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Série de Taylor e a SymPy

4acc58a03aa964e2f04b538836f2d468?s=47 Paulo Bordoni
December 04, 2013

Série de Taylor e a SymPy

Iniciamos com uma discussão sobre os conceitos de tensão, deformação, lei de Hooke módulo de Young. Depois observamos que a reta tangente aproxima a função nas vizinhanças do ponto de tangência. Depopis de um pequeno histórico sobre Brook Taylor mergulhamos nas aproximações polinomiais de Taylor junto com a scipy. Depois damos uma visão geral sobre a SymPy e sua utilização no cálculo de derivadas.

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Paulo Bordoni

December 04, 2013
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Transcript

  1. Série de Taylor e a SymPy Prof. Paulo R. G.

    Bordoni UFRJ
  2. Mestra, você já me explicou que não existem polinomiais de

    grau infinito! Sim minha filha, eu te disse que: “As polinomiais de ℙ([, ]), não possuem restrição de grau. Portanto o grau poderá ser qualquer número natural, por isso mesmo finito.”
  3. Mas em Cálculo aprendi a calcular a série de Taylor,

    = (0) ! ∞ =0 , de uma função ... Ela não é uma polinomial de grau infinito? Na-na-ni-na-não – NÃO! Aliás, esta é uma confusão conceitual muito frequente entre os alunos de Cálculo.
  4. Valeu Mestra! Eu estava comendo gato por lebre! Uma série

    como essa não é uma soma, mas sim o limite de uma sequência de somas de polinomiais: = lim →∞ () onde = =0 .
  5. A ∙ ∞ permite medir aproximações em todo o intervalo

    [a, b], de forma global. Em Física e nas Engenharias aproximações locais são muito utilizadas.
  6. = − Robert Hooke, por volta de 1660, enunciou a

    lei da elasticidade (lei de Hooke), segundo a qual as deformações sofridas pelos corpos são, em princípio, diretamente proporcionais às forças que se aplicam sobre eles. Um material é elástico quando retoma seu estado original após uma pequena deformação.
  7. A rigidez de um material sólido é medida pelo seu

    módulo de elasticidade.
  8. De forma mais detalhada:

  9. Um comportamento linear apenas para pequenas deformações.

  10. Como calcular o módulo de Young nas diversas regiões da

    intensidade da deformação
  11. As ideias de Newton foram (e continuam sendo) relevantes para

    a matemática. Lembrem-se do Método de Newton-Raphson Onde usamos o fato que a reta tangente “cola” na função perto do ponto de tangência!
  12. Além disso, uma associação fulgurante: A reta tangente ao gráfico

    da função, num ponto, como um método de aproximação local para a função. A derivada colocou os conceitos de velocidade e aceleração em bases sólidas!
  13. O programa que mostra o gráfico da função e da

    reta tangente. Vou reduzir a vizinhança entorno de 0 para enfatizar o aspecto local.
  14. Atenção aos intervalos e à função erro!

  15. A reta tangente dá uma aproximação de 1ª ordem, ou

    linear. É possível estabelecer aproximações locais de maior ordem: quadráticas, cúbicas, etc. Aí entram as aproximações polinomiais.
  16. Brook Taylor, 1685-1731 Eis o criador da série de Taylor

    de uma função. Leiam mais na referência! http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/
  17. Meu conterrâneo, e a capa do livro onde apresentou as

    diferenças finitas, série de Taylor, etc.
  18. Sobre a série de Taylor.

  19. Admitindo-se que: • , • e (+1) existe em ,

    então para todo [, ], existe um número entre 0 e tal que: • = + +1 (), com: • • = (0 ) ! ( − 0 ) =0 +1 = +1 ( ) +1 ! ( − 0 )+1 Teorema de Taylor Surfista, em livros de Cálculo você encontrará a demonstração do:
  20. O desenvolvimento em série de Taylor das funções exponencial, logaritmo

    e a famosa série geométrica. A exponencial e a logaritmo neperiano: • = ! ∞ =0 , ∈ ℝ • ln 1 + = (−1) + 1 ∞ =0 +1, < 1 A série geométrica: • 1− = , ∞ = < 1
  21. Este programa mostra a expansão em série de Taylor de

    uma função ().
  22. A polinomial de Taylor 1 () por 0 = 0.

    para a função = . Observem a função erro e o erro máximo. 1 = 1 +
  23. A polinomial de Taylor 2 () por 0 = 0

    para a função = . Agora temos uma parábola tangenciando em (0,1). 2 = 1 + + 2/2
  24. 3 = 1 + + 2 2 + 3 6

    Agora a polinomial de Taylor é de grau 3. Notem como o erro diminuiu.
  25. Agora para a função () = ln (1 + ).

