[2026前期火５] 論理学（京都大学文学部 前期 第3回）「形式言語と四つのキーワード：メタ・構成・意味論・ハーモニー」

科学哲学科学史 (演習) 前期 第1回　論理学　（京都大学文学部・矢田部俊介）
「形式言語と四つのキーワード：メタ・構成・意味論・ハーモニー」
2026年4月28日（火）1645〜1815（予定）

Transcript

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25. ղମࢠ eval ͱΧϊχΧϧͳදݱ • ղମલʢඇΧϊχΧϧʣ plus(S(S(Z)), S(S(Z))) plus ͱ͍͏ه߸ΛؚΉ ˠ ·ͩʮ౴͑ͷܗʯͰ͸ͳ͍ • ղମޙʢΧϊχΧϧʣ S(S(S(S(Z)))) plus ه߸͕׬શʹফ͑ͨ S ͱ Z ͚͔ͩΒͳΔܗ ˠ ͜ΕҎ্ eval ͷద༻༨஍͕ͳ͍ ΧϊχΧϧͳදݱʢcanonical formʣ ͦΕҎ্ղମͰ͖ͳ͍ʮߦ͖ࢭ·Γʯ ͷ߲ Z S(Z) S(S(Z)) S(S(S(Z))) S(S(S(S(Z)))) . . . plus, × ͳͲͷه߸ΛҰ੾ؚ·ͳ͍ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 25
26. ࿦ཧ΁ͷ઀ଓɿಋೖنଇʹߏ੒ࢠɺআڈنଇʹղମࢠ ຊॻͷத৺తओுʢPDCA αΠΫϧҰप໨ʣ ؼೲతͳߏ੒ͱղମɺ͓Αͼ྆ऀͷʮϋʔϞχʔʯʹΑΓ ܭࢉͱ࿦ཧతਪ࿦ͷ྆ํʹΑ͍આ໌Λ༩͑Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ • ܭࢉͷ৔߹ʢࣗવ਺΋Ͳ͖ʣ • ߏ੒ࢠɿS, plus, ×, . . . ه߸Λ෇͚଍͢ʢಋೖʣ • ղମࢠɿpred, eval, . . . ه߸Λফ͢ʢআڈʣ ˠ ݪ࢝࠶ؼؔ਺ͱͯ͠ఆٛ • ΧϊχΧϧͳදݱ ʹ ܭࢉ݁Ռ ʢS ͱ Z ͚͔ͩΒͳΔ߲ʣ • ਪ࿦ʢࣗવԋ៷ʣͷ৔߹ • ಋೖنଇʹߏ੒ࢠ ࿦ཧ݁߹ࢠΛূ໌ʹಋೖ͢Δ • আڈنଇʹղମࢠ ࿦ཧ݁߹ࢠΛূ໌͔Βআڈ͢Δ • ਖ਼نͳূ໌ ʹ ΧϊχΧϧͳূ໌ ʢਖ਼نԽఆཧɿޙ൒Ͱৄ͘͠ʣ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 26
