Causal Survival Analysis(Causal inference: What if, Chapter 17)

Cat, and human attached glasses @sankyoh Causal Survival Analysis 120
PAGES 猫と人間が付属している眼鏡 @sankyoh 17 Causal Inference; what if

今日のセクション 17.1 Hazard and risks 17.2 From hazards to risks
17.3 Why censoring matters 17.4 IP weighting of marginal structural models 17.5 The parametric g-formula 17.6 G-estimation of structural nested models 2 11章の復習 12章の復習 13章の復習 14章の復習

イントロダクション関心のあるイベントが発生するまでの時間に対する治療効果（因果）を推定したい。この章では、Time-fixed treatmentをシンプルにした設定での生存分析の基本的なテクニックを概説する。 Time-varyingについては、PartⅢにて。 5 シンプルとは…

Note: 本文では書いていませんが、（主に私の）混乱を避けるために、資料では時間を（極力）使い分けます。時点 – ある1つの時間の時点時間間隔 – ある時点から別のある時点までの半閉区間 6

Note: 7 time 時点k 時点k+1 時点k+2 時点k+3 時間間隔 (k,k+1] 時間間隔を半開区間（左開右閉）にしているのは、DkやCkの扱いを考えてのことです（後述）。

17.3 Why censoring matters 17.4 IP weighting of marginal structural models 17.5 The parametric g-formula 17.6 G-estimation of structural nested models 8

Section 17.1 Hazard and Risk Pick up point – 管理的打切り
administrative censoring – Survival, Risk, Hazardの違い 9

17.1 Hazard and Risk 禁煙の有無が死亡時点Tに与える影響について考える。死亡イベントは一部の対象者でのみ観察されません。 Administrative end of follow-up；研究終了時点があり、そ
の後の情報は入手出来ない。 10 超訳ですが、administrative end of follow-upを研究終了時点と訳します。脳内変換して下さい。

管理的な打切り研究終了時点以前にイベント発生していない対象者は、 administrative censoring；管理的打切りになる。研究終了時点までは生きていたことはわかるけれど、どのくらい長生きしたのか不明。管理的打切りが生存分析の本質的問題です。 11

その他の問題管理的打切り以外の打切りももちろんあるが、この章では割愛し、管理的打切りに注目する。 – loss to follow-up – competing events
(Fine Point 17.1) これまでの章で説明した選択バイアスと同様に考えたり、（時間依存プロセスも考えるので）Part Ⅲで見ていく。 12

NHEFSデータ P：1982年に生きていた1629人の喫煙者（25歳～74歳） E：禁煙ありA=1 C：禁煙なしA=0 O：死亡までの時間T フォローアップ – 1983年1月1日～1992年12月31日管理的打切りまでの時間間隔 –
観察開始時点～終了時点 – 今回は、全員一緒に開始・終了するので、120ヶ月に固定 13

Section 17.1 Hazard and Risk Pick up point – 管理的打切り
administrative censoring – Survival, Risk, Hazardの違い 14

Risk, survival, hazard 死亡までの時間Tは1～120の値をとる。 – T＝1 • 1ヶ月目に死亡 • 死亡は
(0,1] の時間間隔で発生 TはA=1の102人、A=0の216人でわかる。 – 要は10年の観察期間内に死亡した。 15

Risk, survival, hazard 残りの1311人は、T>120だが値は不明。 – 管理的打切りとなった。平均値 [ ] は計算不能
代わりに、Risk, Survival, Hazardを計算する。 16

Survival 時点kまで生きている人の割合プロットすると生存曲線を書く事ができます。 – > 0 = 1 – 単調減少する。
17 = >

Risk 時点k以前までに死んでいる人の割合プロットすると累積罹患曲線を書く事ができます。 – ≤ 0 = 0 – 単調増加する。
18 = ≤ = 1 − >

Survival, Riskの治療レベル毎の比較生存分析では、いくつか or すべての時点kで治療レベル毎にSurvivalやRiskを比較するのが自然なアプローチです。 NHEFSデータでは交換可能性が保持されていませんが、 Section 17.4までは目をつぶります。 19

Figure 17.1 生存曲線の比較 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0 12
24 36 48 60 72 84 96 108 120 analysis time qsmk = 0 qsmk = 1 Kaplan-Meier survival estimates 20 全ての時点kで > | = 1 と > | = 0 を比較 76.2% vs 82.0%

