Série de Taylor e a SymPy

Iniciamos com uma discussão sobre os conceitos de tensão, deformação, lei de Hooke módulo de Young. Depois observamos que a reta tangente aproxima a função nas vizinhanças do ponto de tangência. Depopis de um pequeno histórico sobre Brook Taylor mergulhamos nas aproximações polinomiais de Taylor junto com a scipy. Depois damos uma visão geral sobre a SymPy e sua utilização no cálculo de derivadas.

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1. Série de Taylor e a SymPy Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ
2. Mestra, você já me explicou que não existem polinomiais de grau infinito! Sim minha filha, eu te disse que: “As polinomiais de ℙ([, ]), não possuem restrição de grau. Portanto o grau poderá ser qualquer número natural, por isso mesmo finito.”
3. Mas em Cálculo aprendi a calcular a série de Taylor, = (0) ! ∞ =0 , de uma função ... Ela não é uma polinomial de grau infinito? Na-na-ni-na-não – NÃO! Aliás, esta é uma confusão conceitual muito frequente entre os alunos de Cálculo.
4. Valeu Mestra! Eu estava comendo gato por lebre! Uma série como essa não é uma soma, mas sim o limite de uma sequência de somas de polinomiais: = lim →∞ () onde = =0 .
5. A ∙ ∞ permite medir aproximações em todo o intervalo [a, b], de forma global. Em Física e nas Engenharias aproximações locais são muito utilizadas.
6. = − Robert Hooke, por volta de 1660, enunciou a lei da elasticidade (lei de Hooke), segundo a qual as deformações sofridas pelos corpos são, em princípio, diretamente proporcionais às forças que se aplicam sobre eles. Um material é elástico quando retoma seu estado original após uma pequena deformação.
7. A rigidez de um material sólido é medida pelo seu módulo de elasticidade.
8. De forma mais detalhada:
9. Um comportamento linear apenas para pequenas deformações.
10. Como calcular o módulo de Young nas diversas regiões da intensidade da deformação
11. As ideias de Newton foram (e continuam sendo) relevantes para a matemática. Lembrem-se do Método de Newton-Raphson Onde usamos o fato que a reta tangente “cola” na função perto do ponto de tangência!
12. Além disso, uma associação fulgurante: A reta tangente ao gráfico da função, num ponto, como um método de aproximação local para a função. A derivada colocou os conceitos de velocidade e aceleração em bases sólidas!
13. O programa que mostra o gráfico da função e da reta tangente. Vou reduzir a vizinhança entorno de 0 para enfatizar o aspecto local.
14. Atenção aos intervalos e à função erro!
15. A reta tangente dá uma aproximação de 1ª ordem, ou linear. É possível estabelecer aproximações locais de maior ordem: quadráticas, cúbicas, etc. Aí entram as aproximações polinomiais.
16. Brook Taylor, 1685-1731 Eis o criador da série de Taylor de uma função. Leiam mais na referência! http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/
17. Meu conterrâneo, e a capa do livro onde apresentou as diferenças finitas, série de Taylor, etc.
18. Sobre a série de Taylor.
19. Admitindo-se que: • , • e (+1) existe em , então para todo [, ], existe um número entre 0 e tal que: • = + +1 (), com: • • = (0 ) ! ( − 0 ) =0 +1 = +1 ( ) +1 ! ( − 0 )+1 Teorema de Taylor Surfista, em livros de Cálculo você encontrará a demonstração do:
20. O desenvolvimento em série de Taylor das funções exponencial, logaritmo e a famosa série geométrica. A exponencial e a logaritmo neperiano: • = ! ∞ =0 , ∈ ℝ • ln 1 + = (−1) + 1 ∞ =0 +1, < 1 A série geométrica: • 1− = , ∞ = < 1
21. Este programa mostra a expansão em série de Taylor de uma função ().
22. A polinomial de Taylor 1 () por 0 = 0. para a função = . Observem a função erro e o erro máximo. 1 = 1 +
23. A polinomial de Taylor 2 () por 0 = 0 para a função = . Agora temos uma parábola tangenciando em (0,1). 2 = 1 + + 2/2
24. 3 = 1 + + 2 2 + 3 6 Agora a polinomial de Taylor é de grau 3. Notem como o erro diminuiu.
