Funções elementares

As funções elementares na NumPy. Combinações lineares de funções trigonométrtica. Gráficos de funções contiínuas e definidas por partes. Gráficos de funções descontínuas. Gráficos de curvas em R2 definidas parametricamente.

Transcript

1. Funções elementares Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ
2. Surfista, estamos assumindo todo o conhecimento adquirido no 2º grau e em Cálculo I sobre as funções elementares. Claro Mestre, senão ia ficar muito chato! Manuel, aponte aí no Help do Numpy, onde achamos as funções matemáticas elementares
3. As funções matemáticas elementares estão em “Routines” na Referência do Numpy. Clique em “Mathematical functions”, Surfista. Elas estão classificadas em diversos tópicos. Vou separar os de interesse imediato.
4. Logo de cara vemos as funções trigonométricas.
5. Em seguida as funções hiperbólicas.
6. Depois as exponenciais e logarítmicas.
7. Da Miscelânea, ao final, separei algumas..
8. Mas, praticamente todas, essas funções já estão na biblioteca math de Python. Por quê são duplicadas em Numpy? Porque em Numpy acrescentou à elas a vetorização e a difusão. Agora elas podem receber arrays como argumentos, etc.
9. É óbvio que clicando em sin, chegamos a este help sobre a função seno.
10. Fiz este programa para mostrar o gráfico das funções seno e cosseno e uma combinação linear delas.
11. Bacana Surfista!
12. E assim para todas as outras funções. Escolhi a logaritmo na base neperiana.
13. Fiz este programa, que traça o gráfico da função exonencial, do logaritmo neperiano e da composta. Exclui x = 0, pois ln(0) não está definido.
14. Como a exponencial é a inversa da função logaritmo neperiano a composta é a identidade y = x Notem que y = x, faz ângulo de 45º com o eixo-x. Isto não aparece visualmente devido às escalas dos eixos.
15. Então Loirinha, vou fazer um programa parecido, com as funções elevar ao quadrado extrair a raiz quadrada.
16. Então com = e = 2, teremos = 2 = . Aqui está o help da raiz quadrada (square root).
17. O programa é bem simples, praticamente igual ao outro!
18. Vejam, uma é a inversa da outra. Observem como os gráficos da composta e de y = x se superpõe. Só fiz para x > 0 pq. não está definida para x < 0.
19. Muita calma nesta hora, Surfista. Observe que 2 = , isto é, NÃO é a inversa de 2. Isto só é verdadeiro para ≥ 0.
20. Uma forma mais simples de trabalhar com = é usar a função absolute( ) do Numpy.
21. Mestre, uma outra definição para |x| é: = ≥ 0 − < 0 Como posso definir funções desse tipo, com expressões diferentes em cada pedaço do domínio? A Numpy fornece a função piecewise( ) para esses casos. Cada pedaço do domínio é selecionado a partir de uma condição.
22. Eis o help para a piecewise( ). São duas listas L e F de mesmo tamanho. A cada condição lógica L[k] da lista L corresponde uma função F[k] da lista F.
23. Mais detalhes sobre a piecewise( ). Vejamos um exemplo.
24. No programa da próxima página definiremos duas funções f e g. A partir delas, usando a piecewise( ) e um valor , satisfazendo < < , construiremos o gráfico abaixo, no intervalo [, ], da função ℎ = ≤ > . Escolhemos = −1, = 2, = 1. As funções f e g estão definidas no código por = = 2 − 2
25. É imperioso observar que, na piecewise, a função g é avaliada no vetor X deslocado para a direita de d-a.
26. Podemos obter o mesmo resultado, mais facilmente, usando a função select( ), do Numpy.
27. O mesmo problema, mas agora para d = 0. Nesse caso a função h(x) é descontínua em x = 0 Mas então essa retinha vermelha, quase vertical, perto do eixo-y, não poderia ser desenhada!
28. A forma de resolver esse problema é inacreditavelmente simples Loirinha. Este é o gráfico da função (descontínua) definida por: = 2 − 0.5 < ≤ 0.5 − 2 0.5 < < 3.0
29. Contornei em vermelho os pontos importantes do código.
30. Agora façam alguns exercícios de utilização das funções do módulo Mathematical functions. Vou estudar, parece uma dica do tipo “vai cair na prova!”
31. Uma curva (paramétrica) em ℝ2 é uma função contínua γ: → ℝ2, ⊂ ℝ um intervalo, que associa a cada valor do parâmetro ∈ um ponto = ( , ) ∈ ℝ2 t () () b a () () () O conjunto dos pontos , ∈ } ⊂ ℝ2 é chamado traço da curva .
32. t () () b a () () () O traço de é percorrido no sentido de t crescente, o que torna a curva orientada. Se I = [a, b], um intervalo fechado: • o ponto = ( , ) é chamado ponto inicial da curva e o ponto • e o ponto = ( , ) de ponto final de .
33. Este programa faz o gráfico de uma curva definida parametricamente.
34. A espiral de Arquimedes e o coração da Loirinha...
35. Outra curva definida parametricamente. Uma linda borboleta! O resto do programa é igual
36. O autódromo é o traço. A cada carro rodando no autódromo está associada uma curva diferente.
37. Surfista, faça um gráfico mostrando os vetores velocidade de duas curvas: • () de uma Ferrari, • e () de uma Lotus. As velocidades serão dadas pelas derivadas dos parâmetros () ...
38. Não deixem de visitar este site sobre funções. Vejam que belíssima página de abertura.
39. Aqui estão as primeiras informações sobre o site. O acesso é gratuito.
40. Dois tópicos a serem desenvolvidos como trabalho: 1. Construir gráficos com escalas semi- log e log-log; 2. Construir gráficos com coordenadas polares.
41. Tchau, até a próxima aula!