CalcNum03 - Recordação Alg Linear

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1. Recordar é viver Prof. Paulo R. G. Bordoni LNCC UFRJ
2. Só na próxima aula passaremos à Álgebra Linear Computacional. Ela ganhou vida própria em meados do século XX, com o advento dos computadores. Começaremos recordando o conteúdo básico de Álgebra linear. Com os vetores.
3. Para trabalhar com Álgebra Linear Computacional utilizaremos Python juntamente com NumPy e SciPy. Mas antes disso, para chegar lá, acho necessário esclarecer vários conceitos.
4. Os sólidos platônicos A geometria euclidiana, apresentada em vários dos 13 volumes dos Elementos, de Euclides, sistematizou e formalizou matematicamente a visualização de pontos, retas, planos, ângulos, triângulos e outras figuras geométricas.
6. Pierre Fermat ... Together with René Descartes, Fermat was one of the two leading mathematicians of the first half of the 17th century. According to Peter L. Bernstein, in his book Against the Gods, Fermat "was a mathematician of rare power. He was an independent inventor of analytic geometry, he contributed to the early development of calculus, he did research on the weight of the earth, and he worked on light refraction and optics. In the course of what turned out to be an extended correspondence with Pascal, he made a significant contribution to the theory of probability. But Fermat's crowning achievement was in the theory of numbers."[
7. Fermat's Last Theorem (sometimes called Fermat's conjecture, especially in older texts) states that no three positive integers a, b, and c can satisfy the equation an + bn = cn for any integer value of n greater than two. This theorem was first conjectured by Pierre de Fermat in 1637, famously in the margin of a copy of Arithmetica where he claimed he had a proof that was too large to fit in the margin. Pierre Fermat foi um gênio da matemática, não só na geometria analítica.
8. Os dois artigos foram aceitos e publicados como na totalidade na edição de maio de 1995 do Annals of Mathematics. Estas publicações estabeleceram o teorema de modularidade para curvas elípticas semi-estáveis, o último passo para provar o Último Teorema de Fermat, 358 anos depois que foi conjecturado. Com base na obra de Ken Ribet, Andrew Wiles conseguiu provar o suficiente do teorema de modularidade para provar o Último Teorema de Fermat, com a ajuda de Richard Taylor. Esta realização de Wiles foi noticiado amplamente na imprensa popular, e foi popularizada em livros e programas de televisão.
9. Voltando ao ponto que nos interessa, no momento, Descartes (1637) e Fermat (1636) amarraram a Geometria de Euclides à Álgebra com o conceito de sistema de coordenadas.
10. x y = (, ) x z y = (, , ) A algebrização da geometria decorre da possibilidade identificar pontos, tanto do plano euclidiano ℝ2, como do espaço euclidiano ℝ3, a pares , e ternas (, , ) de números.
11. A partir dela, da geometria analítica, os matemáticos passaram a poder descrever entes geométricos como segmentos, retas, planos, triângulos, seções cônicas (e outros lugares geométricos), através da álgebra: com equações e inequações. Circunferência Elipse Parábola Hipérbole 2 + 2 = 1 2 = 4 2 2 + 2 2 = 1 2 2 − 2 2 = 1
12. A utilização: • do teorema de Pitágoras permite calcular distância entre pontos. • da trigonometria possibilita obter o ângulo entre duas retas. • da regra de Cramer permite obter o ponto de interseção entre duas retas. = ( , ) = ( , )
13. Publicou 1º, 1684/1686 Descobriu antes, 1665/1666 Não deixem de ver no Youtube: The Calculus Controversy. Em particular Newton e Leibniz, criaram o Cálculo Infinitesimal logo depois de Descartes e Fermat parirem a Geometria Analítica. Aliás é de Newton a frase: “Se enxerguei mais longe é porque estava no ombro de gigantes.”
14. O conceito de força já era conhecido dos gregos Aristóteles (erradamente) e Arquimedes (alavanca, empuxo). Galileu realizou experimentos mostrando que corpos eram acelerados pela força da gravidade, refutando a teoria aristotélica (cristalizada pela Igreja). As três leis de Newton, estabelecendo o conceito de força de forma clara, foram apresentadas em seu famoso livro, publicado em 1687.
