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1. Revisão de matrizes e cálculo vetorial Prof. Paulo R. G. Bordoni LNCC UFRJ
2. Neste conjunto de transparências vocês vão revisar o conteúdo básico de Cálculo Vetorial e Matrizes.
3. • Uma visão histórica do conceito de força. • Forças como vetores-livres. • Forças e matrizes-coluna. • O conceito abstrato de Espaço Vetorial. • O espaço vetorial das matrizes mxn. • Vetores-linha e vetores-coluna. • Flops. Eis um resumo da revisão de Cálculo Vetorial que veremos:
4. 282-212 aC. Siracusa/Sicília O conceito de força já era conhecido dos gregos Aristóteles (erradamente) e Arquimedes (alavanca, empuxo). Eureka, eureca ...
5. Arquimedes disse: "Deem-me uma alavanca e um ponto de apoio que moverei o mundo." A 1ª máquina?
6. Surfista, eis o que você verá sobre Arquimedes na Wikipédia.
7. .A raiz de engenharia é engenho? O “parafuso de Arquimedes”, um engenho para elevar água.
8. Todo corpo mergulhado num fluido (líquido ou gás) sofre, por parte do fluido, uma força vertical para cima, cuja intensidade é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo. Empuxo, ou porque os navios flutuam!
9. Alguns objetos caem mais rápido que outros! Pensem num floco de algodão e um grão de arroz, ambos com 1 grama. Você está errado Aristóteles! Eu mostro, nos “Diálogos” que os objetos caem com a mesma aceleração, a menos que a resistência do ar ou alguma outra força os freie.
10. O célebre experimento do plano inclinado, que idealizei, para mostrar que a velocidade das bolas depende apenas da inclinação da canaleta e da massa delas, mas não da constituição física das bolas.
11. Mas porque você usou um plano inclinado, Galileu? Porque no plano inclinado o espaço a percorrer é maior que na vertical, Loirinha. Assim fica mais fácil perceber a diferença nos tempos de percurso para bolas de massas diferentes ou para inclinações distintas!
12. As três leis de Newton, estabelecendo o conceito de força de forma clara, foram apresentadas em seu famoso livro, publicado em 1687.
13. Lex I: Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare. Lei I: Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em uma linha reta, a menos que seja forçado a mudar aquele estado por forças aplicadas sobre ele A lei da inércia
14. Lex II: Mutationem motis proportionalem esse vi motrici impressae, etfieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur. Lei II: A mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida, e é produzida na direção de linha reta na qual aquela força é imprimida. A lei da quantidade de movimento.
15. Lex III: Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem: sine corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes contrarias dirigi. Lei III: A toda ação há sempre uma reação oposta e de igual intensidade: ou as ações mútuas de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e dirigidas em sentidos opostos. A lei da ação e reação.
16. A composição de forças
17. Para levantar uma caixa precisamos vencer sua resistência através de uma força, na direção oposta, maior que seu peso.
18. Entretanto, a grande contribuição de Newton foi na sua lei da gravitação universal. Com elas ele demonstrou as Leis de Kepler, que descrevem o movimento planetário.
19. Propositio VII. Theorema VII. Liber Tertius: Gravitatem in corpora universa fieri, eamque proportionalem esse quantitati materia in singulus. Propositio VIII. Theorema VIII. Liber Tertius: Si Globorum duorum in se mutuò gravitantium materia undique, in regionibus que à centris equalier distant, homogenia sit: erit pondus Globi alterutrius in alterum reciprocè ut quadratum distantia inter centra. A forma original na qual a lei da gravitação universal foi escrita é a seguinte:
20. A geometria euclidiana, dos pontos, retas e planos permitiu representar forças por segmentos orientados de reta.
21. A velocidade e a aceleração são exemplos clássicos de vetores-livre. Possuem direção, sentido e magnitude. Normalmente são aplicadas num ponto específico de um corpo – às vezes o centro de massa. O conceito de vetor-livre é extremamente utilizado em física e engenharias, por exemplo na composição de forças.
22. — A adição de vetores-livre, corresponde a ideia de composição de forças. — A multiplicação de um vetor-livre por fator de escala, está associada a aumentar ou reduzir uma força; eventualmente equilibrá-la. As operações fundamentais com vetores-livre estão diretamente associadas ao conceito de força.
