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Terceira prova "online"

Terceira prova "online"

As 3 questões da prova.

Paulo Bordoni

July 03, 2017
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Transcript

  1. A 3ª prova online
    Prof. Paulo Bordoni

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  2. Conforme falei em sala de aula, esta
    3ª prova “online” deverá ser
    devolvida até as 23:59 h do próximo
    sábado (dia 08/07).

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  3. Serão 3 questões, sobre:
    i. Determinação de raízes de equações;
    ii. Problemas de valor inicial para EDO’s;
    iii. Problemas de valor de contorno para EDO’s.

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  4. Questão 1 (valor 3,0 pontos):
    a) Efetue a localização de raízes e
    b) Utilize os métodos da bisseção, Newton-Raphson
    e do ponto-fixo para determinação, com 5 dígitos
    de precisão, de uma das raízes da equação
    escolhida para seu grupo.

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  5. A lista dos grupos e suas
    equações é a seguinte:
    Grupo Equação
    1 − 2− = 0
    2 − 2 + 3 − 2 = 0
    3 2 2 − ( + 1)2 = 0
    4 − 22 + 3 − 1 = 0
    5 3 − = 0
    6 + 3 cos − = 0
    7 2 − 4 + 4 − ln = 0
    8 + 1 − 2 = 0
    9 − 2 = 0
    10 − = 0
    11 3 + − 4 = 0

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  6. Questão 2 (valor 4,0)
    Faça duas tabelas comparando as soluções do problema de valor
    inicial indicado para seu grupo pelos métodos de:
    • Euler,
    • Euler modificado,
    • Heun e
    • Runge-Kuta de ordem 4,
    com a solução exata para os dados indicados pelo Mestre.

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  7. Grupo EDO Solução exata
    Intervalo
    para
    Condição inicial
    1 ′ = − + 1/2 = ( − 2 + 2 −/2)2 [2,3] 2 = 2
    2 ′ = Τ
    − ( Τ
    )2 = Τ
    (1 + ln ) [1,2] 1 = 1
    3 ′ = −( + 1)( + 3) = −3 + 2/(1 + −2) [0,2] 0 = −2
    4 ′ = (1 + )/(1 + ) = 2 + 2 + 6 − 1 [0,2] 1 = 2
    5 ′ = Τ
    2 (1 + ) = Τ
    −1 ln( + 1) [1,2] 1 = −1/ln(2)
    6 ′ = 1 + Τ
    + ( Τ
    )2 = ( ) [1,3] 1 = 0
    7 ′ = − = ln( + − 1) [0,1] 0 = 1
    8 ′ = ( 2 − 2)/2 Τ
    = (4 + cos 2 − cos 2 ) 22 [1,2] (1) = 2
    9 ′ = 1 + / = ln + 2 [1,2] (1) = 2
    10 ′ = 1 + ( − )2 = + 1/(1 − ) [2,3] (2) = 1
    11 ′ = 3 − 2 = 3

    5

    1
    25
    + −21/25 [0,1] 0 = 0
    Para a 1ª tabela use um passo ℎ = 0.1 e
    para a 2ª use ℎ = 0.05 (para definir as
    partições do intervalo para ).

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  8. Questão 3 (valor 3,0 pontos)
    Use o método de diferenças finitas para
    obter a solução do problema de valor de
    contorno indicado para o seu grupo.
    Consultem o livro Análise Numérica de R.
    Burden e J D. Faires, caps. 11-3 e 11-4 para
    algoritmos explícitos.
    Existem diversos exemplares dele na
    biblioteca do NCE.

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  9. Gru-
    po
    Equação diferencial Solução exata
    Interv.
    p/.
    Condições de contorno
    1 ′′ = −(′)2 − + ln() = ln() [1,2] 1 = 0 , y 2 = ln(2)
    2 ′′ = 23 () = Τ
    1 ( + 3) [-1,0] −1 = Τ
    1 2 , 0 = Τ
    1 3
    3 ′′ = 3 − ′ = ( + 1)−1 [1,2] 1 = Τ
    1 2 , 2 = Τ
    1 3
    4 ′′ = 23 − 6 − 23 = + −1 [1,2] 1 = 2, 2 = Τ
    5 2
    5 ′′
    = ′ + 2( − ln )3 − −1
    = −1 + ln() [2,3] 2 = Τ
    1 2 + ln 2 ,
    3 = Τ
    1 3 + ln(3)
    6 ′′ = 4( − )
    = 2(4 − 1)−1 2 − −2 +
    [0,1] 0 = 0,
    y 1 = 2
    7 ′′ = y′ + 2y + cos(x) = −(se + 3 cos /10 [0, Τ
    2] 0 = −0.3, y
    π
    2
    = −0.1
    8 ′′
    = [2(′)2 − 92
    + 46]/5
    = 3ln(x) [1,2] 1 = 0, 2 = ln(256)
    9 ′′ + y = 0 = cos() + 2 − 1 () [0, Τ
    4] 0 = 1, π/4 = 1
    10 ′′ + 4 = cos()
    = Τ
    (−1 3) cos 2 − Τ
    2 6 2
    + Τ
    1 3 cos()
    [0, Τ
    4] 0 = 0,
    ( Τ
    4) = 0
    11
    ′′ = 2y′ − y + −
    = Τ
    3 6 − Τ
    5 3 + 2 − − 2
    [0,2] 0 = 0, 2 = −4
    Usar partições do intervalo
    para solução e/ou tolerância
    apropriados

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  10. Devolvam a prova para meu
    endereço:
    [email protected]

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  11. Tchau, boa prova e
    felicidades.

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