    3 = − 2 2 + 3 3
  26. A aproximação é local. Quanto menor a vizinhança (−, )

    entorno do ponto 0 , mais a polinomial de Taylor “cola” na (1 + ).
  27. Dei um “zoom” na escala vertical do gráfico, para examinar

    melhor a função erro. A tabela Vizinhança X Erro máx. ilumina o caráter local da aproximação por Taylor. Vizinhança Erro máx. (-0.5, 0.5) 2.7 × 10−2 (-0.4, 0.4) 9.5 × 10−3 (-0.3, 0.3) 2.7 × 10−3 (-0.2, 0.2) 4.8 × 10−4 (-0.1, 0.1) 2.7 × 10−5
  28. Funções pares Funções ímpares Uma função f é: • Par

    quando − = () • Ímpar quando − = −()
  29. • cos = (−1) 2 ! ∞ =0 2, ∈

    ℝ • sen = (−1) 2+1 ! ∞ =0 2+1, ∈ ℝ • = 2 −4 (1−4) 2 ! ∞ =1 2−1 = + 3 3 + 25 15 + … , < 2 , os são números de Bernoulli. O desenvolvimento em série de Taylor das funções trigonométricas básicas. A cos () é par e as e tan () são ímpares. Já as e log (1 + ) não são pares nem ímpares.
  30. Para funções ímpares, na expansão de Taylor, só comparecem as

    potências ímpares de x. 3 = − 3/6
  31. A aproximação linear para () é muito utilizada por físicos

    e engenheiros. Vizinhança Erro máx. (-1.5, 1.5) 5.0 × 10−1 (-1.0, 1.0) 1.6 × 10−1 (-0.5, 0.5) 2.1 × 10−2 1 =
  32. Surfista, observe que aumentando o intervalo para [−, ], o

    erro na aproximação pela polinomial deTaylor 3 () fica enorme. Isto porque ≤ 1 para ∈ ℝ, mas a polinomial de Taylor 3 = − 3/6 é ilimitada em ℝ.
  33. 2 = 1 − 2/2 4 = 1 − 2

    2 + 4 24 As aproximações para cos () só envolvem as potências pares de .
  34. No Teorema de Taylor, os coeficientes da polinomial são obtidos

    derivando a f e calculando seu valor no ponto 0 : Nas NumPy/SciPy existe alguma forma de calcular as derivadas, como no Maple e no Mathematica?
  35. Sim, através da SymPy, a biblioteca de Matemática Simbólica para

    Python.
  36. O início da SymPy:

  37. É uma grande biblioteca! Funções, limites, derivadas e integrais!

  38. Resolução de equações, análise combinatória e matrizes!

  39. Pois é, meus filhos, há muita coisa a explorar. Mãos

    à obra!
  40. A documentação da SymPy. O Tutorial começa por aqui!

  41. As preliminares são importantes e os exercícios também!

  42. O Tutorial é uma introdução!

  43. No cantinho inferior direito temos a live shell.

  44. Nosso interesse está em Cálculo, mas antes dê uma geral

    nas “dicas” e “pegadinhas”.
  45. Loirinha! As perguntas são bem-vindas na SymPy.

  46. Cálculo na SymPy:

  47. Detalhes de Cálculo na SymPy:

  48. Buscando mais!

  49. Vamos usar esta!

  50. Mais detalhes sobre a diff( ).

  51. Usando o pacote sympy.mpmath para calcular os valores das derivadas

    para o Teorema de Taylor:
  52. Mais opções para derivada.

  53. Buscando mais:

  54. Neste programa estamos usando a sympy.mpmath para calcular as (0

    ).
  55. Valeu, Mestre. Já sei como começar a brincar com a

    SymPy.
  56. mpmath é um módulo para multiprecisão em matemática...

  57. A parte final do multiprecisão.

  58. Tchau! Até a próxima.