15. Com a algebrização da geometria, realizada por Descartes e Fermat, as forças puderam ser representadas por pares (ou ternas) de coordenadas (cartesianas). A geometria euclidiana, dos pontos, retas e planos permitiu representar forças por segmentos de reta orientados . = ( , ) = ( , )
16. O início do século XIX marcou um esforço no sentido de tornar as entidades matemáticas mais abstratas, de liberá-las de seu suporte físico. A noção de vetor livre (livre de coordenadas!) como classe de equivalência de segmentos orientados (flechas) com mesmo tamanho, direção e sentido (a equipolência) nasceu em 1832, com Bellavitis. Vetores incorporam claramente o conceito de força.
17. Cacilda! Em cada ponto do plano um representante de cada vetor! São os fogos de Ano Novo em Copacabana!
18. A velocidade e a aceleração são exemplos clássicos de vetores. Possuem direção, sentido e magnitude. Normalmente são aplicadas num ponto específico de um corpo – às vezes o centro de massa. O conceito de vetor livre é extremamente utilizado em física e engenharias, por exemplo na composição de forças.
19. A composição de forças
20. Para levantar uma caixa precisamos vencer sua resistência através de uma força, na direção oposta, maior que seu peso.
21. — A adição de vetores, que corresponde a ideia de composição de forças. — A multiplicação de um vetor por fator de escala, está associada a equilibrar uma força, a aumentá-la ou reduzi-la. As operações fundamentais com vetores estão diretamente associadas ao conceito de força.
22. − v v Lembrem-se, o vetor = , é o vetor v escalado pelo fator . A propósito, usaremos o verbo escalar com o sentido de multiplicar por fator de escala.
23. + u v + u v + u v Lembrem-se, o vetor + , soma dos vetores u e v é obtido pela regra do paralelogramo:
24. Por padrão, o segmento orientado com origem em 0,0 e ponta em , é utilizado para representar um vetor livre v. Ele é o representante padrão do vetor livre v.
25. Como o rabinho do representante padrão do vetor v sempre será a origem (0, 0), para identificá-lo basta dar as coordenadas de sua ponta, (x, y). Abusadamente, falaremos vetor v no lugar de representante padrão do vetor v. Fique ligado!
26. = − = − v = ( , ) = ( , ) É claro que que as coordenadas do representante padrão de um vetor v são obtidas a partir da diferença entre as coordenadas do fim, B, e do início, A, de qualquer segmento orientado da classe.
27. Identificaremos o vetor livre v, com representante padrão = (1 , 2 ), a uma matriz coluna = 1 2 de ordem 2. 2 1 = 1 2 É uma identificação de uma entidade com caraterísticas geométricas, um vetor livre, e uma entidade com características algébricas, uma matriz coluna.
28. Essa identificação só terá sucesso, se conseguirmos garantir a correspondência entre: • a adição de vetores via regra do paralelogramo • e a adição de matrizes coluna E garantir também a correspondência entre: • a multiplicação de um vetor livre por um fator de escala • e a multiplicação de uma matriz coluna por um número real
29. 2 1 v 2 1 u = + 1 2 Como os triângulos amarelos são iguais segue que = + se, e só se 1 2 = 1 2 + 1 2 . Essa é a correspondência solicitada pela Professora.
30. 2 1 = 1 2 v Como os triângulos cor de rosa e hachurado de verde são proporcionais e o fator de proporcionalidade é , segue que = se, e só se 1 2 = 1 2 . Esta é a correspondência pedida pelo Professor.
31. Se 1 , 2 1 2 e 1 , 2 1 2 então 1 + 1 , 2 +2 1 + 1 2 + 2 Se 1 , 2 1 2 e α ∈ ℝ então 1 , 2 1 2 Identificações como essa são importantíssimas e recebem o nome de isomorfismos. Acabamos de conferir que a identificação i entre vetores livres no plano euclidiano e matrizes coluna de ordem 2 satisfaz:
32. = 1 2 3 1 2 3 Faremos o mesmo para três dimensões: identificaremos o vetor livre v com representante padrão = (1 , 2 , 3 ) a uma matriz coluna = 1 2 3 . Como uma forma de intensificar essa identificação com os vetores além do nome matrizes coluna também usaremos o nome vetores coluna.
33. = 1 2 3 1 2 3 2 1 = 1 2 Os vetores livres são entidades com características geométricas, por isso mesmo limitadas ao plano e ao espaço euclidianos. Como se diz por aí, 2 e 3 dimensões. As matrizes coluna estão livres dessa limitação. Seu caráter algébrico leva-nos, imediatamente, a considerar mais dimensões – matrizes coluna com 4, 5 ou mais linhas.
