.Aproximação e interpolação

Aproximações globais e locais. Aproximação linear na física e engenharias. A polinomial de Taylor. Interpolação polinomial via Lagrange

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1. Aproximação e interpolação Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ
2. As funções elementares estão em “Mathematical functions” de “Routines” na Referência do Numpy. Iniciamos a aula passada com as “funções elementares”.
3. Lá, em “Mathematical functions”, encontramos as funções mais básicas:
4. Na aula anterior à ela, estudamos as funções polinomiais.
5. Em particular, observamos dois fatos óbvios: 1. ∀ ∈ ℕ, ℙ ([, ]) é um subespaço ℙ([, ]), o espaço das polinomiais de qualquer grau. 2. ℙ([, ]) é subespaço de ℱ( , ), o espaço de todas as funções : [, ] → ℝ. E aprendi a usar a NumPy para: • Criar polinomiais, usando a base canônica 0 , 1 , ⋯ , de ℙ ([, ]); • Calcular raízes de uma polinomial; • Derivar e integrar polinomiais ∈ ℙ ([, ]); • Etc.
6. Daí decorrem duas afirmações que merecem nossa atenção: • ℙ([, ]), o espaço das polinomiais de qualquer grau, tem dimensão infinita, enumerável; • ℱ( , ), o espaço de todas as funções : [, ] → ℝ também tem dimensão infinita; E como toda polinomial é uma função contínua, e infinitamente derivável, concluímos também, que , , 1 , , ⋯ , ∞ , são todos espaços dimensão infinita.
7. Mas Surfista, eu nunca vi nenhuma polinomial de grau infinito. Existem polinomiais de grau infinito Mestra? Claro que não, minha filha. As polinomiais de ℙ([, ]), não possuem restrição de grau. Isto quer, apenas, dizer que o grau poderá ser qualquer número natural, por isso mesmo finito.
8. Mas em Cálculo aprendi a calcular a série de Taylor, = (0) ! ∞ =0 , de uma função... Ela não é uma polinomial de grau infinito? Não, não, não – NÃO! Aliás, esta é uma confusão conceitual muito frequente entre os alunos de Cálculo. Uma série não é uma soma, mas sim o limite de uma sequência de polinomiais: = lim →∞ () onde = =0 .
9. Assim ℙ[a, b] possui dimensão infinita (enumerável) e não se fala mais nisso! A sequência ℬ = { 0 , 1 , … , … } das funções polinomiais definidas por = , para ∈ [, ] é uma base (de Hamel) de ℙ( , ), pois: 1. ℬ gera ℙ( , ) – lembrem-se, combinações lineares são somas finitas; 2. ℬ é um subconjunto LI de ℙ , , pois todo ∈ ℕ, os subconjuntos constituídos por n elementos distintos de ℬ é LI.
10. O foco da aula de hoje é aproximar funções por outras mais simples. Em primeira mão, por polinomiais.
11. Um conceito delicado é o de supremo de um conjunto de números reais. Ele vai ser necessário adiante. O supremo s de um conjunto limitado X ⊂ ℝ, anotado (), é o menor de seus limitantes superiores. Em outras palavras, = () ⟺ ∀ ∈ , ≤ ∀ > 0, ∃ ∈ . . − < ≤
12. • 2 = ∈ ℚ . 2 < 2 • 1 = ∈ ℝ . < 1 • 1 = ∈ ℝ . ≤ 1 • 2 = 1 + 1 2 , 1 + 1 2 + 1 4 , 1 + 1 2 + 1 4 + 1/8, ⋯ • 9 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 • 2 = , é í í ê 1 Veja alguns: Cruz-credo, Mestra! Dê um exemplo, pelo amor de Deus
13. s − ∈ A 1ª parte diz, simplesmente, que s é maior que qualquer número de X, pode ser igual. A 2ª é que, não importa qual seja a precisão , sempre conseguiremos inserir um número ∈ entre s e − . A visão geométrica associada a esse conceito é a seguinte:
14. Um ponto a ser destacado a respeito do supremo s de X é que ele pode ser um elemento de X, mas isto não é uma exigência. Quando ∈ , ele é o máximo de X, anotado max ()
15. Uma primeira resposta é uma negativa parcial. Não é possível definir uma norma em ℱ( , ); ele é muito grande para isto. Entretanto isto é possível para as funções : [, ] → ℝ que são limitadas. Para falar de aproximação entre funções, precisamos saber como medir o tamanho de funções. Em outras palavras, como definir a norma para uma função ∈ ℱ( , ).