23. − v v Lembrem-se, o vetor-livre = é o vetor-livre v escalado pelo fator . A propósito, usaremos o verbo escalar com o sentido de multiplicar por um fator de escala.
24. + u v + u v + u v Lembrem-se, o vetor-livre + , soma dos vetores-livre u e v é obtido pela regra do paralelogramo:
25. Lembrem-se: Descartes (1637) e Fermat (1636) amarraram a Geometria de Euclides à Álgebra com o conceito de sistema de coordenadas. Eles foram contemporâneos à Galileu.
26. Com a algebrização da geometria, segmentos de reta puderam ser representados por pares (ou ternas) de coordenadas (cartesianas). = ( , ) = ( , ) Daí para segmentos orientados foi um passo.
27. A formalização do conceito de vetor-livre (livre de coordenadas!) como classe de equivalência de segmentos orientados (flechas) com mesmo tamanho, direção e sentido (a equipolência) foi realizada em 1832, por Bellavitis.
28. Cacilda! Em cada ponto do plano um representante de cada vetor-livre! São os fogos de Ano Novo em Copacabana!
29. Por padrão, o segmento orientado com origem em 0,0 e ponta em , é utilizado para representar um vetor- livre v. Ele é o representante padrão do vetor-livre v.
30. Como o rabinho do representante padrão do vetor-livre v sempre será a origem (0, 0), para identificá-lo basta dar as coordenadas de sua ponta, (x, y). Abusadamente, falaremos vetor v no lugar de representante padrão do vetor-livre v. Fique ligado!
31. = − = − v = ( , ) = ( , ) É claro que que as coordenadas do representante padrão de um vetor-livre v são obtidas a partir da diferença entre as coordenadas do fim, B, e do início, A, de qualquer segmento orientado da classe.
32. Repetindo para enfatizar: Identificamos vetor-livre v, com seu representante padrão = (1 , 2 ), num abuso de notação, já que (1 , 2 ) é um ponto do plano xy. 2 1 = 1 , 2
33. Resumindo, do plano Euclidiano passamos ao plano Cartesiano ℝ2.
34. Agora o pulo do gato: Identificaremos o vetor-livre = (1 , 2 ), a um matriz-coluna = 1 2 ∈ ℳ2. 2 1 = 1 2 2 1 = 1 , 2
35. 2 1 = 1 2 2 1 = 1 , 2 Trata-se da identificação de uma entidade com caraterísticas geométricas, um vetor- livre, de ℝ2, e uma entidade com características algébricas, uma matriz- coluna, de ℳ2.
36. Minha metade platônica treme em imaginar que, com tal identificação, vocês dois transportarão para matrizes-coluna tudo o que percebemos com nossos sentidos. Matrizes-coluna são do mundo das ideias. Já minha metade aristotélica acha ótimo estender a outros entes matemáticos nossa percepção euclidiana de distâncias e tamanhos, ângulos, a projeção de sombras...
37. Essa identificação só terá sucesso, se conseguirmos garantir a correspondência entre: • A adição de vetores-livre via regra do paralelogramo em ℝ2. • E, a adição de matrizes-coluna em ℳ2. E garantir também a correspondência entre: • A multiplicação de um vetor-livre em ℝ2 por um fator de escala • E, a multiplicação de uma matriz- coluna em ℳ2 por um número real.
38. 2 1 v 2 1 u = + 1 2 Como os triângulos amarelos são iguais segue que = + se, e só se 1 2 = 1 2 + 1 2 . Essa é a correspondência solicitada pela Professora.
39. 2 1 = 1 2 v Como os triângulos cor de rosa e hachurado de verde são proporcionais e o fator de proporcionalidade é , segue que = se, e só se 1 2 = 1 2 . Esta é a correspondência pedida pelo Professor.
40. Acabamos de conferir que a identificação 1 , 2 ՞ 1 2 entre vetores-livre e matrizes-coluna preserva a correspondência entre as operações de adição e multiplicação por fator de escala. Identificações que preservam operações, como essa, são importantíssimas e recebem o nome de isomorfismos.