34. Estamos mal intencionados. Matemáticos constatarão que faremos uma grande malandragem didática. Minha metade platônica treme em imaginar que, com tal identificação, vocês dois transportarão para matrizes coluna tudo o que percebemos com nossos sentidos. Elas são do mundo das ideias. Já minha metade aristotélica admite estender a outros entes matemáticos nossa percepção euclidiana de distâncias, tamanhos, ângulos, sombras...
35. No plano euclidiano: 1 , 2 1 2 No espaço euclidiano: 1 , 2 , 3 1 2 3 Aliás, outro isomorfismo imediato é o entre vetores livres e matrizes linha: É só uma troca de notação! Bem Surfista, é mais do que isso. Elas tem sua razão de ser – veremos adiante.
36. Tal semelhança é, apenas e tão somente, notacional, caro ofídio. Em Python, os elementos das tuplas ou listas podem ser de tipos diferentes, o que não é o caso dos pontos e das matrizes linha – todos são números reais. Em Python um objeto (container) muito parecido com matrizes linha são as listas. Já as tuplas são semelhantes a pontos do ℝ.
37. Elas facilitarão enormemente nossa vida. Pensaremos geometricamente com vetores livres e operaremos algebricamente com matrizes coluna ou com matrizes linha. Afinal de contas o espaço euclidiano é o mundo dos nossos sentidos! A partir de agora usaremos essas identificações de forma indiscriminada.
38. O tamanho (ou norma) de um vetor = 1 2 do plano euclidiano é indicado por e calculado pelo o teorema de Pitágoras: = 1 2 + 2 2. v1 v2 v
39. v Já para vetores = 1 2 3 do espaço euclidiano precisamos aplicar o teorema de Pitágoras duas vezes, para obter = 1 2 + 2 2 + 3 2. E para = 1 2 ⋮ definimos sua norma por = 1 2 + 2 2 + ⋯ + 2. Eis nossa 1ª extensão, Filósofo.
40. O vetor α , é o produto do vetor v pelo fator de escala α. Em termos de norma temos: = v Aumenta o tamanho (alongamento) || > 1 v Diminui o tamanho (contração) 0 < || < 1
41. A prova é uma decorrência imediata da definição de |α|: = (1 )2 + (2 )2 + ⋯ + ( )2 = 2(1 2 + 1 2 + ⋯ 1 2) = 2 1 2 + 1 2 + ⋯ 1 2 = Esta é uma das propriedades notáveis que se estendem para n dimensões: =
42. A C B Desde os tempos de Euclides sabe-se que: Só conseguimos construir um triângulo ABC com régua e compasso quando: O tamanho de cada lado é menor que a soma (dos tamanhos) dos outros dois. Por ex.: < + .
43. A C B C É a mais pura verdade, Mestra! Quando a medida do lado AB é maior que + as duas circunferências não se cortam e não dá para construir o triângulo! Quando = + temos um triângulo degenerado!
44. A C B u v u + v Então de ≤ + segue + ≤ + , que por isso recebe o nome de desigualdade triangular! Se é um representante de u e um representante de v então é um representante de + .
45. v u + A desigualdade triangular + ≤ + é outra propriedade notável que se estende para n dimensões.
46. Surfista, prove que a desigualdade triangular também é válida para vetores de n dimensões. Mestre, no espaço euclidiano ainda dá para usar régua e compasso. Mas em n dimensões, como faço? Pois é meu jovem, esse é o desafio!
47. x y = / v Para qualquer vetor não-nulo v, o vetor e definido por = é unitário. Ele é dito versor associado a v. Versores são ferramentas para estabelecer direção, sentido de percurso e unidade de medida.
48. v i j k Em física e engenharia os versores das direções dos três eixos x, y, z são anotados i, j ,k. Temos: = 1 0 0 , = 0 1 0 , = 0 0 1 . Dado um vetor = 1 2 3 do espaço euclidiano 3d, é imediato que = 1 + 2 + 3 .
49. No espaço euclidiano n-dimensional os versores correspondentes aos eixos 1 , 2 , ⋯ , são 1 = 1 0 0 ⋮ 0 , 2 = 0 1 0 ⋮ 0 , ⋯ , = 0 0 ⋮ 0 1 Também é claro que se = 1 2 ⋮ então = 1 1 + 2 2 + ⋯ + .