Hazard; discrete time hazard 時点k-1まで生きている人のうち、時点kで死んだ人の割合。単調増加や単調減少ではなく、増えたり減ったりする。離散的な時間の式 – リアルな研究でも離散的にしか取得していない（年、月、日など）。 21
= = | > − 1 連続的なhazardは本章では登場しません。なお、物理学によると時間は離散量らしいです。

RiskとHazardの違い RiskとHazardは異なる指標 = (0, ] = ( − 1, ]
( − 1) 22 変動しない単調減少単調増加変動

参考）Hazard curve 23 NHEFSデータでは、ハザードはＭ型になる。 .001 .0015 .002 .0025 .003
Smoothed hazard function 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 analysis time qsmk=0 qsmk=1 Cox proportional hazards regression

RiskとHazardの違い Hazardを治療レベルで比べたものはHazard ratio。いろいろと問題があるので、RiskとSurvivalを使います。 – ただ、Hazardは計算途中に使います。 24 Hazardの問題はFine Point 17.2にて。

Section 17.2 From hazard to risks Pick up point –
2つのデータ形式 – failure eventのDkの導入 – HazardからRiskを計算 • ノンパラメトリック • パラメトリック（ロジスティックモデル） 26 11章の復習

データ配列 Wide-type（1行-1人） NHEFSデータでは、1,629行 27 個人id 禁煙の有無死亡した月 1 0 15
2 0 43 3 1 45 4 1 90

データ配列 Long-type（1行-1人時） NHEFSデータでは、176,764行この章の生存分析の多くはこの配列を使う。 28 個人id 時点k Dk+1 Ck+1 禁煙の有無
1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 … … … … … 1 119 0 1 0 2 0 0 0 1 2 1 1 0 1 3 0 0 0 1

Dk の導入いろいろ考えやすくするために、D kを導入する。 = 1 ≤ 0 > 30

Dkを用いたDAG D1がD2に与える影響のような DAGを作成することが出来る。なお、Part Ⅲでは、UもUkになる。 31

データセット上のDk Long typeフォーマットでは、時点kの行にDk+1を含む。個人の最終行はk=119か、 Dk+1 =1になっている。 32 個人id 時点k Dk+1
Ck+1 禁煙の有無 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 … … … … … 1 119 0 1 0 2 0 0 0 1 2 1 1 0 1 3 0 0 0 1

データセット上のDk id=1の人は、D120=0なので最後まで生存した。 id=2の人は、D2=1なので、時間間隔(1,2]で死亡した。 33 個人id 時点k Dk+1 Ck+1 禁煙の有無 1
0 0 0 0 1 1 0 0 0 … … … … … 1 119 0 1 0 2 0 0 0 1 2 1 1 0 1 3 0 0 0 1

Dkを用いたRisk, Survival, Hazardの書き換え = = 0 = = 1 =
= 1| = 0 34 この定義だとsurvival, riskはk=0,1,2,…,120ですが、hazardはk=1,2,…,120です。

HazardからSurvivalを算出する（式1）時点kのSurvivalは、時点k以前の(1-Hazard)の積と等しい。 36 = 0 = = 0| = 0
(1-hazard)

Hazardを用いたSurvivalの計算手順ノンパラメトリックにHazardを計算する。式1に代入する。ノンパラメトリックなSurvivalが算出される。これをKaplan-Meier estimatorと呼ぶ（Fig17.1）。 37

推定が安定するための条件 38 ある時間間隔でイベント数が十分に多ければ良いが、そうでないととても不安定になる。 – NHEFSデータでは、ある時間間隔(k,k+1]の死亡者数は2.65人 – 死亡者ゼロの時間間隔もある。 – とても不安定になっていそう。
パラメトリックな手法によりスムージングが必要

パラメトリックにHazardを算出（式2）ロジスティックモデルを用いて、ハザードを算出する。 40 = 1| = 0, = , +
+ × + × , = + + 時間依存切片としているので、時間依存ハザードになる。 Aとkの交互作用項があるので、時間依存ハザード比になる。ロジスティックモデルがハザードモデルに近似できているかは、Technical Point 17.1

