Introdução à MatPlotLib

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1. Introdução à MatPlotLib Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ
2. A MatPlotLib será nossa ferramenta para construir gráficos de funções. Mas, antes de apresentá-la reavivaremos a disputa Platão x Aristóteles.
3. “A criação de Adão” Afresco pintado no teto da Capela Sistina por Michelangelo Buonarroti, entorno de 1511. Vou começar pelo dito popular: “Uma imagem vale mais que mil palavras.”
4. 1637 René Descartes - Francês Nasceu 31/03/1596 Morreu 11/02/1650 A formalização do método científico, um século e um quarto de depois...
6. Reducionismo: estudo do mundo como uma montagem de partes físicas que podem ser divididas e analisadas separadamente e recompostas.
7. M.C. Escher, Relativity (1953), Litogravura Uma imagem vale muito mais que mil palavras ... Escher dividiu e depois remontou tudo, harmonicamente, certamente questionando o Reducionismo.
8. Escher remontou tudo, harmonicamente, quem sabe para mostrar que “o todo pode ser maior que a soma das partes”. Holismo ...
9. Descartes é do mundo das ideias. Onde entra a crítica de Escher? Imagens e gráficos são entidades criadas pela nossa percepção euclideana.
10. Mestre, Mestre ... Eu faço engenharia, não filosofia, nem história! Pois é Surfista, Escher usa nossa percepção visual para desconstruir nossa confiança na percepção visual.
11. Mas Escher vai mais além. A próxima transparência ensina que o que você vê depende de como você olha as coisas.
12. M.C. Escher, Convex and Concave (1955), Litogravura Experimente olhar assim ↘, como a mulher descendo com a cesta - canto esquerdo superior. Depois, olhe assim ↖, como o operário subindo a escada - canto direito inferior.
13. Pode ser muito pior: “O que você vê depende de como te mostram as coisas” É ou não é, Escher? Olhar o todo permite detectar contradições; use a Internet criteriosamente para buscar mais informações! Melhore sua formação ética e política.
14. Pensem nas imagens de Escher quando virem estes destaques:
15. Surfista, veja mais sobre armadilhas da percepção ao final deste conjunto de transparências. Depois volte a refletir sobre a disputa Platão x Aristóteles.
16. Voltando ao ponto que nos interessa no momento: Descartes (1637) e Fermat (1636) amarraram a Geometria de Euclides à Álgebra através do conceito de sistema de coordenadas.
18. Pierre Fermat ...
19. Publicou 1º, 1684/1686 Descobriu antes, 1665/1666 Não deixem de ver no Youtube: The Calculus Controversy. Em particular Newton e Leibniz, criaram o Cálculo Infinitesimal (a matemática do contínuo) cerca de 50 anos depois Descartes e Fermat parirem a Geometria Analítica. Aliás é de Newton a frase: “Se enxerguei mais longe é porque estava no ombro de gigantes.”
20. x y = (, ) x z y = (, , ) A algebrização da geometria decorre da possibilidade identificar pontos, tanto do plano euclidiano ℝ2, como do espaço euclidiano ℝ3, a pares , e ternas (, , ) de números.
21. A partir dela, da geometria analítica, os matemáticos passaram a poder descrever entes geométricos como segmentos, retas, planos, triângulos, seções cônicas (e outros lugares geométricos), através da álgebra: com equações e inequações. Circunferência Elipse Parábola Hipérbole 2 + 2 = 1 2 = 4 2 2 + 2 2 = 1 2 2 − 2 2 = 1
22. A utilização: • do teorema de Pitágoras permite calcular distância entre pontos. • da trigonometria possibilita obter o ângulo entre duas retas. • da regra de Cramer permite obter o ponto de interseção entre duas retas. = ( , ) = ( , )
23. Surfista impaciente, vou chamar o Spyder para colocar computação gráfica na jogada. Mestre, esqueceu meu pedido?! ...
24. Após a abertura a Spyder apresenta uma sugestão. Vamos segui-la!
25. Digitando ‘scientific’ recebemos as informações:
26. Ihh Mestra! Agora tenho três perguntas: • Afinal, o que é Matplotlib? • E Pyplot? • E Pylab? Minha filha, você deve perguntar ao Manoel, não a mim e nem ao Mestre!
