Métodos iterativos para resolução de sistemas lineares

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1. Programa e avaliação do curso Prof. Paulo R. G. Bordoni LNCC UFRJ Métodos iterativos para resolução de sistemas lineares Prof. Paulo R. G. Bordoni
2. Já vimos métodos diretos para resolução de sistemas lineares e também métodos iterativos para resolução de equações. Passaremos aos métodos iterativos para resolução de sistemas de equações.
3. Agora vamos aplicá-los à resolução de sistemas lineares. Surfista, na aula passada estudamos espaços métricos e definimos também o conceito de ponto-fixo. Apresentamos esses conceitos de forma muito geral pensando no futuro.
4. Loirinha, lembre-se que uma bola () com centro em c e raio , é o conjunto de todos os vetores ∈ ℝ satisfazendo a desigualdade − < . c Em ℝ Sim Mestra, todo vetor ∈ () satisfaz essa desigualdade. A ponta dele está dentro da bola. c Em ℝ2 x
5. Elementar Sherlock, elementar. Para garantirmos a convergência é preciso que: Para cada bolinha centrada em c escolhida, por minúscula que seja, a sequência entra todinha dentro dela, exceto uns poucos elementos! Meu caro Watson, digo Mestra, faça uma tradução inteligível da frase matemática “ ∀ > 0, ∃ ∈ ℕ tal que ≥ ⇒ − < ” .
6. Como??? É Surfista, como é o raio da bolinha com centro em c, o trecho “∀ > 0” Pode ser traduzido como: “Para cada bolinha centrada em c escolhida”
7. c c c O pedaço: “por minúscula que seja” pretende indicar que escolheremos raios muito pequenos. Assim, a desigualdade − < significará uma aproximação com precisão de 4 casas decimais após a vírgula quando = 0.5 ∗ 10−4.
8. E o pedaço “ ∃ ∈ ℕ tal que ≥ ⇒ − < ” então fica “a sequência entra todinha dentro dela, exceto uns poucos elementos” Sim, os que ficam fora da bola são aqueles em que < .
9. 0 1 7 c Entendi Mestra, para cada um N. Na minha sequência p/ex., para: • = 0.05, o é 7 e então todos os para > 7 estarão dentro da bolinha; • = 0.0001, o N é 124 e todos todos os para > 124 estarão dentro da bolinha;
10. Pontos são abstrações matemáticas meu filho, não tem tamanho. Protesto! Há uma impossibilidade física, Mestra: Não há como inserir uma infinidade de pontos dentro de bolinhas tão pequenas! 0 1 124 r
11. Pois é, mas o governador e o prefeito do Rio entendem que nós do povo também somos abstrações. Basta ver os trens da Central e os ônibus para o Fundão.
12. O método de Gauss-Jacobi é o mais simples de todos os métodos de ponto-fixo para resolução de um sistema linear = . Como desejamos achar uma “raiz” da equação vetorial () = 0, onde = − , procuraremos por pontos-fixo de alguma função obtida através de manipulação algébrica de ().
13. Portanto se p for um ponto-fixo de F, a igualdade () = 0 será verdadeira, i. é, p será solução do sistema linear = . Em outras palavras, como = − vamos procurar pontos-fixo de = (, , ).
14. Para tudo funcionar, precisaremos garantir que a () seja uma contração. Por esse motivo escolheremos = −1 − − , onde é a diagonal da A.
15. Essa escolha funcionará sempre Mestre? Não, Loirinha, dependerá da matriz A do sistema linear.
16. Clamo por um exemplo concreto! Atenda ao Surfista, Mestre.
17. O Método de Jacobi é um método de ponto-fixo para resolução de sistemas lineares.
18. O mesmo método. Neste código usamos arrays; no anterior matrizes.
19. = Um sistema linear pode ser escrito na forma matricial. Ou pode ser escrito equação por equação.
20. Separando o termo x 1 da 1ª equação, o x 2 da 2ª (e assim por diante) e isolando x 1 na 1ª, x 2 na 2ª (e assim por diante), obtemos:.
21. = 11 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ # = − e Se D e A# são as matrizes acima, então as equações indicadas pela Mestra ficam: = −1( − #)
22. Notem que = −1( − #) é uma identidade vetorial da forma = (), i;é, do tipo ponto-fixo. O método de Gauss-Jacobi usa-a para aproximar a solução do sistema linear = .