50. O Surfista tem razão, Mestra. Além de calcular o tamanho, que mais poderemos fazer além de combinações desse tipo? Muitas coisas mais, minha filha, mas você lembrou-me de um termo importante. Mestres, podemos fazer pouca coisa com vetores. Só umas combinações tipo 2 3. −1. 2.5 + 0.5 0.4 1.5 2.0 .
51. O termo usado para expressões do tipo 1 2 ⋮ = 1 1 1 1 2 ⋮ 1 + 2 2 1 2 2 ⋮ 2 + ⋯ + 1 2 ⋮ é combinação linear. Exatamente. Um vetor n dimensional u é uma combinação linear de vetores n dimensionais 1, 2, ⋯ quando = 1 1 + 2 2 + ⋯ + , para números reais 1 , 2 , ⋯ , ∈ ℝ.
52. Observem que uma igualdade vetorial é equivalente a uma igualdade para cada componente dos vetores que se igualam. Portanto uma igualdade entre matrizes coluna de ordem n corresponde n igualdades numéricas: 1 = 1 1 1 + 2 2 1 + ⋯ + 1 2 = 1 1 2 + 2 2 2 + ⋯ + 2 ⋯ = 1 1 + 2 2 + ⋯ +
53. Este é o momento exato dos computadores e dos processadores entrarem em nosso cenário. Por quê, Mestre? Qual a conexão entre matrizes coluna e computadores?
54. Loirinha, desde o ENIAC, com suas 17.468 válvulas, e que começou a funcionar em 1946, eles fazem isso. Foram criados para efetuar montanhas de adições e multiplicações. É, mas hoje fazem muito mais. Para jogar League of Legends preciso de acesso à Internet e de uma GPU para suportar os gráficos.
55. GPUs realizam combinações lineares “mais rápido que The Flash”. Elas possuem centenas de ALUs dedicadas a FLOPS.
56. FLOPS – operações em ponto flutuante por segundo
58. Aliás, já na 2ª aula, falamos em padrão IEEE 754. Fiquem tranquilos, meus jovens, daqui a algumas aulas explicaremos direitinho o que é ponto flutuante.
59. As CPU’s de 8 núcleos mais rápidas. Hoje, 04/04/2013.
60. A lista dos 10 supercomputadores mais rápidos, em novembro/2012.
61. Detalhes do mais rápido em novembro/2012.
62. O produto de uma matriz linha = [1 2 ⋯ ] por uma matriz coluna = 1 2 ⋮ nessa ordem, é o número real definido por ∙ = 1 1 + 2 2 + ⋯ + . Loirinha, esta é uma operação entre matrizes linha e coluna de ordem n:
63. O produto escalar (ou produto interno) de duas matrizes coluna = 1 2 ⋮ e = 1 2 ⋮ é o número real definido por , = 1 1 + 2 2 + ⋯ + . Agora, Surfista, note a semelhança:
64. Claro, para = 1 2 ⋮ temos: , = 1 1 + 2 2 + ⋯ + = 1 2 + 2 2 + ⋯ + 2 = 2 Observem a conexão entre tamanho de vetor e produto escalar: = ,
65. Dados dois vetores livres u e v, do espaço euclidiano n-dimensional, vale a desigualdade , ≤ . É uma desigualdade deveras importante e é conhecida pelo nome de desigualdade de Cauchy-Schwarz.
66. Para prová-la precisamos da lei dos cossenos: “Num triângulo de lados a,b,c vale a igualdade 2 = 2 + 2 + 2 cos () sendo θ o ângulo formado pelos lados b e c“. a b c θ A B C H s r h Na figura, θ é um ângulo agudo. Surfista, faça a prova quando θ for obtuso. Quando = /2 temos o teorema de Pitágoras.
67. a b c θ A B C H s r h Seja H o pé da perpendicular pelo vértice C ao lado AB . Sejam ℎ = , = , s = . Então, pelo teorema de Pitágoras: 2 = 2 + ℎ2 e 2 = 2 + ℎ2 Daí obtemos 2 = 2 + 2 − 2. Como = − temos 2 = ( − )2+2 − 2 = 2 + 2 − 2. Como = cos (), segue a lei dos cossenos: 2 = 2 + 2 − 2 cos ().