41. = 1 2 3 1 2 3 O mesmo vale para três dimensões: identificaremos o vetor-livre v com representante padrão = 1 , 2 , 3 ∈ ℝ3 a uma matriz-coluna = 1 2 3 ∈ ℳ3. Como uma forma de intensificar essa identificação com os vetores-livre além do nome matriz-coluna também usaremos o nome vetor-coluna.
42. Matrizes-coluna são do mundo das ideias, não admitem tais limitações! Os vetores-livres são entidades com características geométricas, por isso mesmo limitadas ao plano e ao espaço euclidianos.
43. Esse é o pulo-do-gato Platão! Matrizes-coluna de ordem n permitem abstrair o conceito de vetor-livre para n-dimensões. Explique-se, Mestre!
44. Antes quero lembrar que uma igualdade = entre matrizes-coluna de ordem = 1 2 ⋮ e = 1 2 ⋮ corresponde a igualdades escalares: 1 = 1 , 2 = 2 , ⋯ , = .
45. A adição é efetuada elemento a elemento, 1 2 ⋮ + 1 2 ⋮ = 1 + 1 2 + 2 ⋮ + e a multiplicação por escalar também, 1 2 ⋮ = 1 2 ⋮ . A extensão para dimensões é imediata, Loirinha:
46. Resumindo, novamente dos plano e espaço Cartesiano passamos aos espaços de matrizes-coluna ℳ.
47. Vamos romper com a visualização. Mergulhar profundamente no mundo das ideias!
48. O conceito abstrato de espaço vetorial.
49. 1800 1820 1840 1860 1900 1920 1880 Poncelet Chasles Bolzano Möebius Grassmann Hilbert Peano Banach Schmidt Bellavitis Argand Cayley Laguerre Hamilton MacTutor History of Mathematics Article by: J J O'Connor and E F Robertson http://www-history.mcs.st- andrews.ac.uk/HistTopics/Abstract_linear_spaces.html A evolução do conceito de espaço vetorial aconteceu ao longo do século XIX. Veja abaixo quem contribuiu, e quando. Na página seguinte, como.
50. Ano Matem. Contribuição Comentário 1804 Bolzano Axiomatização da geometria Bases para o conceito de espaço vetorial 1814 Argand Os complexos como pontos no plano Pares ordenados de números reais 1822 Poncelet Geometria projetiva Abstração 1827 Möebius Coordenadas e cálculo baricêntrico 1832 Bellavitis Segm. orient. , soma, escala, equipolência Fundamental p/ o conceito de vetor livre 1834 1843 Hamilton Complexos como vetores no plano. Quaternions 1837 Chasles Geometria projetiva 1857 Cayley Álgebras matriciais 1844 Grassmann Álgebras abstratas (de Grassmann) Dependência e indep. linear, dim. 1867 Laguerre Matriz de sist.linear, adição, escala, mult. Matrizes como espaço vetorial 1888 Peano Formalização completa do conceito de espaço vetorial Um homem muito adiante do seu tempo 1890 Pincherle Operadores lineares em esp. dim. infinita 1904 Hilbert A teoria do espaços de dim. infinita O maior matemático de seu tempo 1908 Schmidt Linguagem geométrica p/ esp. de Hilbert Orientado de Hilbert 1920 Banach Axiomatização completa de esp. vetorial Tese de doutorado – marco inicial da Análise Funcional
51. Surfista, dada a importância do tema, vá vestir um smoking. Você ficou um gatinho, Surfista! Ok, Mestra, já vesti!
52. Na grande maioria dos casos, trabalharemos com = ℝ; os escalares serão números reais. Um espaço vetorial (, , +,∙ ) sobre um corpo (= ℝ ℂ) é uma estrutura algébrica constituída por um conjunto V, um corpo e duas operações, + ∙ . Os elementos de V são chamados vetores e os de escalares.