27. Isto mesmo Manual, ajude-nos! Vai Manoel, socorra a Loirinha!
28. Eis a matplotlib, do início ao fim... Vamos à sua próxima pergunta, oh Blonde!
29. Esta é a descrição, da Pyplot, Loirinha!
30. Agora veja a pylab A PyLab é tipo MatLab
31. Os detalhes!
32. Tenho muita coisa a mostrar. É só rolar a janela da “Consola” para baixo! Manoel, quero programar!
33. Sim Surfista, vamos começar pela função mais utilizada, a plot( ).
34. Apenas, e tão somente, com o início do help da função plot( ) já dá para você começar, Surfista.
35. Lista das coordenadas x Lista das coordenadas y Manoel, plotei um segmento com extremidades nos pontos A = (2.0, 1.4) e B = (3.4, 2.8).
36. Fácil, fácil! Vou plotar 2 segmentos colados um no outro. O comando show( ) é para mostrar a figura.
37. Agora veja, Surfista, se eu utilizar ‘bo’, só aparecem os 3 pontos.
38. Apressadinho, olhe com atenção! O ponto (2.0, 3.2) está no canto superior esquerdo. Só estou vendo dois pontos Loirinha, você errou!!!
39. Jovens não briguem! Basta clicar e arrastar!
40. 1. Cliquem na “cruz” e desloquem o mouse para a área gráfica (a branca); 2. O ponteiro do mouse mudará de “pato” para “ganso”; 3. Clicando como botão da esquerda do mouse, vocês arrastam o gráfico; 4. Clicando como botão da direita do mouse, vocês “dão zoom” no gráfico. Repetindo:
41. Construí o triângulo abaixo, com dois comandos plot( ) e mais alguns comandos de “embelezamento”. Vejam o código:
43. O CPF resolve o problema de identificação dos José da Silva na hora do crediário. “Não sou esse de nome sujo”
44. Loirinha, passarei agora a mostrar como a MatPlotLib traça gráficos de funções.
45. Sim Mestre, como faremos para traçar gráficos de funções com a MatPlotLib? Até que enfim a prática!
46. Ora, simplesmente ligamos os pontos 0 , 0 , 1 , 1 , ⋯ , ( , ), com segmentos de reta, sendo = ( ). O nome técnico da matemática para isto é interpolação linear por partes! Interpolação é um tópico importante de nosso curso.
47. Depois usamos a difusão para calcular os valores = ( ), e passamos esse par de vetores para a função plot( ). Vejam na próxima transparência. Operacionalmente, escolhemos o domínio [, ] para construir o gráfico da função f e usamos a vetorização com a linspace( ) para gerar as coordenadas .
48. Vejam, com o código acima geramos uma tabela e um gráfico da função ↦ = 2.
49. Mestre, não gostei! Ficou muito ruim - uma parábola cheia de quinas. Grande Surfista! Vou fazer com mais pontos e marcá-los. Ah, Coleguinha, é só colocar mais pontos no vetor X!
50. Mestre, o aspecto da parábola melhorou, mas faltam os eixos x e y, o título do gráfico, etc. Retirei a tabela, e usei 21 pontos, marcados em azul. São 20 sub- intervalos de mesmo tamanho Δ = ( 2.0 − (−2.0))/20 = 0.2.
51. Pois é Loirinha, temos diversas opções para marcadores e estilos de linhas.
52. Temos também a possibilidade de escolher diversas cores.
53. Aí está Loirinha, conforme você pediu. Acompanhe no código as minhas explicações.
54. É o Escher em ação, Mestra! Observe que com muitos pontos (51), percebemos uma curva suave.
55. Como colocar uma legenda:
56. Como colocar um título.
57. Como acrescentar os eixos x e y.
58. Como nomear os eixos.
59. Como acrescentar uma grade.
60. Como dimensionar a área de desenho.
61. Mais informações de como colocar o eixo-x:
62. Detalhes sobre a colocação da legenda:
63. Mais informações sobre a legenda. Surfista e Loirinha, procurem vocês o resto das informações!
64. Loirinhas e Surfistas: Este é um bom tutorial para obter mais dicas sobre MatPlotLib.
65. Vamos fazer um pouco de Cálculo Numérico: construir a regra trapezoidal para aproximar a integral definida.
66. Lembrem-se, a área de um trapézio é dada por: = (+)∗ℎ 2 . h
67. a b f(a) f(b) Para uma função linear (cujo gráfico é uma reta), temos ATrap = f a +f b ∗(b−a) 2 . Naturalmente, ׬ = .
