Mais gráficos e a SymPy

Volto à NumPy para rever as funções básicas do Cálculo, como construir gráficos de funções definidas por partes e de funções descontínuas. Faço um passeio pelo site da MatPlotLib, visitando escalas logarítmicas, coordenadas polares. Ensino como plotar curvas no plano, como calcular o comprimento de arco. Depois mostro rapidamente o pacote SymPy de matemática simbólica em Python. Fecho apontando para o pacote MpMath de múltipla precisão.

Transcript

1. UFRJ Mais gráficos e a SymPy Prof. Paulo R. G. Bordoni
2. Surfista, estamos assumindo todo o conhecimento adquirido no 2º grau e em Cálculo I sobre as funções elementares. Claro Mestre, senão ia ficar muito chato! Manuel, aponte aí no Help da Numpy, onde achamos as funções matemáticas elementares
3. As funções matemáticas elementares estão em “Routines” na Referência da Numpy. Clique em “Mathematical functions”, Surfista. Elas estão classificadas em diversos tópicos. Vou indicar a lista completa.
4. Logo de cara vemos as funções trigonométricas.
5. Em seguida as funções hiperbólicas.
6. Em seguida as funções para efetuar arredondamentos numéricos.
7. Na aulas passada usamos as funções sum( ) e trapz( ).
8. Depois as exponenciais e logarítmicas.
9. Funções para manipular números reais e outras duas ...
10. Estas funções realizam as operações mais rapidamente!
11. Estas permitem manipularmos números complexos facilmente.
12. Estas encerram o cardápio.
13. Mas, praticamente todas, essas funções já estão na biblioteca math de Python. Por quê são duplicadas em Numpy? Porque em Numpy acrescentou à elas a vetorização e a difusão. Agora elas podem receber arrays como argumentos, etc.
14. É óbvio que clicando em sin, chegamos a este help sobre a função seno.
15. Fiz este programa para mostrar o gráfico das funções seno e cosseno e uma combinação linear delas.
16. Bacana Surfista!
17. E assim para todas as outras funções. Escolhi a logaritmo na base neperiana.
18. Fiz este programa, que traça o gráfico da função exonencial, do logaritmo neperiano e da composta. Exclui x = 0, pois ln(0) não está definido.
19. Como a exponencial é a inversa da função logaritmo neperiano a composta é a identidade y = x Notem que y = x, faz ângulo de 45º com o eixo-x. Isto não aparece visualmente devido às escalas dos eixos.
20. Mestre, tem como usar a mesma escala nos dois eixos? Muito fácil, Filhota. Veja meu programa.
21. Então Loirinha, vou fazer um programa parecido, com as funções elevar ao quadrado extrair a raiz quadrada.
22. Então com = e = 2, e teremos = 2 = . Aqui está o help da raiz quadrada (square root).
23. O programa é bem simples, praticamente igual ao outro!
24. Vejam, uma é a inversa da outra. Observem como os gráficos da composta e de y = x se superpõe. Só fiz para x > 0 pq. não está definida para x < 0. Só que você está calculando 2 que está definida para todo ∈ ℝ.
25. Além disso, Surfista, 2 = , isto é, NÃO é a inversa de 2. Isto só é verdadeiro para ≥ 0.
26. Uma forma mais simples de trabalhar com = é usar a função absolute( ) do Numpy.
27. Mestre, uma outra definição para |x| é: = ≥ 0 − < 0 Como posso definir funções desse tipo, com expressões diferentes em cada pedaço do domínio? A Numpy fornece a função piecewise( ) para esses casos. Cada pedaço do domínio é selecionado a partir de uma condição.
28. Eis o help para a piecewise( ). São duas listas L e F de mesmo tamanho. A cada condição lógica L[k] da lista L corresponde uma função F[k] da lista F.
29. Mais detalhes sobre a piecewise( ). Vejamos um exemplo.
30. No programa da próxima página definiremos duas funções f e g. A partir delas, usando a piecewise( ) e um valor , satisfazendo < < , construiremos o gráfico abaixo, no intervalo [, ], da função ℎ = ≤ > . Escolhemos = −1, = 2, = 1. As funções f e g estão definidas no código por = = 2 − 2
31. É imperioso observar que, na piecewise, a função g é avaliada no vetor X deslocado para a direita de d-a.
32. Podemos obter o mesmo resultado, mais facilmente, usando a função select( ), do Numpy.
33. O mesmo problema, mas agora para d = 0. Nesse caso a função h(x) é descontínua em x = 0 Mas então essa retinha vermelha, quase vertical, perto do eixo-y, não poderia ser desenhada!
34. Sim Loirinha! Isto acontece porque a Matplolib traça seus gráficos usando interpolação linear por partes. É mesmo Mestre, esse segmento quase na vertical liga dois pontos consecutivos do gráfico!
35. E a diferença − () sendo grande. Mas não quero te namorar, seu machista! Quem diria, além de linda, é inteligente! Um par (, ) antes de d com = () e outro par (, ) depois de d, com = ().
36. A forma de resolver esse problema é inacreditavelmente simples Loirinha. Este é o gráfico da função (descontínua) definida por: = 2 − 0.5 < ≤ 0.5 − 2 0.5 < < 3.0