27. ߲ʢtermʣͷؼೲతఆٛ ޠኮͷ४උ ߏ੒ࢠɿZ, Sʢޙऀʣ, . . . ม਺ɿx0, x1, x2, . . . ؔ਺ه߸ɿplusʢ࿨ʣ ɺଞʹ͓޷Έʹ߹ Θ͔͚ͤͯࢉͳͲ ߲ͷؼೲతఆٛ (1) ఆ਺ Z, S(Z), . . . ͸߲ (2) ม਺ x0, x1, . . . ͸߲ (3) t ͕߲ ⇒ S(t) ͸߲ (4) t1, t2 ͕߲ ⇒ plus(t1, t2) ͸߲ (5) ্هҎ֎͸߲Ͱͳ͍ ߲ͷྫʢwffʣ plus(Z, S(Z)), S(plus(x0, S(Z))) 㾎 ߲Ͱͳ͍ྫʢwff Ͱͳ͍ʣ S(∗) ʢ∗ ͸ະఆٛʣ plus( = ) ʢ= ͸߲Ͱͳ͍ʣ ࣗવ਺΋Ͳ͖ͱͷରԠ Z ⾩ 0ʢϝλʣ S(t) ⾩ S(x)ʢϝλʣ ˠ ಉ͡Ϩγϐɾผͷه߸ʢج࣭தཱੑʣ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 27
28. ໋୊࿦ཧͷจͷؼೲతఆٛʢϘτϜΞοϓʣ εςοϓ 1ɿ߲ ˠ ݪࢠ໋୊ t1, t2 ͕߲ͳΒ͹ t1 = t2 ͸ݪࢠ໋୊ ྫɿZ = S(Z) plus(Z, S(Z)) = S(Z) εςοϓ 2ɿݪࢠ໋୊ ˠ ෳ߹໋୊ (1) ݪࢠ໋୊ P, Q, . . . ͸จ (2) A, B ͕จ ⇒ (A ∧ B) ͸จ (3) A, B ͕จ ⇒ (A → B) ͸จ (4) A ͕จ ⇒ ¬A ͸จ (5) ্هҎ֎͸จͰͳ͍ ࣗવ਺ͷఆٛͱಉ͡ߏ଄ ࠷ॳͷҰา ݪࢠ໋୊ʢఆ਺ʹ૬౰ʣ نଇͷ܁Γฦ͠ ∧, →, ¬ʢޙऀؔ਺ʹ૬౰ʣ ˠ ༗ݶͷϨγϐ͔ΒແݶͷจΛੜ੒ ˠ I ݴޠͷ࠶ؼతೳྗͷ֎෦Խ ࣍ճҎ߱ ͜ͷݴޠͷதͰਪ࿦ʢࣗવԋ៷ʣΛఆٛ ͢Δ ֤݁߹ࢠʹಋೖنଇɾআڈنଇΛ༩͑Δ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 28
29. 3. ౷ࣙ࿦ʢsyntaxʣͱҙຯ࿦ʢsemanticsʣ
30. ηϚϯςΟΫεͱ͸Կ͔ʢ༧ࠂฤʣ Qɿ͜Ε͸Կ԰͔ʁ ˠ ηϚϯςΟΫεʢҙຯ࿦ʣΛ σβΠϯ͢Δ͓ళʁ ˠ ࣮ࡍ͸ϝϯζΧδϡΞϧͷ ΞύϨϧϒϥϯυ Aɿه߸ͷҙຯ͸֎͔ΒདྷΔ ʮsemanticʯͱ͍͏ه߸ྻ͸ ళ໊ͱͯ͠࢖ΘΕΕ͹෰԰ͷ໊લ ࿦ཧֶͷจ຺Ͱ͸ʮҙຯ࿦ʯ ˠ ه߸ྻʢγϯλοΫεʣ͚ͩͰ͸ ҙຯʢηϚϯςΟΫεʣ͸ܾ·Β ͳ͍ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 30