68. θ v u − Em termos de vetores livres u e v, a lei dos cossenos fica: − 2 = 2 + 2 − 2 cos () Temos também − 2 = − , − = 2 + 2 − 2 , . Combinando essas duas obtemos , = cos .
69. Portanto, se ≠ 0, ≠ 0 temos , = cos θ e consequentemente −1 ≤ , ≤ 1 θ v u − Segue daí a desigualdade de Cauchy-Schwarz , ≤
70. Portanto o ângulo entre dois vetores ≠ 0 e ≠ 0 do espaço euclidiano n-dimensional pode ser calculado através da fórmula: = cos , Se é o ângulo entre dois vetores não-nulos u e v, então: • é agudo , > 0 • é obtuso , < 0 • = 2 , = 0. Neste caso u e v são ditos serem vetores ortogonais. θ v u
71. A projeção ortogonal do vetor u sobre um versor v é o vetor u v dado por = cos , onde θ é o ângulo, 0 ≤ ≤ , entre u e v. Algebricamente, é mais prático usar = ,
72. Veremos em nosso curso que projeção ortogonal é um conceito importantíssimo em álgebra linear, matemática e matemática aplicada. Projeções ortogonais são muito usadas por físicos e engenheiros para determinar a “componente de uma força” ou a “componente da velocidade” numa determinada direção.
73. A célebre experiência de Galileu, do plano inclinado, para determinar a velocidade de queda dos corpos. A distância percorrida é proporcional ao quadrado do tempo: ∝ 2
74. g A projeção, na direção do plano inclinado, = cos 90 − = sen da aceleração da gravidade g é quem acelera a bola.
75. Galileu Galilei é considerado o pai da Revolução Científica. No Ensaiador: “ A filosofia está escrita neste grande livro, o universo... Ele está escrito na linguagem da matemática e seus caracteres são triângulos, círculos e outras figuras geométricas...”
76. Agora vamos apresentar um dos conceitos mais importantes da matemática. O de espaço vetorial. Surfista, dada a importância do tema, vá vestir um smoking.
77. Você ficou um gatinho! Um espaço vetorial (, ℝ, +,∙ ) sobre os reais é uma estrutura algébrica constituída por um conjunto V e duas operações. Os elementos de V são chamados vetores.
78. Para , , : 1. Comutatividade: + = + 1. Associatividade: + + = + ( + w) 3. O vetor nulo, 0, é o elemento neutro para a adição de vetores: 0 + = 4. Cada vetor tem seu oposto: + (−) = 0 Uma das operações é a adição de vetores + ∶ × → , que deve satisfazer as propriedades:
79. Para , ∈ ℝ, , : 1. 1ª distributividade : ∙ + = ∙ + ∙ 2. 2ª distributividade: (α + ) ∙ = ∙ + ∙ 3. 3ª distributividade: () ∙ = ∙ ( ∙ ) 4. O 1 é o elemento neutro multiplicativo: 1 ∙ = A outra operação é a multiplicação de um vetor por um fator de escala ∙ ∶ ℝ × → , que deve satisfazer as propriedades:
80. Uma matriz de ordem × é uma tabela de com m linhas e n colunas. Como abaixo. Para resumir tudo isso, escrevemos = [ ]. Cada é um número real, posicionado no cruzamento da linha i com a coluna j. Anotaremos por ℳ× o conjunto de todas as matrizes de ordem × . = 11 12 21 22 ⋯ 1 2 ⋮ ⋱ ⋮ 1 2 ⋯ m linhas n colunas ??
81. Mestres, qual a conexão entre matrizes e vetores? Se elas são vetores, onde escondem suas flechas? Pois é, Loirinha. Matrizes também são vetores! Esqueça as flechas!
82. Vetores são apenas entidades abstratas (objetos, coisas, ...) que podem ser somados e escalados. E precisam cumprir as oito propriedades listadas na definição. Sim, temos que saber somar matrizes e multiplicá-las por números reais. E verificar que elas satisfazem as oito propriedades.
83. Por exemplo: 2.0 3.0 1.0 −1.0 0. 2.5 + 0.5 −0.5 2.0 1.0 1.0 −1.0 = 2.5 2.5 3.0 0. 1.0 1.5 A soma entre entre uma matriz = [ ] e uma matriz = [ ], ambas de ℳ× , é a matriz de ℳ× dada por + = [ + ].