25. Agora para a função () = ln (1 + ). 3 = − 2 2 + 3 3
26. A aproximação é local. Quanto menor a vizinhança (−, ) entorno do ponto 0 , mais a polinomial de Taylor “cola” na (1 + ).
27. Dei um “zoom” na escala vertical do gráfico, para examinar melhor a função erro. A tabela Vizinhança X Erro máx. ilumina o caráter local da aproximação por Taylor. Vizinhança Erro máx. (-0.5, 0.5) 2.7 × 10−2 (-0.4, 0.4) 9.5 × 10−3 (-0.3, 0.3) 2.7 × 10−3 (-0.2, 0.2) 4.8 × 10−4 (-0.1, 0.1) 2.7 × 10−5
28. Funções pares Funções ímpares Uma função f é: • Par quando − = () • Ímpar quando − = −()
29. • cos = (−1) 2 ! ∞ =0 2, ∈ ℝ • sen = (−1) 2+1 ! ∞ =0 2+1, ∈ ℝ • = 2 −4 (1−4) 2 ! ∞ =1 2−1 = + 3 3 + 25 15 + … , < 2 , os são números de Bernoulli. O desenvolvimento em série de Taylor das funções trigonométricas básicas. A cos () é par e as e tan () são ímpares. Já as e log (1 + ) não são pares nem ímpares.
30. Para funções ímpares, na expansão de Taylor, só comparecem as potências ímpares de x. 3 = − 3/6
31. A aproximação linear para () é muito utilizada por físicos e engenheiros. Vizinhança Erro máx. (-1.5, 1.5) 5.0 × 10−1 (-1.0, 1.0) 1.6 × 10−1 (-0.5, 0.5) 2.1 × 10−2 1 =
32. Surfista, observe que aumentando o intervalo para [−, ], o erro na aproximação pela polinomial deTaylor 3 () fica enorme. Isto porque ≤ 1 para ∈ ℝ, mas a polinomial de Taylor 3 = − 3/6 é ilimitada em ℝ.
33. 2 = 1 − 2/2 4 = 1 − 2 2 + 4 24 As aproximações para cos () só envolvem as potências pares de .
34. No Teorema de Taylor, os coeficientes da polinomial são obtidos derivando a f e calculando seu valor no ponto 0 : Nas NumPy/SciPy existe alguma forma de calcular as derivadas, como no Maple e no Mathematica?
35. Sim, através da SymPy, a biblioteca de Matemática Simbólica para Python.
36. O início da SymPy:
37. É uma grande biblioteca! Funções, limites, derivadas e integrais!
38. Resolução de equações, análise combinatória e matrizes!
39. Pois é, meus filhos, há muita coisa a explorar. Mãos à obra!
40. A documentação da SymPy. O Tutorial começa por aqui!
41. As preliminares são importantes e os exercícios também!
42. O Tutorial é uma introdução!
43. No cantinho inferior direito temos a live shell.
44. Nosso interesse está em Cálculo, mas antes dê uma geral nas “dicas” e “pegadinhas”.
45. Loirinha! As perguntas são bem-vindas na SymPy.
46. Cálculo na SymPy:
47. Detalhes de Cálculo na SymPy:
48. Buscando mais!
49. Vamos usar esta!
50. Mais detalhes sobre a diff( ).
51. Usando o pacote sympy.mpmath para calcular os valores das derivadas para o Teorema de Taylor:
52. Mais opções para derivada.
53. Buscando mais:
54. Neste programa estamos usando a sympy.mpmath para calcular as (0 ).
55. Valeu, Mestre. Já sei como começar a brincar com a SymPy.
56. mpmath é um módulo para multiprecisão em matemática...
57. A parte final do multiprecisão.
58. Tchau! Até a próxima.