31. ౷ࣙ࿦ʢγϯλοΫεʣ ɿจ๏తͳਖ਼͠͞ • จ๏తʹਖ਼͍͠ • Z = S(Z) 㾎 • (P → Q) ∧ R 㾎 • plus(Z, S(Z)) = S(Z) 㾎 • จ๏తʹؒҧ͍ʢwff Ͱͳ͍ʣ • S(∗) ʢ∗ ͸ఆٛ͞Ε͍ͯͳ͍ʣ • 4+ = ʢ= ͷ྆ลʹ߲͕ඞཁʣ • x ∨ (y = z) ʢx ͸จͰͳ߲͘ʣ ౷ࣙ࿦ʢsyntaxʣͱ͸ ܗࣜݴޠͷจ๏ͷ໰୊ྖҬ ɾه߸ྻ͕ؼೲతఆٛͷنଇʹ ɹैͬͯߏ੒͞Ε͍ͯΔ͔ ɾϝλϨϕϧͷʮҙຯʯ͸໰Θͳ͍ ɾܭࢉػ͕ػցతʹνΣοΫͰ͖Δ ౷ࣙ࿦తʹਖ਼͍͠จ ʹ ੔ࣜʢwff: well-formed formulaʣ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 31
32. ҙຯ࿦ʢηϚϯςΟΫεʣ ɿҙຯͷਖ਼͠͞ • ౷ࣙ࿦తʹ͸ਖ਼͍͕͠ʜ • Z = S(Z)ɿจ๏తʹ͸ਖ਼͍͠ʢwffʣ ͔͠͠ʮ0 = 1ʯ͸ҙຯతʹِ • plus(Z, S(Z)) = S(Z)ɿҙຯతʹਅ • ҙຯ࿦ʢsemanticsʣͱ͸ • ه߸ྻʹҙຯʢղऍʣΛ༩͑Δ ࢓ํ • ʮਖ਼͍͠จࣈྻ͔Ͳ͏͔ʯͰ͸ͳ ͘ʮਖ਼͍͜͠ͱΛड़΂͍ͯΔ͔ʯ ͷ໰୊ ೋछྨͷʮҙຯ࿦ʯΛ۠ผ • ҙຯͷཧ࿦ʢtheory of meaningʣ ݴޠҰൠʹ͓͍ͯʮҙຯͱ͸Կ͔ʯ Λ໰͏Ұൠ࿦ʢຊॻͷςʔϚʣ • ਺ֶతϞσϧ ه߸ྻͷਖ਼͠͞Λ਺ֶతʹνΣο Ϋ͢Δಓ۩ ʢਅཧද ɾ Ϟσϧ࿦ͳͲʣ ূ໌࿦తҙຯ࿦ʢຊतۀͷཱ৔ʣ: ҙຯ ʹ ਪ࿦نଇʹ͓͚Δ࢖ΘΕํ ˠ ֎քͱͷରԠ͸ෆཁ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 32
33. ౷ࣙ࿦ͱҙຯ࿦ͷؔ܎ ਺ཧ࿦ཧֶΛֶͿͨΊʹ࠷௿ݶඞཁͳηϯεʢ© יߒ༃ઌੜʣ (1) γϯλοΫεͱηϚϯςΟΫε͕۠ผͰ͖Δ͜ͱ (2) ΦϒδΣΫτϨϕϧͱϝλϨϕϧ͕۠ผͰ͖Δ͜ͱ (3) (1) ͱ (2) ͷ۠ผ͕۠ผͰ͖Δ͜ͱ ౷ࣙ࿦ʢγϯλοΫεʣ ɾؼೲతఆٛʢจ๏ʣ ɾূ໌نଇʢࣗવԋ៷ʣ ɾূ໌ਤͷॻ͖׵͑ ˠ ূ໌࿦ ҙຯ࿦ʢηϚϯςΟΫεʣ ɾҙຯͷཧ࿦ʢਖ਼͠͞ͱ͸Կ͔ʣ ɾϞσϧʢਅཧදͳͲʣ ɾϋʔϞχʔ৚݅ ˠ ূ໌࿦తҙຯ࿦ • ׬શੑఆཧɿ౷ࣙ࿦తʹূ໌Ͱ͖Δ ⇐⇒ ҙຯ࿦తʹਖ਼͍͠ʢݹయ࿦ཧʣ • ຊतۀͷཱ৔ʢূ໌࿦తҙຯ࿦ʣ ɿҙຯ ʹ ਪ࿦نଇʹ͓͚Δ࢖ΘΕํ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 33
34. 4. ϩʔΧϧͱάϩʔόϧɿϋʔϞχʔ