HazardからSurvivalを算出する（式1改変）時点k+1の治療aのSurvivalは、時点k+1以前の治療aの(1-Hazard)の積と等しい。 41 = 0| = = = 0|
= 0, = パラメトリックに算出する p.212の式1ではDkだったが、本文p.213ではDk+1に変わっている。ここではk+1に合わせた。

Figure 17.4 パラメトリックに導出した生存曲線 42 Figure 17.1と異なりスムーズになっている。 .5 .6 .7
.8 .9 1 Survival probability 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 Months of follow-up A=0 A=1

その他：パラメトリックに導出した生存曲線この方法が正しい条件： – No misspecification of the hazard model –
今回の例では、17.1と17.4でだいたい同じになったので、良かったのでは無いか。 95%信頼区間を出す時には、個人をリサンプリング（ブートストラップ）してで出すことができる。 43

Section 17.3 Why censoring matters Pick up point – censoringのCkの導入
– 打ち切りの問題 – どのように対処するか 45 17.2の復習

フォローアップ期間対象者が異なる日にフォローアップ開始するという状況を考える（観察終了日は同じ）。個人によって管理打切りまでの時間区間が異なる。 46

Ck の導入いろいろ考えやすくするために、C kを導入する。 = 1 ≥ 0 < 47
k endは”administrative end of follow-up”を示すとする。

データセット上のCk 人時フォーマットでは、個人iの時点kの行にCk+1を含める。 NHEFSデータでは、C120 =1になるのみ。他ではCk =0であるので、NHEFSデータでは使わない。 48 個人id 時点k Dk+1
Ck+1 禁煙の有無 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 … … … … … 1 119 0 1 0 2 0 0 0 1 … 1 1 0 1 3 0 0 0 1

一般的なCk 一般的には対象者の個々人で異なるタイミングで Ck =0からCk+1 =1に変化する。 49

目的としていることもし誰もkendよりも前に打切りがなかったとしたら、観察されるであろう生存曲線を推定する。 51 k endは、研究における管理打切り時点の最大値。NHEFSでは120。

目的としていること打ち切りが無かった時の = | = の推定 – 打切り後のDkも分かれば、計算出来る。これは反事実アウトカム =
| = で表現可能 – なお、 ̅ = , , … , 52 混乱が生じない場合、C=0は省略します。

目的としていること簡潔にするために、フォローアップ開始時点は、ランダムのようになっていて、変数とのトレンドを持たないような場合を考えます。つまり、管理的打切り（つまり、C）は A や T と独立。 53

割合を計算するだけでは目的を達成できない普通の計算だけでは = | = が算出出来ない。算出できるのは = , =
| = である。 – これはゴールではない。 54 kがk+1になっていますが、本文準拠です。なぜ、k+1に書き換えられたんだろう…

どういう事かk=2で確認する 1. = 0 = 1 – k=1では誰も脱落しない 2. =
0| = 0 = 0.9 – k=1で90%が生存 3. = 0| = 0, = 0 = 0.5 – k=2で生存者の50%がランダムに脱落 4. = 0| = 0, = 0, = 0 = 0.9 – k=2で残りの90%が生存 55 Pr[C 0 =0]=1は自明とする。

この状況下では = , = = × . × . ×
. = . しかし、 = 0| = 0, = 0 =1になったとする。 – = , = = × . × × . = . – 脱落によって容易に値が変化する。ではどうするか…？ 56

そこでこの式を使う（式1改変2） (1-Hazard)の条件部分に「Cm=0」を加えた点が異なる。打切りがランダム（DやAと独立）ならばこの式で算出可能 58 = | = = = 0|
= 0, = , = 本文中では、for k<k endとなっていますが、k end =120とするなら、for k≦k endが良いように思います。

ランダム打切りでは無い場合個人の管理打切りがカレンダータイムに依存する場合 – カレンダータイムはアウトカムと関連するかもしれない。 – ベースラインのカレンダータイムを調整する必要がある。交換可能性がない場合 – 次のセクションで説明する –
Part Ⅲでは、time-varyingに拡張する。 59

17.4 IP weighting of marginal structural models Pick up point
– 交換可能性がなさそう – 重みの計算 SWA – 時間依存ハザードの計算 – 結果と妥当性 61 12章の復習

交換可能性が保持されていない年齢などが交絡となっているので、対応する。打切りなしの反事実の時間依存指標を導入する。 , ̅ = – ̅ = 0で考えるのは（この章では）自明なので省略
62