16. Uma função : [, ] → ℝ é limitada quando existe ∈ ℝ para o qual () < , ∀ ∈ ℝ. Seja ℬ , ⊂ ℱ( , ) o conjunto de todas as funções ∈ ℱ( , ) que são limitadas. É simples provar que ℬ , é um subespaço vetorial de ℱ( , ) – faça essa prova, Surfista!
17. f ∞ Lembre-se Surfista, o Mestre está afirmando que: 1. ∞ ≥ 0 e ∞ = 0 ⇒ = 0; 2. ∞ = ∞ , para ∈ ℝ; 3. + ∞ ≤ ∞ + ∞ . A função ∙ ∞ : ℬ , → ℝ, definida para toda ∈ ℬ , por ∞ = sup , ∈ , é uma norma – uma forma de medir tamanho de funções.
18. p Ótima lembrança, Surfista! Nesse caso, = , ∈ , e se ≥ 0, ∞ = (). Em Cálculo aprendemos que toda função contínua f definida num intervalo fechado [, ] atinge seu valor máximo num ponto ∈ [, ].
19. f − ∞ Simplesmente calculando − ∞ = − () , ∈ , , que é a forma de medir a distância entre duas funções usando a ∙ ∞ Mas como medimos a distância entre duas funções , ∈ ℬ( , ) ?
20. f A norma ∙ ∞ mede a proximidade de funções de forma uniforme, em todo um intervalo. De fato, sejam , ∈ ℬ , . Afirmar que − ∞ < corresponde a assegurar que g fica dentro de uma faixa com largura uniforme envolta de f . Na figura a faixa rosa, de a até b.
21. A ∙ permite medir aproximações em todo o intervalo [a, b], de forma global. Em Física e nas Engenharias aproximações locais são muito utilizadas.
22. = − Robert Hooke, por volta de 1660, enunciou a lei da elasticidade (lei de Hooke), segundo a qual as deformações sofridas pelos corpos são, em princípio, diretamente proporcionais às forças que se aplicam sobre eles. Um material é elástico quando retoma seu estado original após uma pequena deformação.
23. A rigidez de um material sólido é medida pelo seu módulo de elasticidade.
24. De forma mais detalhada:
25. Um comportamento linear apenas para pequenas deformações.
26. Como calcular o módulo de Young nas diversas regiões da intensidade da deformação
27. () () p Para próximo de , o valor numérico de () é bem aproximado pelo valor numérico de , a reta tangente ao gráfico de f pelo ponto (, ). A diferença − () é pequena.
28. Pto. de tangência Fiz este outro programa, para mostrar essa diferença, em números.
29. Este é o código do programa.
30. A continuação dele.
31. Além disso, uma associação fulgurante: A reta tangente ao gráfico da função, num ponto, como um método de aproximação local para a função. A derivada colocou os conceitos de velocidade e aceleração em bases sólidas!
32. O Mestre fez um programa para mostrar a ideia. É, a reta tangente “cola” na função perto do ponto de tangência!
33. Este é o código do programa.
34. A continuação.
35. E a parte final.
36. A reta tangente dá uma aproximação de 1ª ordem, ou linear. É possível estabelecer aproximações locais de maior ordem: quadráticas, cúbicas, etc. Aí entram as aproximações polinomiais.