84. O produto por fator de escala entre um número real e uma matriz = [ ] de ℳ× é a matriz de ℳ× definida por = [ ]. Para = 2. e = 1.1 0.7 −1.4 2.3 temos = 2.∗ 1.1 2.∗ 0.7 2 ∗ (−1.4) 2 ∗ 2.3 = 2.2 1.4 −2.8 4.6 .
85. É um trabalho de rotina conferir que as operações com matrizes de ℳ× e números reais satisfazem as oito regras da definição de espaço vetorial. Surfista, confira o que o Sherlock falou.
86. O conjunto ℳ× das matrizes de ordem × com as operações de adição e multiplicação por fator de escala constituem um espaço vetorial. So, never forget:
87. Também olharemos para uma matriz ∈ ℳ× como um vetor linha formado por n vetores coluna de ordem m = 1 2 ⋯ = 11 21 ⋮ 1 12 22 ⋮ 2 ⋯ 1 2 ⋮
88. Ou ainda como um vetor coluna formado por m vetores linha de ordem n = 1 2 ⋮ = 11 12 ⋯ 1 21 22 ⋯ 2 ⋮ 1 2 ⋯
89. Em FORTRAN, as matrizes são armazenadas na memória dos computadores como um grande vetor, coluna após coluna. Já em C, C++ e Java, elas são armazenadas linha após linha. Em C, C++ e Java: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⟼ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Em FORTRAN: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⟼ 1 4 7 2 5 8 3 6 9
90. • As matrizes quadradas de ordem n. Matrizes × , com = , o mesmo número de linhas e colunas. • Os vetores coluna de ordem m. Matrizes × 1, isto é, matrizes coluna de ordem m. • Os vetores linha de ordem n. Matrizes 1 × , isto é, matrizes linha de ordem n. Três tipos particulares de matrizes merecem destaque, relativamente à sua ordem × : Os ingredientes fundamentais da Álgebra linear computacional residem em ℳ× .
91. • A adição de matrizes de mesma ordem. • A multiplicação de um número por uma matriz. • A multiplicação direta entre duas matrizes de mesma ordem. São muitas as operações possíveis entre matrizes. Já vimos duas. Uma terceira fornece o produto direto.
92. O produto direto entre uma matriz = [ ] e uma matriz = [ ], ambas de ℳ× , é a matriz de ℳ× dada por = [ ∗ ]. Para = 1. 2. 3. 4. 5. 6. e = 2. −1. 1. 0.5 2. 3. temos = 2. −2. 3. 2. 10. 18.
93. É possível definir uma multiplicação entre uma matriz ∈ ℳ× e um vetor coluna de ordem n. O produto é um vetor coluna de ordem m. Nesse caso, é mais conveniente tratar a matriz A como um vetor coluna com m linhas, = 1 2 ⋮ . O vetor coluna resultante, y, possuirá n linhas e será definido por = = 1 2 ⋮
94. Para = 1. 2. 3. 4. 5. 6. e = −1. 0. 2. temos = 1.∗ −1. + 2.∗ 0. +3.∗ 2. 4.∗ −1. + 5.∗ 0. +6.∗ 2 = 5.0 8.0 Atenção com a condição de compatibilidade: o número de colunas de A e o de linhas em x precisam ser iguais.
95. Usando essa multiplicação de matriz por vetor coluna, podemos definir uma multiplicação entre matrizes A e B. É claro que temos que respeitar a condição de compatibilidade. Em outras palavras, o produto só estará definido quando ∈ ℳ× e ∈ ℳ× . O produto AB será uma matriz de ℳ×
96. Considerando as linhas de A e as colunas de B, = 1 2 ⋮ e = 1 2 ⋯ , a matriz produto será uma matriz de ℳ× dada por ∙ = [ ], confira: = 1 1 1 2 2 1 2 2 ⋯ 1 2 ⋮ ⋱ ⋮ 1 2 ⋯ m linhas n colunas
97. Para = 1. 3. 0.5 2. 2.1 2.2 3.1 4.3 3.3 e = 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. temos: = = 16.5 21.0 25.5 25.4 32.1 38.4 40.4 Por exemplo: 12 = 1. 3. 0.5 2. 5. 8. = 1.∗ 2. +3.∗ 5. +0.5 ∗ 8. = 21. 23 = 2. 2.1 2.2 3. 6. 9. = 2.∗ 3. +2.1 ∗ 6. +2.2 ∗ 9. = 38.4. Calculem vocês os valores de x e y.
98. Tchau, até a próxima aula!