交換可能性が保持されていない交絡により赤と青が等しくない。交絡の調整により、赤を推定する必要がある。 63 = = 本文中では、for k=0,2,…k end -1なっていますが、k=1が抜けているようです。
= | = = | =

想定するDAG このDAGであると仮定する。 Lで条件付けると交換可能。 64 64

重みの計算ここではStabilized weightを使う（12章資料：19枚目） Treated = = 1 = 1| Untreated
= 1 − = 1 1 − = 1| 66

重みの計算：復習なぜ通常の重みではなく、Stabilized weightを使うのか？ – 12章資料：23枚目参照 – Unsaturatedの場合、Confidence IntervalがNarrowになる。 – Time-varying
treatmentやContinuous treatmentなどでは、全てのバリエーションをモデルに加えることは現実的ではない 67

重みの計算 Time-fixed confounderを考えている。 – Long-typeのデータでは、重み計算はk=1の行だけを使う。 – Time-varying confounderについては、Part Ⅲで。 68

Time varying hazardの計算この式を、SWAで重み付けて計算する。人時フォーマットで計算するが、個人の複数回測定なので、クラスタになっている事に注意。 70 = | =
= , + + × + × logit event qsmk qsmk#c.time qsmk#c.time#c.time c.time c.time#c.time [pweight=sw] , cluster(seqn) Stataだとこのオプションが必要 , = + + 時間依存切片としているので、時間依存ハザードになる。 Aとkの交互作用項があるので、時間依存ハザード比になる。

最後にこの式を使う（式1改変3） Dを潜在アウトカムにした点がオリジナルの式1と異なる。この結果を用いて、生存曲線を描ける。 71 = = = | =

Figure 17.6 IPWを使った生存曲線 73 ほとんどのkで A=1が負けているが、最後で微妙に逆転 80.7% vs 80.5%
+0.2% (95%CI: -4.1%, 3.7%) .5 .6 .7 .8 .9 1 Survival probability 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 Months of follow-up A=0 A=1 bootstrapで信頼区間を作っているので、乱数によって異なる。ここでは本文の数字を提示。

この方法が妥当である条件いつもの – exchangeability, consistency, positivity Treatment modelがno misspecification –
重みの計算 marginal hazard modelがno misspecification – logitを使ったハザードの計算 74

17.5 The parametric g-formula Pick up point – parametric g-formulaの式
– conditional hazardの計算 – 4つの手順をとる – 結果と解釈 76 13章の復習

parametric g-formula 次は、parametric g-formulaでもやってみる。 See also section 13.3 （13章資料：18～31枚目） 77

この式を使う(Sec2.3やSec13.3の改変）共変量と治療レベルのレベル内での条件付きSurvivalの加重平均であり、Lの各レベルlの個体の割合を重みとする。この結果が、Survivalになるので、生存曲線を描ける。 78 = = = | =
, = = 13章資料：19枚目と同様

conditional hazardの計算（Sec17.2改変）ロジスティックモデルを用いて、治療レベルと交絡で条件付けたhazardを算出する。 80 = | = , =
, = = , + + × + × + × Lは1つの変数ではないので、ベクトルということで。これを追加これを追加

conditional survivalの計算 conditional hazardを使って、共変量と治療レベルのレベル内の条件付きSurvivalを算出する。 81 = | = ,
= = = | = , = , =

conditional survivalの計算 Lで条件付けると交換可能性が成立しているので成り立つ。しかし、conditional survivalは分かったが、ゴールではない。 82 = | = ,
= = = 0| =

この式を使う(Sec2.3やSec13.3の改変）共変量と治療レベルのレベル内での条件付きSurvivalの加重平均であり、Lの各レベルlの個体の割合を重みとする。この結果が、Survivalになるので、生存曲線を描ける。 84 = = = | =
, = = 13章資料：19枚目と同様

4つの手順をとって、standardize mean算出より詳細な手順（13章資料：17～31枚目） 1. データセットの拡張 2. モデリング 3. 予想 4.
平均によるStandardization 85

Figure 17.7 g-formulaを使った生存曲線 87 ほとんどのkで A=1が負けている。最後も僅差で負け 80.4% vs 80.6%
+0.2% (95%CI: -4.6%, 4.1%) bootstrapで信頼区間を作っているので、乱数によって異なる。ここでは本文の数字を提示。 .5 .6 .7 .8 .9 1 Survival probability 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 Months of follow-up A=0 A=1