53. Para , , : 1. Comutatividade: + = + 1. Associatividade: + + = + ( + w) 3. O vetor nulo, 0, é o elemento neutro para a adição de vetores: 0 + = 4. Cada vetor tem seu oposto: + (−) = 0 Uma das operações é a adição de vetores + ∶ × → , que deve satisfazer as propriedades:
54. Para , ∈ , , : 1. 1ª distributividade : ∙ + = ∙ + ∙ 2. 2ª distributividade: (α + ) ∙ = ∙ + ∙ 3. Uma associatividade: () ∙ = ∙ ( ∙ ) 4. O 1 é o elemento neutro multiplicativo: 1 ∙ = A outra operação é a multiplicação de um vetor por um fator de escala ∙ ∶ × → , que deve satisfazer as propriedades:
55. Surfista, é uma questão de rotina provar que os vetores-coluna tanto de ℝ como de ℂ satisfazem as oito propriedades enunciadas pela Mestra na definição de espaço vetorial. Portanto posso afirmar que os vetores coluna de ordem n constituem um espaço vetorial.
56. Veremos a seguir que o conjunto ℳ× de todas as matrizes retangulares constituídas por m linhas e n colunas também constituirão um espaço vetorial.
57. Lembrem-se, uma matriz de ordem × é uma tabela de com m linhas e n colunas. Como abaixo. Para resumir tudo isso, escrevemos = [ ]. Cada é um número real, posicionado no cruzamento da linha i com a coluna j. Anotaremos por ℳ× o conjunto de todas as matrizes de ordem × . Sim, lembro-me lá do 2º grau: = 11 12 21 22 ⋯ 1 2 ⋮ ⋱ ⋮ 1 2 ⋯ m linhas n colunas
58. Recordem ainda que uma igualdade = entre matrizes de ordem × = e = corresponde a × igualdades escalares: 11 = 11 , 12 = 12 , ⋯ , 1 = 1 21 = 21 , 22 = 22 , ⋯ , 2 = 2 ⋮ 1 = 1 , 2 = 2 , ⋯ , =
59. Mestres, qual a conexão entre matrizes e vetores? Se elas são vetores, onde escondem suas flechas? Esqueça as flechas!
60. No 2º grau aprendemos a somar matrizes e multiplicá-las por números reais. Só falta verificar que elas satisfazem as oito propriedades. Vetores são “apenas” entidades abstratas (objetos, coisas, ...) que podem ser somadas e escaladas. E precisam cumprir as oito propriedades listadas na definição.
61. Por exemplo: 2.0 3.0 1.0 −1.0 0. 2.5 + 0.5 −0.5 2.0 1.0 1.0 −1.0 = 2.5 2.5 3.0 0. 1.0 1.5 Confirmando, a soma entre entre uma matriz = [ ] e uma matriz = [ ], ambas de ℳ× , é a matriz de ℳ× dada por + = [ + ].
62. Para = 2. e = 1.1 0.7 −1.4 2.3 temos = 2.∗ 1.1 2.∗ 0.7 2 ∗ (−1.4) 2 ∗ 2.3 = 2.2 1.4 −2.8 4.6 . E o produto por fator de escala entre um número real e uma matriz = [ ] de ℳ× é a matriz de ℳ× definida por = [ ].
63. Novamente, é um trabalho de rotina conferir que as operações com matrizes de ℳ× e números reais satisfazem as oito regras da definição de espaço vetorial. Surfista, sobrou para você! Confira a afirmação do Sherlock.
64. O conjunto ℳ× das matrizes de ordem × com as operações de adição e multiplicação por fator de escala constitui um espaço vetorial. So, never forget:
65. Também olharemos para uma matriz ∈ ℳ× como um vetor linha formado por n vetores coluna de ordem m = 1 2 ⋯ = 11 21 ⋮ 1 12 22 ⋮ 2 ⋯ 1 2 ⋮ Uma radiografia de ossos verticais.
66. Ou ainda como um vetor coluna formado por m vetores linha de ordem n = 1 2 ⋮ = 11 12 ⋯ 1 21 22 ⋯ 2 ⋮ 1 2 ⋯ Agora uma radiografia de ossos horizontais.
67. Em FORTRAN, as matrizes são armazenadas na memória dos computadores como um grande vetor, coluna após coluna. Já em C, C++ e Java, elas são armazenadas linha após linha. Em C, C++ e Java: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⟼ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Em FORTRAN: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⟼ 1 4 7 2 5 8 3 6 9
68. • As matrizes quadradas de ordem n. Matrizes × , com = , o mesmo número de linhas e colunas. • Os vetores coluna de ordem m. Matrizes × 1, isto é, matrizes coluna de ordem m. • Os vetores linha de ordem n. Matrizes 1 × , isto é, matrizes linha de ordem n. Três tipos particulares de matrizes merecem destaque, relativamente à sua ordem × : Os ingredientes fundamentais da Álgebra linear computacional residem aí.