35. ෦෼࠷ద͸શମ࠷దͰ͸ͳ͍ อक࡞ۀͷύϥυοΫε • େ͖ͳγεςϜɺอक෦໳͸ࣗ෼ͷ୲ ౰ͷ૷ஔ͕ނোͨ͠Βଈमཧ͍ͨ͠ • मཧͷͨΊʹγεςϜΛࢭΊΔͨΊɺ ݁ՌతʹՔಇ཰͕མͪΔɺ͓͕͔ۚ ͔Δ • ˠ ֤෦໳ͱશମͷ઀ଓઃܭʹ໰୊ ਪ࿦Ͱ΋ಉ͡ • ݸʑͷਪ࿦εςοϓ͕نଇ௨Γ Ͱ΋ʜ • ਪ࿦ମܥશମͱͯ͠ਖ਼͍݁͠࿦Λ อূ͢Δ͔Ͳ͏͔͸ผͷ໰͍ • ͜Ε͕ຊतۀͷ֩৺తͳ࿦఺ ϩʔΧϧʹਖ਼ͯ͘͠΋ʜ ੒ཱྫɿࢢ৔ͷʮݟ͑͟Δखʯ ݸਓͷརݾతߦಈ ˠ ެӹʹͭͳ͕Δ ࣦഊྫɿެ༗஍ͷ൵ܶ શһ͕߹ཧతʹߦಈ ˠ શһ͕ଛΛ͢Δ ਪ࿦ମܥͷࣦഊྫɿtonk ԋࢉࢠ ֤نଇ͸ʮͦΕͬΆ͍ʯ͕ શମͱͯ͠ԿͰ΋ূ໌Ͱ͖ͯ͠·͏ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 35
36. ௒४ࢉज़ɿہॴతʹਖ਼ͯ͘͠΋શҬతʹ͸ಧ͔ͳ͍ ϩϏϯιϯࢉज़ʢQʣ • ࣗવ਺ͷՃ๏ɾ৐๏ʹؔ͢Δ جຊతͳެཧ͚ͩΛ࣋ͭମܥ • 5 + 7 = 7 + 5 ͸ূ໌Ͱ͖Δ 㾎 • 3 + 4 = 4 + 3 ΋ূ໌Ͱ͖Δ 㾎 • ೚ҙͷ۩ମతͳ਺ͷϖΞͰ Ճ๏ͷՄ׵ੑ͸֬ೝͰ͖Δ 㾎 ͔͠͠ɿ ∀x ∀y (x + y = y + x) ͸ Q Ͱ͸ূ໌Ͱ͖ͳ͍ ͳ͔ͥɿ௒४ࣗવ਺ͷଘࡏ Q ͷنଇΛ͢΂ͯຬͨ͠ͳ͕Βɺ௨ৗ ͷࣗવ਺ͷ֎ଆʹʮແݶʹେ͖ͳࣗવ ਺ʯH ͕ଘࡏ͢ΔϞσϧ͕͋Δ 0 ͔ΒҰาͣͭ୧ͬͯ H ʹ౸ୡͰ͖ͳ ͍ʢؼೲ๏͕ͳ͍ʣ H + 1 ͱ 1 + H ͕౳͍͔͠ Q ͷنଇ ͚ͩͰ͸֬ೝෆՄ ڭ܇ ϩʔΧϧʹنଇΛक͍ͬͯͯ΋શҬత ͳ݁࿦ʹ͸ಧ͔ͳ͍ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 36
37. ਪ࿦ΛࡾͭͷϨϕϧͰ෼ੳ͢ΔʢϚʔͷࡾϨϕϧʣ άϩʔόϧ ʢܭࢉཧ࿦Ϩϕϧʣ ਪ࿦ͷࣾձత໨తɾ੍໿ ৚݅ ݴޠڞಉମશମʹؔΘΔ ݱ৅ ʮ୭ʹͱͬͯ΋ਖ਼͍͠ ਪ࿦ʯ ୲͍खɿ ެڞతɾඇଐਓతͳཧ༝ ͷ௥ڀ தؒ ʢΞϧΰϦζϜϨϕϧʣ ্ԼΛͭͳ੍͙౓ͷϨ ϕϧ ʮϩʔΧϧ͕ਖ਼͚͠Ε͹ άϩʔόϧ΋ୡ੒͞Ε Δʯ͜ͱΛอূ ୲͍खɿ ܗࣜతͳਪ࿦نଇɾ࿦ཧ ମܥͷઃܭ ϩʔΧϧ ʢ࣮૷Ϩϕϧʣ ਪ࿦Λ࣮ࡍʹ਱ߦ͢Δओ ମͷ಺෦ϝΧχζϜ ೴಺ͷԾ૝ػցɾه߸ॲ ཧաఔ ୲͍खɿ ূ໌ਤͷॻ͖׵͑ૢ࡞ άϩʔόϧʢ໨తʣ←− தؒʢ੍౓ઃܭʣ←− ϩʔΧϧʢ࣮ߦʣ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 37