IPWとg-formulaどちらが良いか？ IPWもg-formulaも似た結果にはなるが、前提が違うので、同じ結果にはならない。 IPW – Treatment modelとunconditional hazardがno misspecification g-formula
– Conditional hazardがno misspecification 88 13章資料：34～37枚目も参照ください。

17.6 G-estimation of structural nested models Pick up point –
G-estimationの生存分析への応用 – AFTモデルでG-estimation – うまく行かない理由 – 対処、結果とまとめ 90 14章の復習

G-estimation of structural nested modelの復習 Effect modificationなし – − |
= Effect modificationあり – − | = + の部分のモデル化をしない。 – パラメータが少ない＝誤リスク小。 91 14章資料：11枚目も参照ください。

Survival analysisでの応用 = 0 のようなコンポーネントのモデル化をしない。 G-estimationを用いて生存率やハザードを推定することはできない。 92

Survival analysisでの応用 Structural nested cumulative failure time models – failureがレアだとよい。
Structural nested cumulative survival time models – survivalがレアだとよい。 Structural nested acerated failure time (AFT) model – より一般的な選択肢として 93

Taや生存時間比を導入 – 個人 i が治療aを受けた反事実の生存時間 / – 個人 i の生存時間比。1より大きいと治療が生存時間を延ばす。
95

AFTモデル ψ1<0なら治療は生存時間を延ばす。 ψ1>0なら治療は生存時間を縮める。右側は、effect modificationがある時に一般化したもの。治療の効果が母集団のすべての個体で同じであると仮定する。 96 = exp (−
) = exp (− − )

AFTモデルさっきのAFTモデルを変形した。 Consistencyを仮定して、2番目の式に変形した。 – 反事実アウトカムを実際の生存時間 = で置き換えた。 ψ1とψ2を管理的打切りを考慮してg-estimationで推定する。 97
= exp ( + ) 14章資料：13枚目に類似 = exp ( + )

非現実的な点 structural AFTモデルは下記の2点で非現実的 – 決定論的である – rank-preserving modelである。 98

決定論的とは Ta=0が、測定されたT、A、Lの関数としてエラーなく計算できることを仮定している。 99 = exp ( + ) このunrealisticとは、どう折り合いを付ければ良いのか…

Rank preserving modelとはランクが保持されているという仮定非現実的だが、考えやすい。 G-estimationで求める時はnon-rank preservationと同じなので、考えやすいこちらを使った方が得。 100 Section14.4（つまり、14章資料：12枚目）も参照ください。

よりシンプルにAFTモデルを考える rank-preservingでLiはない事にした。管理的打切りが無ければ、理解しやすい。 Section14.5の方法と同じ方法でよい。 101 = exp ( ) Section14.5（つまり、14章資料：13~16枚目）も参照ください。

よりシンプルにAFTモデルを考える Step1：因果パラメータψのとりうる値ψ†から候補となる H(ψ†)を計算する。 102 = exp ( ) Section14.5（つまり、14章資料：13~16枚目）も参照ください。 Ta=0の候補
= exp ( )

よりシンプルにAFTモデルを考える Step2：共変量としてHi﴾ψ†﴿と交絡因子Lを持つA = 1の確率のロジスティックモデルにおいて、治療Aに依存しないHi﴾ψ†﴿ をもたらす値ψ†を見つける（つまり、α1=0）。このようなψ†はψのg推定値になります。そのために、全検索する（machine powerで殴る）。 103
Section14.5（つまり、14章資料：13枚目）も参照ください。 Ta=0の候補 = exp ( ) = 1| , = + +

machine powerで殴れない管理的打切りのため上手くいかない。 105

管理的打ち切りによる問題管理的打切り時点Kを越えていると、Tiは不明である。そのため、上の式は計算できない。 Ti≦Kで計算したくなるが、選択バイアスを生じる。 106 = exp ( ) =
exp ( )

選択バイアスの例 Type 1 Type 2 Type 3 Ta=0 36 72
108 Ta=1 24 48 72 107 無作為割付けしたとする。 Typeは治療群間で交換可能性あり。

