um conjunto A, que possui pelo menos dois elementos 0 e 1, no qual estão definidas duas operações binárias + e × e uma operação unária ‘ satisfazendo os 5 pares de propriedades: + = + × = × Comutatividade + + = + ( + ) Associatividade ( × ) × = × ( × )
+ ’ = 1 × ’ = 0 Propr. do complemento Uma Álgebra de Boole é uma estrutura algébrica ... x + y × z = (x + y) × (x + z) Distributividade x × y + z = x × y + (x × z)
0 1 1 1 1 ∙ 0 1 0 0 0 1 0 1 A menor Álgebra de Boole possível é construída com o conjunto X = { 0, 1 } e as operações +, ∙ e * definidas pelas tabelas:
parte da Lógica Matemática é o Cálculo de Predicados, onde a perspectiva é intra-sentencial. Ela envolve as noções de constante, variável, quantificação, função e substituição.
} ∪ {( , ) } Os símbolos usados no Cálculo Proposicional são os identificadores das proposições atômicas(átomos) juntamente com operadores , ˄, ˅ , , e delimitadores ( , ).
na álgebra. Os parênteses são usados na pontuação. Os símbolos ˄, ˅, , são conectivos binários e é um conectivo unário. Como os operadores na álgebra.
com uma letra maiúscula e pode ser seguido por qualquer número natural. Portanto são nomes válidos para átomos: A, B, P, Q, A1, A35, P482, ... Para escrever identificadores para um conjunto enumerável de átomos, temos a regra:
de σ∗ = σ \. O conjunto , de todas as proposições, é o conjunto gerado através das regras sintáticas estabelecidas nas duas transparências anteriores Nada mais é proposição!
) ) (( ( )) ( ˅ )) ((( ) ˄ ( )) ( ( ˅ ))) Professor, são muitos parênteses! O conectivo associado ao par de parênteses mais externo é dito conectivo principal.
não pode ser, simultaneamente, verdadeira e falsa. Não contradição Toda proposição é verdadeira ou falsa, inexiste outra possibilidade. 3º excluído O primeiro passo é estabelecer três princípios básicos a respeito de proposições:
F, F P, Q, R V F V F V V F F F V F V V F F, V, V F, V, F F, F, V F, F, F Para 2 átomos teremos 4 combinações, para 3 teremos 8. Assim por diante, sempre dobrando.
imperador. Em agradecimento o Imperador disse-lhe: Peça o que quiser – eu te concederei! Humildemente, o mestre disse: Quero 1 grão de trigo para a 1ªcasa do meu tabuleiro de xadrez, 2 grãos para a 2ª, 4 para a 3ª, e assim por diante. Professora, conte a lenda do imperador indiano, do mestre em xadrez e seu tabuleiro!
cumprir sua promessa... A quantidade de trigo em todos os armazéns de seu império, e de todos os outros do mundo, era insuficiente! E como termina essa estória, Mestra?
Brasil tem uma área total de 8.514.876 m2. Fiz um programa para calcular a quantidade de formas cilíndricas de base Brasil e altura Everest necessários para cumprir a promessa do imperador.
tabelas verdade cresce muito depressa. Observe que para proposições com 20 átomos ela terá 1 mega de linhas (i. é 1.048.576 linhas) Assim, proposições com 60 átomos exigiriam tabelas com 1 hexa linhas. Em outras palavras, tantas linhas quanto a quantidade de grãos de trigo necessária para encher um cilindro de base Brasil e quase 3 vezes a altura do Everest. Algo impensável!
˅ Q, P → Q, P ↔ Q, envolvendo apenas dois átomos teremos só quatro combinações: V-V, V-F, F-V, F-F, e eu vou mostrar como a coisa funciona! Essa argumentação não deixa dúvidas que é necessária alguma outra técnica, diferente de tabelas-verdade, para determinar o valor-lógico de proposições.
Q P ↔ Q V V V F F V F F Assim as tabelas envolvendo dois átomos, deverão ter 4 linhas. O passo seguinte é saber quais valores lógicos resultarão para as proposições simples construídas.
F F V F F P Q → P ˅ P ˅ Q → P V V V F V V F V Para as proposições gerais, montamos a tabela (dita tabela verdade) e preenchemos as colunas dos átomos. Depois seguimos a árvore.
esta, junto com uma das acima, redefinir a bicondicional. → ⇔ ¬( ˄ ¬) → ⇔ ¬ ∨ Estas equivalências permitem redefinir a implicação apenas com ¬ e ∧ ou com ¬ e ∨.