23. +1 = −1( − #) para = 0, 1, 2, … , com 0 dado A partir dela criamos o esquema iterativo:
24. = 1,2, … , +1 ← 1 =1 ≠ . , para Na prática, trabalharemos com cada equação separadamente. Vejam a i-ésima equção:
25. Professor, faça um exemplo, numérico, por gentileza. Eu me atrapalho bastante com somatórios. 50 + 21 + 2 = −1 0 + 31 − 2 = 0 0 − 21 + 42 = 5 Ok Loirinha. Vamos resolver o sistema linear abaixo pelo método de Gauss-Jacobi.
26. 50 = −1 − 21 − 2 31 = 0 − 0 + 2 42 = 5 − 0 + 2 1 0 = 1 5 (−1 − 21 − 2 ) 1 = 1 3 (0 − 0 + 2 ) 2 = 1 4 (5 − 0 + 21 ) É tudo muito simples, começamos isolando x 0 na 1ª equação, x 1 na 2ª e x 2 na 3ª.
27. 0 +1 = 1 5 (−1 − 21 − 2 ) 1 +1 = 1 3 (0 − 0 + 2 ) 2 +1 = 1 4 (5 − 0 + 21 ) E as equações de iteração ficam:
28. 0 ← 1 5 (−1 − 21 − 2 ) 1 ← 1 3 (0 − 0 + 2 ) 2 ← 1 4 (5 − 0 + 21 ) . Computacionalmente, usamos um vetor y para guardar os novos valores do vetor x. Fazemos isso usando uma função vetorial que recebe o vetor x e devolve o vetor y.
29. Agora, vamos inserir o método de Gauss-Jacobi no contexto de ponto-fixo. Desejamos achar uma “raiz” da equação vetorial () = 0, onde = − . Então, procuraremos por pontos-fixo de alguma função obtida através de manipulação algébrica de ().
30. Entretanto, ele tem apenas interesse didático! Acabamos de mostrar que o método de Gauss-Jacobi é um método do ponto-fixo para sistemas lineares.
31. Sendo muito prático Professora mostre-nos como se programa tudo isso. É prá já, Surfista. Eu mesmo vou fazer!
32. Nos três exemplos a seguir utilizamos um programa que define as equações de iteração e chama um dos programas desse módulo. Eu e a Professora criamos o módulo sis_lin_iter para guardar os métodos iterativos que usaremos.
33. Este é o programa do módulo.
34. Este é o programa chamador. Ele importa o gauss_jabobi e define as equações de iteração.
35. Muito lento, 54 iterações para um sistema 3x3 As 4 primeiras e as 4 últimas iterações.
36. Como eu disse, Surfista, o método de Gauss-Jacobi tem apenas interesse didático. Eis o resultado final.
37. Sim Professor. Ao calcular o novo valor da variável x k utilizamos todos os novos valores das variáveis x 0 , x 1 , ..., x k-1 . O método de Gauss-Seidel é uma modificação esperta do método de Gauss-Jacobi.
38. Ele é praticamente igual ao método de Gauss-Jacobi. Só que, ao calcular o novo x 10 , por exemplo, usamos os valores de x 0 , x 1 , ... , x 9 , que acabamos de calcular!
39. Não entendi! Vocês podem explicar melhor? 50 + 21 + 2 = −1 0 + 31 − 2 = 0 0 − 21 + 42 = 5 Ok Loirinha. Vou mostrar como fica no mesmo sistema linear que usei para o Gauss-Jacobi.
40. 0 ← 1 5 (−1 − 21 − 2 ) 1 ← 1 3 (0 − 0 + 2 ) 2 ← 1 4 (5 − 0 + 21 ) Veja só como a ideia é simples:
41. Compare esta linha de código com a mesma no método de Gauss-Jacobi.
42. Compare esta iterEqs com a do método de Gauss-Jacobi.
43. Melhorou bastante. Agora são 30 iterações. Novamente, as 4 primeiras e as 4 últimas iterações.
44. Reduzimos em 44% (≅ 1-30/54) o número de iterações, apenas com a “modificação esperta”
45. Sim Professor. Vou mostrar a ideia na próxima transparência. O método de Gauss-Seidel com fator de relaxação é uma modificação do próprio método de Gauss-Seidel.
46. Para calcular o novo xi usamos uma média ponderada entre os antigos. Na expressão acima, fator de ponderação é o ω (a letra grega ômega minúscula)
47. u v ω u + (1-ω) v A ideia da ponderação. Quando = 1 temos o próprio método de Gauss-Seidel. Quando 0 < < 1 falamos em sub- relaxação e quando > 1 falamos em sobre-relaxação.
48. O fator de ponderação ω ótimo é calculado da forma abaixo.
49. O método implementado.
50. Continuação.
51. Chamando o método.
52. Novamente, as 4 primeiras e as 4 últimas iterações.
53. Reduzimos ainda mais o número de iterações.
54. Tchau, até a próxima aula!