選択バイアスの例 Type 1 Type 2 Type 3 Ta=0 36 72
108 Ta=1 24 48 72 108 K=60として、T≦Kだけを選択する。赤字のみになり、交換可能性がない。

選択バイアスの例の回避1 Type 1 Type 2 Type 3 Ta=0 24 48
72 Ta=1 24 48 72 109 K=60として、T≦Kだけを選択する。治療効果がnullだったら大丈夫

選択バイアスの例の回避2 Type 1 Type 2 Type 3 Ta=0 36 72
108 Ta=1 24 48 72 110 K=60として、T≦Kだけを選択するのではない。 Ta=0≦KかつTa=1≦Kの個人だけを選択する。 Type2は打ち切られる（Artificial censoring）

対応方法としてΔ(ψ)を導入 Δ﴾ψ﴿を次のように定義する。 Δ = 0 1 112 Technical Point 17.3やHernan(2005)に説明があります。

管理的打切りに対応した手順 g-estimation手順で、 ( )を ( )に置き換える。 = exp ( )
– は、-0.047(95%CI: -0.223, 0.333)と推定出来る。 exp − = 1.05 – 禁煙の生存時間中央値／非喫煙の生存時間中央値=1.05 – 禁煙は小さい効果と言えそう。 113 Technical Point 17.3やHernan(2005)に説明があります。

まとめ AFTを含むstructural nested modelは使われていません。 – 親切なソフトがない。 – ψをサーチしても唯一解が見つかる保証が無い。 – ψが増えるとますます見つかる保証が無い。
• ψが増えないように、Lを右辺に含まないようなモデルになりがち。 114

Fine Point 17.1 Competing events 競合イベントが起ると主イベントが起りようがなくなる。 – Strokeが調査したいのに、他の原因で死亡してしまう等 – 非管理打切り
打切りと考える場合 – 推定値は意味のあるestmandと対応しないかもしれない。解釈が難しい。打切りと感がない場合 – 死亡者は、Stroke確率=0として残る… Compositeイベントとする場合 – もはや研究目的が違ってきている。非死亡者に限定する場合 – 16章でもあるように、local average effectが目的になる。 115

Fine Point 17.2 The hazards of hazard ratios HazardやHazard Ratioの問題点
– Time-varyingな指標なのに、多くの報告では1つのHRしか報告されない事が多い。 – 生存曲線が異なるのにHR=1にということすらあり得る。 – Time-specificに考えても、おかしな事が起りうる。 – この原因の1つにBuild-in Bias（第8章、Fig 17.3）の影響がある。 116

Fine Point 17.3 Models for survival analysis Kaplan-Meierはノンパラメトリックなので、管理打切りによるunobserved failure
timeの分布には仮定がない。パラメトリックモデルにはその分布に仮定がある（exponentialやWeible） CoxやAFTモデルでは、Failure timeやHazard（特にベースライン）には仮定がない。比にパラメータによる分布の仮定がある。（セミパラメトリックの名の所以） 117

Technical Point 17.1 Approximating the hazard ratio via a logistic
model どのようにlogistic modelでhazard modelに近似するか？ Discrete time hazard ratioを変形すると、hazardがlogistic modelで表現することが出来る。 – 変形は時点k+1におけるhazardが十分小さい(<0.1)ことが条件 – この条件はいつだって成り立たせることが出来る。 – 時間間隔を狭くすればよい。 118

Technical Point 17.2 CFT and CST model 本文中では使わなかったモデル | ,
| , = , ; | , | , = , ; Rare eventではAFTよりもアドバンテージがある。詳細は、他の文献で。 119

Technical Point 17.3 Artificial censoring = = ≥ 0 <
0 T>Kの個人はΔ﴾ψ﴿=0になる、すなわちH(ψ﴿≧K(ψ﴿である。 T≦Kの個人もΔ﴾ψ﴿=0になるかもしれない。 Δ﴾Ψ﴿は、H﴾Ψ﴿とKの関数で、共変量Lで条件付けた時に治療Aとは条件付きで独立しています。 ∆﴾ψ﴿はH﴾ψ﴿ を置き換えて考えられる。詳細は、Hernan(2005)にて。 120 赤字の所も一応説明出来そうな感じまで考えましたが、かなり時間を要するので割愛しています。Slack?

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Causal Survival Analysis(Causal inference: What if, Chapter 17)

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