37. Brook Taylor, 1685-1731 A grande contribuição deTaylor, que criou expansão a expansão em funções polinomiais, hoje conhecida como série de Taylor de uma função. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/
38. Surfista, em livros de Cálculo você encontrará a demonstração do: Admitindo-se que: • , • e (+1) existe em , então para todo [, ], existe um número entre 0 e tal que • = + +1 (), com: • • = (0 ) ! ( − 0 ) =0 +1 = +1 ( ) +1 ! ( − 0 )+1 Teorema de Taylor
39. O desenvolvimento em série de Taylor das funções exponencial, logaritmo e a famosa série geométrica.
40. Neste programa a função a expandir em série de Taylor, entorno de x 0 = 0, é definida dentro do código. Na execução você entra com o domínio, o grau e os coeficientes da expansão.
41. Neste caso f(x) = ex e a polinomial de Taylor é de grau 1, T 1 (x), em azul. O gráfico tracejado é o da função erro, E 2 (x) = f(x) - T 1 (x).
42. Aqui a mesma coisa, mas polinomial de Taylor é de grau 2, T 2 (x).
43. Agora a polinomial de Taylor é de grau 3, T 3 (x).
44. Só mudei a função: f(x) = ln(1+x).
45. A aproximação é local, quanto menor a vizinhança (-δ, δ) entorno do ponto x 0 , mais a polinomial de Taylor “cola” na log(1+x).
46. vizinhança Erro máx. (-0.5, 0.5) 0.03 (-0.4, 0.4) 0.01 (-0.2, 0.2) 0.0005 Dei um “zoom” na escala vertical do gráfico, para examinar melhor a função erro. Na transparência anterior o Mestre assinalou em vermelho os erros máximos.
47. O desenvolvimento em série de Taylor das funções trigonométricas básicas.
48. A função seno é ímpar [ i.é, sen(-x) = - sen(x) ]. Só comparecem na expansão as potências ímpares de x. Esta é a aproximação linear, muito utilizada por físicos e engenheiros.
49. A próxima aproximação é a cúbica.
50. Passaremos agora a analisarformas de estabelecer aproximações globais num intervalo [a, b].
51. f p Se f é uma função contínua num intervalo fechado [, ] então, para qualquer precisão > 0, existe uma polinomial ∈ ℙ tal que − ∞ < . O teorema de aproximação de Weierstrass é um resultado de existência de aproximações polinomiais globais fundamental:
52. A interpolação é uma técnica para calcular resultados numéricos aproximados de dados não tabelados, a partir de dados funcionais de valores vizinhos tabelados. Começaremos por entender a interpolação polinomial.
53. http://locomat.loria.fr Parte de uma página do “Canon mathematicus” de Viète (1579). Nela estão tabelados valores de senos, cossenos, tangentes, etc de 4º à 4º30’
54. Rheticus foi aluno de Copérnico e o apoiou na divulgação do heliocentrismo. Em particular na publicação da obra maior de Copérnico: “De revolutionibus orbium coelestium”
55. O sistema geocêntrico (Ptolomeu), a Igreja/Inquisição e o julgamento de Galileu Galilei. O heliocentrismo com Copérnico,
56. O livro de Copérnico, sobre o heliocentrismo.
57. Em 1614, no livro “Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio”, J. Napier descreve um método para calcular produtos em termos de somas. Nasciam os logaritmos. O livro apresenta ainda 90 páginas com tabelas para utilização do seu método
58. Obtivemos essas informações no site do Gresham College. O texto a seguir, sobre Briggs, é parte da apresentação às minhas costas.
59. A declaração de Briggs é emocionante!
60. O livro que Briggs escreveu. Nos logaritmos de Napier, log(1) ≠ 0.
61. Briggs foi um grande matemático. Foi o 1º Professor Saviliano de Geometria em Osford!
62. Que encadeamento fantástico! Percebam a importância de boas escolas e bons Professores! Briggs convenceu Johann Kepler sobre as vantagens da invenção de Napier. Kepler usou logaritmos para calcular as posições de Marte, o que conduziu-o a descobrir as leis do movimento planetário. A reputação de Kepler foi fundamental na disseminação do uso de logaritmos em toda a Europa. Isaac Newton usou as leis de Kepler para descobrir a lei da gravidade.