37. Contornei em vermelho os pontos importantes do código.
38. E as descontinuidades com salto infinito. Sim, como a da função = 1/ para ≠ 0.
39. A Numpy fornece uma ajuda para nós. É a função nonzero( ). Vejam na próxima transparência. Bem, antes disso, precisamos saber excluir = 0 do domínio da f.
40. Um paliativo para resolver esse problema é usar muitos pontos no eixo-x. Vejam nas próximas transparências. Ok, Mestre, mas e as descontinuidades por oscilação? Sim, tipo a função = cos(1/) perto de = 0.
41. Vejam, usei 100, 1.000 e 10.000 pontos. RUIM RUIM BOM
42. Comparando numa figura só, com 4 gráficos. Reduzindo o intervalo e o nº de pontos perdemos a qualidade! 100.000 ptos. 10.000 ptos. 1.000 ptos. 100 ptos
43. Agora diminui os intervalos, mas usei 10.000 pontos em todos.
44. Mestre, em Física e Engenharias, muitas vezes precisamos trabalhar com escalas logarítmicas e coordenadas polares. Sim, mostre-nos alguns exemplos.
45. Sim, mas antes dos exemplos, vamos passear pela MatPlotLib. Mestre, ensine o caminho das pedras ao Surfista!
46. O site da MatPlotLib:
47. Clicando em Pyplot, você verá isto, Loirinha
48. Saquei Mestre! Vou fazer uma busca sobre “scale”.
49. Eis aí o que eu sei sobre tua pergunta, oh Surfista.
50. Fui buscar “xscale’.
51. Pronto, agora é só usar!
52. Eis o que eu sei sobre a função semilogx( )
53. No 1º gráfico usamos escala logarítmica no eixo-y. No 2º semi- logarítmica (no eixo-x).
54. Agora vamos ver as coordenadas polares!
55. Gostei de ver, minha Filha!
56. Mestra, “MatPloLib vermelha” me dá asas!
57. Nosso voto ensinará os políticos a respeitar-nos. Castro Alves disse: “A praça é do povo, como o céu é do condor”
58. Mais pedras. Aliás, o que o Carlos Drumond de Andrade tem a ver com “No meio do caminho tinha uma pedra...”
59. Clicando em “examples”:
60. E clicando em “gallery”:
61. Agora, façam alguns gráficos utilizando Matplotlib e as funções do módulo Mathematical functions. Vou estudar, parece uma dica do tipo “vai cair na prova!”
62. Uma curva (paramétrica) em ℝ2 é uma função contínua γ: → ℝ2, ⊂ ℝ um intervalo, que associa a cada valor do parâmetro ∈ um ponto = ( , ) ∈ ℝ2 t () () b a () () () O conjunto dos pontos , ∈ } ⊂ ℝ2 é chamado traço da curva .
63. t () () b a () () () O traço de é percorrido no sentido de t crescente, o que torna a curva orientada. Se I = [a, b], um intervalo fechado: • o ponto = ( , ) é chamado ponto inicial da curva e o ponto • e o ponto = ( , ) de ponto final de .
64. Este programa faz o gráfico de uma curva definida parametricamente.
65. A espiral de Arquimedes e o coração da Loirinha...
66. Outra curva definida parametricamente. Uma linda borboleta! O resto do programa é igual
67. O autódromo é o traço. A cada carro rodando no autódromo está associada uma curva diferente.
68. A1 A0 A2 A3 Usando Pitágoras! Veja como: Mestre, como eu calculo o comprimento do autódromo?
69. A1 A0 A2 A3 Grande dica! Pela sua figura, é só somar as hipotenusas dos triângulos: 0 1 + 1 2 + 2 3 Satisfeitas exigências adequadas sobre a curva γ, usando uma malha uniforme 0 , 1 , ⋯ , de tamanho ∆ = − −1 , teremos = lim Δ→0 =1 (−1 )( )
70. Executei meu programa 3 vezes:
71. Neste programa eu mostro os gráficos das funções posição, velocidade e aceleração de um carro.
72. Vejam. Precisei executar várias vezes o programa para ajustar as escalas da velocidade e aceleração.
73. Para traçar a velocidade instantânea como vetor tangente à curva:
74. Duas execuções do meu programa. A velocidade é o vetor em vermelho e a aceleração aquele em azul.
75. Vejam o código do meu programa.
76. Mestres, o Matlab, o Mathematica e o Maple permitem calcularmos as expressões da derivada e da integral (primitiva) de uma função. Há algo semelhante para Python?
77. Sim Loirinha. A SymPy foi criada exatamente para isto! Vamos examiná-la agora!.
78. Aliás, não deixem de visitar este site do Mathematica sobre funções. Vejam que belíssima página de abertura.
79. Aqui estão as primeiras informações sobre o site. O acesso é gratuito.
80. Mas, voltando à SymPy, eis seu início:
81. É uma grande biblioteca! Funções, limites, derivadas e integrais!
82. Resolução de equações, análise combinatória e matrizes!
83. Pois é, meus filhos, há muita coisa a explorar. Mãos à obra!
84. A documentação da SymPy. O Tutorial começa por aqui!
85. As preliminares são importantes e os exercícios também!
86. O Tutorial é uma introdução!
87. No cantinho inferior direito temos a live shell.
88. Nosso interesse está em Cálculo, mas antes dê uma geral nas “dicas” e “pegadinhas”.
89. Cálculo na SymPy:
90. Detalhes de Cálculo na SymPy:
91. Loirinha! As perguntas são bem-vindas na SymPy.
92. Buscando mais!
93. Vamos usar esta!
94. Mais detalhes sobre a diff( ).
95. Mais opções para derivada.
96. Buscando mais:
97. Tchau, até a próxima aula!