 garante três casas decimais de precisão após a vírgula.
47. Tudo muito teórico! O que importa mesmo é o número de casas decimais iguais. Mestres, analisem o problema em detalhe para este apressadinho!
48. Para raciocinar, assumam que = ⋯ 0 , 1 2 3 ⋯ Ora Mestra, não tem erro! Escolhendo ∗ = ⋯ 0 , 1 2 3 obtemos uma aproximação para satisfazendo − ∗ < 0.5 × 10−3. Com três casas decimais corretas!
49. Não colega, nesse caso − ∗ = 0,000 4 5 … e precisamos garantir também que 0, 4 5 … < 0,5. Claro, Loirinha, me distraí! Já queimei milhares de alunos distraídos!
50. Mestra, você me derrubou. O último dígito poderá ser diferente! Mas, ∗ poderá possuir 3 dígitos após a vírgula, com o 3º diferente e essa desigualdade continuar valendo. Veja só, para = 1,523726 e ∗ = 1,524 temos − ∗ = 0.000274 < 0,0005.
51. Mestre do céu, temos − ∗ = 0,0003 < 0,0005 Não apenas o último! Pensem em = 1,0597 e ∗ = 1,06.
52. O argumento Surfista + Loirinha está correto: ቑ = ⋯ 0 , 1 2 3 ⋯ ∗ = ⋯ 0 , 1 2 3 − ∗ < 0,5 × 10−3 ⇒ ቐ . Entretanto, os contra-exemplos mostram que − ∗ < 0,5 × 10−3 ⇏ ቐ ∗.
53. Portanto a desigualdade − ∗ < 0,5 × 10− garante uma precisão de N casas decimais. Mas isto não obriga que os dígitos das expansões decimais de e ∗ sejam todos iguais.
54. Claro, menor será o erro – tanto o absoluto como o relativo! Considerem a expansão ෤ = 3,141592… Quanto mais dígitos corretos, mais exata será essa aproximação de . Maior será a precisão!
55. accuracy = exatidão A Mestra falou em precisão e exatidão. A distinção entre ambas é essencial na experimentação, no contexto de números elas são sinônimas.
56. accuracy = exatidão A precisão envolve o desvio padrão e a exatidão a média. A “distribuição normal”.
57. Exatidão baixa Precisão baixa Exatidão baixa Precisão alta Exatidão alta Precisão baixa Exatidão alta Precisão alta As quatro combinações:
58. Discretização: outro conceito fundamental em Cálculo Numérico.
59. Discretizar. É o verbo que que define o ato de passar do infinito (enumerável ou contínuo) ao finito em matemática.
60. Aprenderemos técnicas de discretização de funções por interpolação. De imediato, usaremos isso para traçar gráficos de funções com a Matplotlib.
61. Veremos que o formato single do padrão IEEE 754 estabelece uma discretização do conjunto dos números reais. E que o formato double estabelece outra discretização mais fina.
62. Single, double, padrão IEEE? Calma, minha filha! Tudo no seu tempo.
63. Estudaremos métodos numéricos para achar raízes aproximadas de equações. Estudaremos o famoso método de Newton- Raphson.
64. Aprenderemos como aproximar derivadas por diferenças finitas. Usaremos isso para resolver problemas de valor inicial para equações diferenciais ordinárias.
65. Aprenderemos como aproximar uma integral definida pela regra trapezoidal. Ou pela regra de Simpson, que dá mais precisão.
66. O computador será nossa ferramenta de trabalho.
67. Vamos usar Python para programar. Porquê Python e não C, C++, Fortran ou Java?
68. Porque Python é mais fácil de usar, porque é ensinado em Computação I na UFRJ e porque é poderosa. Mas principalmente porque possui muitas bibliotecas especializadas em Cálculo Numérico.
69. Mestre, além da linguagens citadas pela Loirinha, poderíamos trabalhar com o Maple, o Mathematica ou até o MatLab. São muito mais amigáveis! Diga lá porque não, Sherlock!