63. Mestres, afinal de contas, para que eram utilizadas as tábuas de logaritmo? Elas eram usadas para efetuar multiplicações e divisões, de forma rápida.
64. log(x∗y) = log(x) + log(y) log(x/y) = log(x) - log(y) A régua de cálculo foi um instrumento analógico largamente utilizado pelos engenheiros até surgirem as máquinas de calcular científicas nos anos 70. Elas utilizavam escalas logarítmicas e as duas propriedades abaixo:
65. Mestres, já vimos como aproximar funções através da polinomial de Taylor. As tábuas de logaritmos e das funções trigonométricas foram utilizadas para efetuar aproximações lineares, como na figura que fiz, abaixo. () () a a
66. Com a NumPy e a base de Lagrange, aprendemos a construir funções polinomiais por pares de pontos dados. É só juntar essa duas idéias?
67. Sim Loirinha, a ideia de aproximar uma função : , → ℝ através de interpolação por uma polinomial de grau n é óbvia! Escolhemos os valores 0 < 1 < ⋯ < em [, ] e os valores 0 , 1 , ⋯ , serão calculados através da f: 0 = 0 1 = 1 ⋮ =
68. Vejam este exemplo: • A função é = () • Os pontos a interpolar são: (−1, (−1)) (− 1 2 , − 1 2 ) (0, 0 ) (1 2 , 1 2 ) (1, (1))
69. O programa do exemplo.
70. Mestres, e o erro nessa aproximação? Parece que nas extremidades do intervalo ele aumentou! De fato, veja o gráfico da função erro. Note que a escala vertical está bem ampliada.
71. Admitindo-se que: • , e (+1) existe em , • ≤ 0 < 1 < ⋯ < ≤ então para todo [0 , ], existe um número entre 0 e tal que • = + +1 (), onde: • é a polinomial interpoladora de grau por 0 , 0 , 1 , 1 , ⋯ , , , • +1 = +1 ( ) + 1 ! − 0 − 1 ⋯ − Teorema da interpolação polinomial Vocês poderão encontrar a demonstração do teorema a seguir em livros de Análise Numérica.
72. Então teremos +1 () ≤ +1 ! | − 0 ⋯ − | . E, se os pontos forem igualmente espaçados de ℎ, +1 () ≤ ℎ+1 4 +1 . Se a derivada de ordem + 1, (+1), de for contínua no intervalo [0 , ], ela será limitada. Nesse caso, existirá um número real tal que max [0,] (+1) () =
73. Meu querido aluno impaciente ... Como você acha que Numpy + Scipy calculam as funções tão rapidamente, com a precisão requerida pelo IEEE 754? Eu realmente não vejo razão para toda essa teoria sobre interpolação e erro. O computador fornece tudo pronto!
74. Loirinha, você esqueceu um adjetivo crucial: Com Taylor melhoramos localmente a precisão! Para valores x k igualmente espaçados, ao aumentarmos o grau da interpoladora, surge o fenômeno de Runge! Mestres, aumentando o grau n da polinomial de Taylor, T n (x), conseguimos melhorar a precisão. Valerá o mesmo para a interpoladora polinomial P n (x) ?
75. Veja só que coisa terrível! Nesse exemplo vemos que o erro cresceu assustadoramente com o grau. Ele dispara nos extremos!
76. Eis o código do exemplo.
77. Uma das razões básicas é o comportamento das polinomiais p n (x): para x → ∞, temos p n (x) → ±∞. Veremos, mais adiante, que uma escolha adequada dos pontos x k permite melhorar muito a aproximação.
78. Tchau! Até a próxima.