68. b = xn+1 f(x0 ) f(x1 ) f(xn ) f(xn+1 ) xn a = x0 x1 x2 T0 T1 Tn-1 Tn Podemos aproximar a ׬ somando as áreas dos trapézios, como na figura abaixo: න ≅ 0 + 1 + ⋯ + −1 + Confiram, que fazendo a continha obtemos: න ≅ ℎ 2 0 + +1 + 2 ෍ =1 ( ) onde ℎ = +1 − , para = 0, 1, ⋯ , .
69. b = xn+1 f(x0 ) f(x1 ) f(xn ) f(xn+1 ) xn a = x0 x1 x2 T0 T1 Tn-1 Tn Farei um programa para calcular uma aproximação, via regra trapezoidal composta, para a integral definida de uma função usando a NumPy. Quero sua ajuda Manuel!
70. A ajuda da NumPy sobre uma função para somar os elementos de um vetor, a função sum( ).
71. Os detalhes da função sum( ).
72. O retorno da função sum( ).
73. Vou mostrar primeiro os resultados do programa. Tanto os numéricos como o gráfico.
74. Primeiramente, vou analisar, passo-a-passo, o código dos cálculos numéricos. Ótimo Mestre, assim ficará mais fácil de acompanhar e entender.
75. Entrando com: 1. o intervalo de integração 2. o número de subintervalos para a regra trapezoidal. 1 2
76. 3. Definindo a função () a integrar. 4. Criando a partição do intervalo , e pegando o passo h. 3 4
77. 5. Calculando os valores = ( ) para ∈ , por difusão. 6. Calculando a aproximação Trap para a integral ׬ ≅ ℎ 2 0 + +1 + 2 σ =1 . 5 6
78. Dados de entrada (input): 1. O intervalo [, ] de integração. 2. O tamanho N+1 da partição [, ]. 3. A função () a integrar. Cálculos efetuados: 4. Geração da partição [, ] (usando a função linspace( ) da NumPy geramos uma partição uniforme, obtendo o vetor X e o passo h). 5. Cálculo dos valores = , ∈ (usando vetorização/difusão, obtendo o vetor Y1). 6. Cálculo da soma ℎ 2 0 + +1 + 2 σ =1 (usando a função sum( ) da NumPy) das áreas dos trapézios. Resultados exibidos: 7. A aproximação Trap para a integral ׬ . 8. O valor exato da integral, dado por ln − ln(). Portanto o algoritmo construído para calcular uma aproximação Trap para a integral ׬ é:
79. Agora vou analisar, passo-a-passo, o código da parte gráfica. Tornamos a agradecer Mestre. Assim nossa vida ficará mais fácil.
80. 1. Começamos gerando um vetor Y2 como o vetor X (e o Y1) com todas as componentes nulas. 2. Depois calculamos uma folga f_h de 5% do tamanho do intervalo [a,b]. 4. usando a função sum() 1 2 f_h f_h
81. 4. usando a função sum() 3 4 f_v f_v 3. Calculamos os valores máximo - M e mínimo - m, do vetor Y1 (usando as funções amax( ) e amin( ) da NumPy). 4. Depois calculamos uma folga f_v de 5% do tamanho do intervalo [m,M].
82. 4. usando a função sum() 5 6 5. Geramos o gráfico (em vermelho) da função f (usando a função plot( ) da MatPlotLib, com o label f(t), conforme já vimos). 6. Pintamos de amarelo a região entre a curva f e o eixo-x, do início ao fim do intervalo (usando a função fill_betwen( ) da MatPlotLib). Veja mais sobre a fill_betwen a seguir.
83. 4. usando a função sum() 7 8 7. Desenhamos os segmentos verticais tracejados e em preto pelos pontos a e b, até a curva f (usando a função plot( ) da MatPlotLib, já vista). 8. Escrevemos o título, posicionamos a legenda e nomeamos os eixos (usando as funções correspondentes da MatPlotLib, já vistas).