38. ϋʔϞχʔɿ্ԼͷϨϕϧ͕௼Γ߹ͬͨঢ়ଶ ϋʔϞχʔʢharmonyʣͱ͸ ֊૚తͳγεςϜͰɺہॴతͳॲཧͷਖ਼͕͠͞શҬతͳ໨తͷୡ੒ʹ݁ͼ͍͍ͭͯΔ ہॴతʢϩʔΧϧ⾩தؒʣ ಋೖنଇͱআڈنଇͷ௼Γ߹͍ ʢ൓సݪཧɾϋʔϞχʔʣ ʮআڈنଇ͸ಋೖنଇͰೖΕͨ΋ͷ͔͠ औΓग़ͤͳ͍ʯ ˠ ֤݁߹ࢠͷઃܭͷ੔߹ੑΛอূ ˞ ࠓ೔આ໌ͨ͠ఆٛࢁͷྫɿಋೖʢ੢ํࣉ ˠఆٛࢁʣͱআڈʢఆٛࢁˠ੢ํࣉʣͷ௼Γ ߹͍ େҬతʢதؒ⾩άϩʔόϧʣ ূ໌ͷਖ਼نԽՄೳੑʢμϝοτɿ ʮਅਖ਼ ͳϋʔϞχʔʯ ʣ ʮͲΜͳӌճ࿏Λܦͨূ໌΋༗ݶճͷॻ ͖׵͑ͰΧϊχΧϧͳূ໌ʹม׵Ͱ ͖Δʯ ˠ ମܥશମͱͯࠜ͠ڌͷͳ͍݁࿦͕ੜ ·Εͳ͍͜ͱΛอূ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 38
39. तۀܭը ࠓޙͷतۀܭը ୈ 4ʙ5 ճɿࣗવԋ៷ͷنଇʢ∧, ∨, →, ¬ʣ ϩʔΧϧͳਪ࿦نଇΛशಘ͢Δ ୈ 6ʙ7 ճɿূ໌ͷಡΈํɾॻ͖ํʢԋशʣ ୈ 8ʙ9 ճɿอଘ֦େੑɾ൓సݪཧ ϩʔΧϧͱάϩʔόϧΛͭͳ͙ઃܭ৚݅ ୈ 10ʙ11 ճɿtonk ໰୊ɾBoche ໰୊ ϋʔϞχʔ͕ഁΕΔͱԿ͕ى͖Δ͔ ୈ 12ʙ14 ճɿূ໌ͷਖ਼نԽ ʮਅਖ਼ͳϋʔϞχʔʯͷ਺ֶతఆࣜԽ ࠷ऴճɿLLM ͷϋϧγωʔγϣϯΛূ໌࿦తʹݟΔ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 39
40. 5. ॓୊
41. ॓୊ Ұൠ໰୊ ҎԼͷࣜͷத͔Βɼ੔ࣜʢwffʣΛબ΂ ʢ߲ͷఆٛɾ໋୊ͷఆٛΛࢀর͢Δ͜ͱʣ (a) S(∗) (b) (Z = S(Z)) ∧ (Z = S(Z)) (c) x0 ∨ (x1 = x2 ) (d) (x0 = x1 ) ∧ (x1 = x2 ) νϟϨϯδ໰୊ तۀͰఆٛͨࣗ͠વ਺΋Ͳ͖ N ্Ͱɼۮ਺ΛؼೲతʹఆٛͤΑ ώϯτɿۮ਺ͱ͸ 0, 2, 4, 6, . . . ώϯτ 2ɿ ʮn ͕ۮ਺ͳΒ͹ S(S(n)) ΋ۮ਺ʯͱ͍͏ܗΛߟ͑Α Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 41
42. ॓୊ ఏग़ཁྖ ʲఏग़ʳ5 ݄ 12 ೔ʢՐʣतۀ։࢝௚લ·ͰʢPandAʣ ʲܗࣜʳ • Wordɾtexɾpdf ·ͨ͸Ϩϙʔτ༻ࢴΛࡱӨͯ͠ɺKULMS तۀαΠτͷఏग़ശʹ ఏग़ɻ๯಄ʹॴଐɾࢯ໊ɾֶ੶൪߸Λهೖ͢Δ͜ͱʢఏग़ശʹఏग़Ͱ͖ͳ͍ം͸ ϝʔϧఏग़΋Մʣ • तۀ։࢝લʹߨࢣʹ௚઀ࢴͰఏग़͢Δ͜ͱʢखॻ͖ͷΈʣ ˞ ॓୊Λղ͘ͷʹ͔͔ͬͨ࣌ؒΛඞͣهೖ͢Δ͜ͱʢ෼ྔௐ੔ͷͨΊʣ Պֶ఩ֶՊֶ࢙ (ԋश) ࿦ཧֶʢલظʣ ୲౰ɿ໼ా෦ढ़հ 42