de grau menor ou igual a 2, é constituída pelas polinomiais: 0 () = 0 = 1, 1 () = 1 = , 2 () = 2 . A ideia é a mesma. Para a polinomial = 2.1 + 0.7 + 1.5 2 temos = 2.1 0 + 0.7 1 + 1.5 2
LI precisamos garantir a implicação 0 0 + 1 1 + 2 2 = 0 ⇒ ቐ 0 = 0 1 = 0 2 = 0 Mestra, que 0 , 1 , 2 geram o 2 é óbvio. Mas, como faço para provar que elas são LI ?
de ℙ2 basta especificar suas coordenadas 0 , 1 , 2 na base canônica: = 0 0 + 1 1 + 2 2 É exatamente essa a ideia utilizada para definir a classe polynomial da Numpy. Basta dar as coordenadas da polinomial p na base canônica.
p chamando o construtor Polynomial(), da classe polynomial passando os parâmetros coef, domain e window. Os passos envolvidos na criação de uma função polinomial p: 1 2
+∞ lim →−∞ = +∞ Ímpar lim →+∞ = +∞ lim →−∞ = −∞ O comportamento das funções polinomiais para → ±∞ depende apenas do termo de maior grau da polinomial (se n é ímpar ou par) e do sinal do seu coeficiente, o a n : Se an < 0 é só trocar o sinal dos limites
quando usamos ≠ estamos, na verdade, trabalhando com uma polinomial composta ∘ , onde s é a função afim, translação mais fator de escala, definida por = 0 + ∗ , com = || ||
2. Para outros valores de k, isto não acontece. Confiram nas duas próximas transparências. Fizemos um programa que mostra 3 gráficos: 1. O de uma polinomial p com Window = Domain, 2. O da mesma polinomial p, mas com Window ≠ Domain, 3. Um 3º da mesma polinomial p, com o mesmo Domain, mas substituindo a variável x por ∗ , onde k um fator de escala para a variável x.
integráveis (pq. são contínuas) Infinitamente diferenciáveis só porque derivada de ordem n de uma polinomial de grau n é uma constante e a derivada de ordem n+1 é zero: x = cte , +1 = 0
2 − 3 Obteremos, obviamente, uma polinomial de grau 4 em x, cujas raízes são 0 , 1 , 2 , 3 . Essa polinomial terá a forma padrão 4 4 + 3 32 21 x + 0 , 4 = 1, cujos coeficientes são obtidos, com um bocado de algebrismo, a partir das raízes.
0 + 1 + 2 + 3 + 4 . São só 4 adições e 4 multiplicações. O algoritmo de Briot-Ruffini-Horner é o algoritmo mais rápido para calcular o valor de uma função polinomial como = 0 + 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4
então a equação () = 0 Possui pelo menos uma raiz (real ou complexa). Teorema fundamental da Álgebra Carl Friedrich Gauss demonstrou o seguinte resultado em sua tese de doutorado:
sua complexa conjugada), se o grau da polinomial é ímpar com certeza ela possui uma raiz real. Segue do Teorema fundamental da Álgebra que: uma função polinomial = () de grau n possui n raízes reais ou complexas.
não apenas para equações polinomiais. O polyroots() é específico para polinomiais. O Mestre fez um programa para mostrar o gráfico de uma polinomial () e assinalar seus pontos de máximo, mínimo e inflexão. Mostra também os gráficos das derivadas de ordem 1 e 2 da ().
Se existir alguma constante M > 0 tal que ℎ ≤ ℎ, ℎ ∈ [0, ), para suficientemente pequeno, escreveremos = ℴ(ℎ) e diremos que f converge a zero com ordem k (polinomialmente).
a derivada linearmente, e que a DDF centrada aproxima quadraticamente. Mas Mestra, os gráficos lá obtidos mostram convergência exponencial. Obtives retas em escala logarítmica!
decai exponencialmente a zero com k, colega! Surfista, mostre graficamente que a convergência do método de Newton- Raphson é quadrática. Compare (também graficamente) a velocidade de convergência dos métodos da secante, ponto-fixo e bisseção.
das polinomiais. Elas surgem de forma natural na resolução, por separação de variáveis, de problemas de valor de contorno onde o domínio apresenta algum tipo de simetria. Infelizmente, em nosso curso, não teremos oportunidade de trabalhar com esses problemas.