70. Por quê Sherlock? Eles são tão mais fáceis de usar! Um dos motivos é que Python é um “software livre” e grátis. Um outro, talvez o essencial, é que não se faz ciência com “software” comercial.
71. Você entende o que está por trás da expressão “uma caixa preta” Loirinha? Bem, eu sei Mestra, já ouvi falar. Significa que não conseguimos acessar nem modificar o código do “software”. Isso nos impede acrescentar aspectos que necessitamos ao pacote, posto que ele é fechado. Os aplicativos do Microsoft Office são um exemplo!
72. Bem, vou indicar onde encontrar o Maple, o Mathematica e o Matlab. Ok Professor, estamos numa democracia!
73. Este é o site do Maple.
74. Este é o site do Mathematica.
75. Este é o site do Matlab.
76. Mas verá. Usaremos os pacotes NumPy, SciPy e MatPlotLib que lhe dão superpoderes. É a Comunidade de Software Livre em ação. Mestre, não vi nada parecido com MatLab, Maple ou Mathematica no Python.
77. Mas não existem outros “softwares” livres que fazem o mesmo? Sim, nas próximas transparências, vou mostrar onde buscá-los.
78. É para Linux.
79. Temos o Gnuplot no Python(x,y)
80. Um bom livro.
81. Tutoriais.
82. Um Francês.
83. Livros sobre SciLab.
84. Pela Internet.
85. Agora vamos abrir a nossa caixa ferramentas.
86. Ferramentas... Com a luneta descobri crateras na Lua, quatro luas de Júpiter e as manchas solares. Minha metade Aristóteles não dispunha de ferramentas apropriadas e criei uma visão teórica da mãe natureza repleta de erros, consagrados pelos interesses da Igreja!
87. A Terra como centro do universo! Com a luneta descobri e desenhei crateras da Lua e luas em Júpiter!
88. Mestres, sigam o velho Galí. Ofereçam um curso prático e não uma montanha de teoria! Muita calma nessa hora, Surfista. Vamos pagar para ver...
89. Sim colega! E Python(x,y) ou Anaconda, são aplicativos que já trazem esses módulos bem embalados. “Mamão com açúcar“ jovens! É isso aí, Surfista! Trabalharemos com os módulos NumPy, SciPy e MatPlotLib.
90. Ferramentas... Python(x,y) e Anaconda são as lunetas de Cálculo numérico. Muito cuidado com cursos oferecidos por certa Igrejas de Cálculo numérico. Serpentes são criaturas do mal. Inquisição para todos os mestres que usarem Python(x,y) ou Anaconda. Devem ser queimados vivos!
91. Busquei por Python(x,y) no Google e levei um susto: É, mas clicando ali onde marquei chegamos lá. Veja:
92. O site de Python(x,y) e a indicação para download.
93. Agora escolha um desses locais para baixar e pronto!
94. O processo de instalação é padrão. Eu optei por instalar todas as componentes, faça o mesmo!
95. Essa é a última janela do processo de instalação. Depois abri o Python(x,y).
96. Esse é o site de Anaconda – a outra serpente a instalar.
97. O processo de instalação também é imediato. Depois é só chamar o “Launcher” e carregar a spyder-app.
98. Para facilitar minha vida, fixei ambos no “Início” do Windows
99. Vejam, carreguei a Spyder tanto com Anaconda quanto com Python(x,y). Essa escolha é sua!
100. Loirinha, se Cálculo já é difícil, imagine com Computação. É cara. Vamos ter que estudar muito. Muito mesmo! Precisaremos fazer muitos exercícios!
101. A capa da 8ª edição de um bom livro para estudar e acompanhar nosso curso. Um enfoque mais matemático. Concordo plenamente com você, Loirinha! 2008
102. Outro livro, excelente, para estudar e acompanhar nosso curso, a capa é da 5ª edição. Um enfoque mais voltado para cursos de graduação em engenharia. Já vi que ambos estão repletos de exercícios! 2008
103. 2012 Este livro é uma versão com menos teoria que o anterior, mas muitos programas com MatLab.
104. Tchau, até a próxima aula!