84. 4. usando a função sum() 9 9. Posicionamos e desenhamos os eixos x e y(usando as funções correspondentes da MatPlotLib, já vistas). 10. Acrescentamos uma grade ao gráfico(usando a função grid() da MatPlotLib, já vista). 9 10
85. 4. usando a função sum() 11 11. Calculamos os extremos A, B e Ym, YM da região para desenhar o gráfico (para dar um aspecto visual agradável). 12. Desenhamos a região que contém o gráfico. 12 A Ym B YM
86. Fui buscar ajuda no “site” da MatPlotLib. Escolha a aba pyplot e depois clique no que você procura.
87. Aí estão as explicações sobre fill_betwen( ).
88. Lembrem-se, para a > 0, න 1 = ln − ln()
89. Executamos o programa para N = 100 e N = 200. Uma forma de conferir a precisão obtida, sem conhecer a expressão algébrica da integral.
90. Mestra, vejo uma função trapz( ) no help!
91. A ajuda da NumPy sobre a função trapz( ):
92. Aproveitei o programa da Mestra para mostrar a utilização da função trap( ) da NumPy. Mudei também o integrando para = (2)
93. Agora só mudei os limites de integração.
94. Usando a fill_between( ) para delimitar a área entre duas funções f(t) e g(t)
95. Usando a fill_between( ) para delimitar a área entre a f(t) - g(t) e o eixo-x.
96. Lembrem-se o operador de integração é linear, assim a integral da soma é a soma das integrais: න − = න − න 2ª figura (em ouro) 1ª figura (em canário)
97. Tchau, até a próxima aula!
98. A matemática é platônica ou aristoteleana? Que armadilhas ela nos apresenta?
99. Ilusão induzida pelo claro/escuro . http://www2.uol.com.br/vivermente/ multimidia/galeria_de_ilusoes.html Comece olhando pelo balcão superior. Depois desça ao pátio pela corda. Em seguida, suba pela escada.
100. Pois é, são armadilhas de percepção. Esta revista mostra algumas. Escher, desenhou muitas outras. Elas envolvem o famoso “tribar” de Sir Roger Penrose.
101. O “tribar” é uma criação do pensamento para confundir a percepção Sir Roger Penrose?
102. M.C. Escher, Waterfall (1961), Litogravura Descubram os tribar! E as torres: mesma altura mas quantos andares?
103. M.C. Escher, Belvedere (1958), Litogravura Descubram os tribar. O quê o homem sentado no banco segura?
104. Mauritius Cornelius Escher, holandês. Nasceu em 17/06/1898 Morreu em 27/03/1972 Este é o artista genial que construiu as litogravuras que mostramos. Surfista, procure na internet para ver muito mais!
105. “Cogito, ergo sum” The Discourse on Method is best known as the source of the famous quotation "Je pense, donc je suis" ("I think, therefore I am"), which occurs in Part IV of the work. (The similar statement in Latin, Cogito ergo sum, is found in §7 of Principles of Philosophy.)
106. Sigmund Freud Nasceu 06/05/1856 Morreu 23/09/1939 "The great question that has never been answered, and which I have not yet been able to answer, despite my thirty years of research into the feminine soul, is 'What does a woman want?'" From Sigmund Freud: Life and Work by Ernest Jones O criador da Psicanálise. Aprendi nesse divã que “sinto, logo sou”
107. Nasceu em o8/o8/1932, na Inglaterra Sir, a consciência é mesmo o resultado de interações quânticas dentro dos neurônios?
108. Pierre Fermat é famoso também pelo “Último Teorema de Fermat”
109. Tradução para o latin de 1575, por Wilhelm Xylander. Diofanto de Alexandria foi, talvez, o primeiro matemático a usar símbolos para incógnitas, em sua Aritmética, ~250 dC. Ele é considerado um dos pais da álgebra. Tradução para o latin de 1621, por Bachet de Méziriac
110. A edição de 1670 da Aritmética, pelo filho de Fermat, com uma chamando a atenção sobre a observação do pai.
111. O Último Teorema de Fermat, foi provado por Andrew Wiles,358 anos depois que foi conjecturado.
112. Os dois artigos foram aceitos e publicados como na totalidade na edição de maio de 1995 do Annals of Mathematics. Estas publicações estabeleceram o teorema de modularidade para curvas elípticas semi-estáveis, o último passo para provar o teorema. Com base na obra de Ken Ribet, Andrew Wiles conseguiu provar o suficiente do teorema de modularidade para provar o Último Teorema de Fermat, com a ajuda de Richard Taylor. Esta realização de Wiles foi noticiado amplamente na imprensa popular, e foi popularizada em livros e programas de televisão.
113. Tchau, mesmo!