69. • A adição de matrizes de mesma ordem. • A multiplicação de um número por uma matriz. São muitas as operações entre números, matrizes coluna (ou linha) e matrizes retangulares. Já vimos:
70. • O produto escalar (produto interior) de dois vetores coluna é o número: ∙ = 1 1 + 2 2 + ⋯ + • O produto direto é o vetor coluna: = 1 1 2 2 ⋮ • O produto exterior é a matriz × : × = 1 1 1 2 ⋯ 1 2 1 2 2 ⋯ 2 ⋮ 1 ⋮ 2 ⋱ ⋮ ⋯ Também são possíveis as operações abaixo entre vetores coluna (ou linha) = 1 2 ⋮ e = 1 2 ⋮ :
71. O produto direto entre duas matrizes × = [ ] e = [ ], é a matriz de ℳ× dada por = [ ]. Para = 1. 2. 3. 4. 5. 6. e = 2. −1. 1. 0.5 2. 3. temos = 2. −2. 3. 2. 10. 18.
72. É possível definir uma multiplicação entre uma matriz ∈ ℳ× e um vetor coluna de ordem n. O produto é um vetor coluna de ordem m. Nesse caso, é mais conveniente tratar a matriz A como um vetor coluna com m linhas, = 1 2 ⋮ . O vetor coluna resultante, y, possuirá m linhas e será definido por = = 1 2 ⋮
73. Para = 1. 2. 3. 4. 5. 6. e = −1. 0. 2. temos = 1.∗ −1. + 2.∗ 0. +3.∗ 2. 4.∗ −1. + 5.∗ 0. +6.∗ 2 = 5.0 8.0 Atenção com a condição de compatibilidade: o número de colunas de A e o de linhas em x precisam ser iguais.
74. Usando essa multiplicação de matriz por vetor coluna, podemos definir uma multiplicação entre matrizes A e B. É claro que temos que respeitar a condição de compatibilidade. Em outras palavras, o produto só estará definido quando ∈ ℳ× e ∈ ℳ× . O produto AB será uma matriz de ℳ×
75. Considerando as linhas de A e as colunas de B, = 1 2 ⋮ e = 1 2 ⋯ , a matriz produto será uma matriz de ℳ× dada por ∙ = [ ], confira: = 1 1 1 2 2 1 2 2 ⋯ 1 2 ⋮ ⋱ ⋮ 1 2 ⋯ m linhas n colunas
76. Para = 1. 3. 0.5 2. 2.1 2.2 3.1 4.3 3.3 e = 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. temos: = = 16.5 21.0 25.5 25.4 32.1 38.4 40.4 Por exemplo: 12 = 1. 3. 0.5 2. 5. 8. = 1.∗ 2. +3.∗ 5. +0.5 ∗ 8. = 21. 23 = 2. 2.1 2.2 3. 6. 9. = 2.∗ 3. +2.1 ∗ 6. +2.2 ∗ 9. = 38.4. Calculem vocês os outros valores e da matriz .
77. x y = / v Para qualquer vetor não-nulo v, o vetor e definido por Τ = é unitário. Ele é dito versor associado a v. Lembre-se: se = então = 2 + 2. Versores são ferramentas para estabelecer direção, sentido de percurso e unidade de medida (o tamanho da unidade).
78. v i j k Em física e engenharia os versores das direções dos três eixos x, y, z são anotados i, j ,k. Temos: = 1 0 0 , = 0 1 0 , = 0 0 1 . Dado um vetor = 1 2 3 do espaço euclidiano 3d, é imediato que: = 1 + 2 + 3 e = 1 2 + 2 2 + 3 2 .
79. Também é claro que Se = 1 + 2 + ⋯ + então = 1 1 + 2 2 + ⋯ + e = 1 2 + 2 2 + ⋯ + 2 . No espaço euclidiano n-dimensional os versores correspondentes aos eixos 1 , 2 , ⋯ , são 1 = 1 0 0 ⋮ 0 , 2 = 0 1 0 ⋮ 0 , ⋯ , = 0 0 ⋮ 0 1
80. O Surfista tem razão, Mestra. Além de calcular o tamanho, que mais poderemos fazer além de combinações desse tipo? Muitas coisas mais, minha filha, mas você lembrou-me de um termo importante. Mestres, podemos fazer pouca coisa com vetores. Além de calcular a , só umas combinações tipo 2 3. −1. 2.5 + 0.5 0.4 1.5 2.0 ,
81. Exatamente. Um vetor n dimensional u é uma combinação linear de vetores n dimensionais 1, 2, ⋯ quando = 1 1 + 2 2 + ⋯ + , para números reais 1 , 2 , ⋯ , ∈ ℝ. O termo usado para expressões do tipo 1 2 ⋮ = 1 1 1 1 2 ⋮ 1 + 2 2 1 2 2 ⋮ 2 + ⋯ + 1 2 ⋮ é combinação linear.
82. v i j k Assim como vetores = 1 0 3 e = 0 2 3 estão restritos aos plano− e plano−, respectivamente. Observem meus jovens que vetores construídos com combinações lineares do tipo = 1 2 0 = 1 + 2 + 0 (com 3 = 0), são vetores do plano−.
83. Não percebi seu objetivo, Mestra! É que esses três planos, além de serem subconjuntos do espaço euclidiano também são espaços vetoriais – logo subespaços!
84. Portanto se é a matriz = 1 2 ⋯ onde = 1 2 ⋮ e é o vetor coluna = 1 2 ⋯ então a combinação linear = 1 1 + 2 2 + ⋯ + nada mais é que o produto = . Brilhante, Cabelos de Fogo!
85. E como já disse o Mestre, a igualdade = 1 1 + 2 2 + ⋯ + = esconde as n igualdades numéricas: u1 = 1 1 1 + 2 2 1 + ⋯ + 1 2 = 1 1 2 + 2 2 2 + ⋯ + 2 ⋯ = 1 1 + 2 2 + ⋯ +
86. Um conjunto de vetores 1, 2, ⋯ , é dito linearmente independente (LI) quando, e apenas quando valer a implicação 1 1 + 2 2 + ⋯ + = 0 ⟹ 1 = 2 = ⋯ = = 0. Caso contrário é linearmente dependente (LD). Pensando na associação entre combinações lineares e produtos, esse conjunto de vetores é LI quando, e apenas quando, a implicação = 0 ⟹ = 0 é verdadeira.
87. Um conjunto de vetores β = 1, 2, ⋯ , é uma base de um espaço vetorial quando: 1. Gera , isto é, todo ∈ se escreve como combinação linear de vetores de β, 2. β é LI. Para todo espaço vetorial temos apenas duas possibilidades: 1ª - Ou toda base possui um mesmo número maximal de vetores 2ª - Ou não.
88. No 1º caso, dizemos que tem dimensão finita e anotamos = . No 2º caso dizemos que tem dimensão infinita enumerável e escrevemos = ℵ0 . (leia Aleph zero).
89. Espaços vetoriais de dimensão infinita Mestra ? Nunca ouvi falar ! Mais adiante veremos alguns espaços de funções que possuem dimensão infinita ℵ0 . Eles são importantíssimos ! Você está na UFRJ para aprender bem mais que em outras Un[zb,s.
90. Por quê, Mestre? Qual a conexão entre matrizes coluna e computadores? Este é o momento exato dos computadores e dos processadores entrarem em nosso cenário.
91. Loirinha, desde o ENIAC, com suas 17.468 válvulas, e que começou a funcionar em 1946, eles fazem isso. Foram criados para efetuar montanhas de adições e multiplicações. É, mas hoje fazem muito mais. Para jogar League of Legends preciso de acesso à Internet e de uma GPU para suportar os gráficos.
92. GPUs realizam combinações lineares “mais rápido que The Flash”. Elas possuem centenas de ALUs dedicadas a FLOPS.
93. FLOPS – operações em ponto flutuante por segundo
95. As CPU’s de 8 núcleos mais rápidas. Hoje, 04/04/2013.
96. A lista dos 10 supercomputadores mais rápidos, em novembro/2012.
97. Detalhes do mais rápido em novembro/2012.
98. Tchau, até a próxima aula!