listados abaixo. Você deve lê-los Surfista. 1. A definição de análise numérica – N. L. Trefethen 2. Armadilhas em computação – G. Forsythe 3. A arte de resolver problemas (resumo) – G. Polya
um artista renascentista italiano contemporâneo de Leonardo da Vinci, Michelangelo e Fra Bartolommeo. No afresco Escola de Atenas, pintado a pedido do Papa Júlio II, no salão de sua biblioteca particular, no Vaticano, Rafael dispôs figuras de sábios de diferentes épocas como se fossem colegas de uma mesma academia.
sua obra Timaeus e aponta o mundo das ideias como a realidade. Aristóteles porta sua Ética e indica a natureza como origem de todas as coisas. Eu sou eles!
da realidade”, posto que ela é “o mundo das ideias”. No quadro, Rafael pintou Platão com a cara de Leonardo da Vinci. Comparem com um auto retrato de da Vinci. Uma vingança, porque Platão desprezava pintores e escultores.
(570-500 a.C. aprox.) explicando sua teoria musical. No detalhe, uma tábua com alguns símbolos musicais e o número triangular 1+2+3+4, a tetractys sagrada para os pitagóricos.
que há uma explicação global que permite simbolizar a totalidade do cosmos, e essa explicação é dada pelos números. O mundo é determinado, antes de tudo, por um arranjo bem ordenado e tal ordem se baseia no fato de que as coisas são delimitadas e podem ser distinguidas umas das outras. Quando se diz que podem ser distinguidas não significa que elas não possam ser diferentes, e sim separadas umas das outras, logo, as coisas do mundo podem ser contadas. À pg. 104 do livro da Prof. T. Roque encontramos:
entre números e corporeidade, entre seres corpóreos e incorpóreos. Logo, não é lícito dizer que o conceito pitagórico de número fosse abstrato. De certo ponto de vista, dado seu caráter espacial e concreto, poderíamos afirmar que os números pitagóricos não eram os objetos matemáticos que conhecemos hoje, isto é, entes abstratos. Os números figurados dos pitagóricos eram constituídos de uma multiplicidade de pontos que não eram matemáticos e que remetiam a elementos discretos: pedrinhas organizadas segundo uma determinada configuração. Para esclarecer ainda mais, na mesma página:
lá ler o texto completo! “A matemática grega deve se orgulhar: não há descoberta é mais sutil do que essa, que consolidou a dependência do uso de proporções para grande parte da geometria”.
intervalo AB na metade. Cada metade na metade. E assim por diante! Um processo repetitivo! Mais alguns passos e os pontos vão cobrir todo o segmento AB
já imaginei logo uma resma com 500 folhas de papel A4. 21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256 29 = 512 210 = 1.024 220 = 1.048.576 230 = 1.073.741.824 240 = 1.099.511.627.776 ... Todas elas são frações da forma /2 e 2 cresce muito, mas muito, rápido. Vejam na tabela em frente:
resma de papel A4 com 500 folhas tem uns 5 cm de espessura. Então, num segmento de 5 cm teríamos 29 = 512 ≈ 500 pontos, cada um com tamanho da espessura de uma folha de papel.
trilhão) não sobrará espaço vazio, por minúsculo que seja, nesse segmento. Imagine 250, 2100 ou mais pontos. É, jovens um raciocínio concreto demais. Essa analogia conduz a um erro fulgurante!
ser uma coleção de pontos, um após o outro ... Mas se ponto não tem tamanho então estamos numa enrascada, Mestre, pois 240 × 0 = 1.099.511.627.776 × 0 = 0
apenas frações. Q Dado um quadrado Q, construir outro quadrado Q* cuja área é o dobro da área de Q. Em seguida calcular a medida do seu lado. O problema enunciado abaixo é famoso:
a vida de matemáticos, além de mitos e lendas, vêm sendo desmentidos, descontruídos ou problematizados por diversos historiadores nas últimas décadas. Basta um exemplo da matemática grega: o “horror” que os gregos supostamente teriam pelo infinito, demonstrado pelo escândalo que a descoberta dos números irracionais teria gerado no seio dos pitagóricos, levando um de seus integrantes a ser perseguido e assassinado. Um livro popular no Brasil, Introdução à história da matemática, de Howard Eves, endossa a lenda: “A descoberta da irracionalidade de 2 provocou alguma consternação nos pitagóricos ... . Tão grande foi o ‘escândalo lógico’ que por algum tempo se fizeram esforços para manter a questão em sigilo.” 1 Tal mito, apesar de desmentido, ainda é amplamente reproduzido, entre outras razões, pela escassez de bibliografia no Brasil que leve em conta os trabalhos recentes sobre história da matemática grega,2 que analisam de perto o pensamento dos pitagóricos e sua suposta relação com a matemática. À pg. 17 do livro da Prof. T. Roque encontramos:
D do quadrado menor é uma fração! Em outras palavras, acabamos de provar que não existe nenhuma fração D tal que D2 = 2. Portanto, que 2 é irracional D 1 1
escravo Mênon, escrito por Platão, sobre esse problema de construir um novo quadrado com o dobro da área de um quadrado dado. A Prof. T. Roque, o reproduz em seu livro - pgs. 140 à 147
... enunciados pesados, repetições desnecessárias e até mesmo falácias lógicas. Aparentemente a exposição de Euclides supera-se apenas nas partes em que ele tinha excelentes fontes à sua disposição.
gotas d’água d’uma torneira. Um número (gota) após o outro, sem parar... Conjuntos que podem ser colocados em correspondência bijetora com os naturais ℕ são conjuntos contáveis ou enumeráveis.
seguinte de uma f1 porque sempre posso colocar a média das duas entre elas: 3 = (1 + 2 )/2 Não vejo porquê Surfista, eles só envolvem inteiros e naturais! Explique sua ideia. f 1 f 2 f 3
para responder a pergunta. É tão bela que lembra “Jesus alegria dos homens” de J. S. Bach! Mestre, outro dia vi o nome dele num livro de meu pai: Gödel, Escher, Bach – Um entrelaçamento de Gênios Brilhantes. Meu pai gostou muito. O autor é famoso: Douglas R. Hofstadter.
racionais formam um conjunto enumerável. As características do infinito são estranhas para nós que somos finitos! Dizendo de outra forma Professora: A quantidade de números racionais e de números inteiros é a mesma!
V AC), Eudoxo e Arquimedes (250 AC) usaram infinitesimais para calcular áreas e volumes de corpos. • No século XVII: Kepler (1609-1615), Cavaliere (1635), Descartes (1637), Galileu (1638), Torricelli (1644), Wallis (1656) e Angeli (1658-68), buscaram no passado, desenvolveram e aplicaram o cálculo com infinitesimais. É de Newton a frase: Se enxerguei mais longe é porque me apoiei nos ombros de gigantes.
ideia que os reais são enumeráveis. Você acertou num ponto - os reais constituem um conjunto infinito, já que todo racional também é real. Entretanto, mesmo com microscópios eletrônicos, NÃO conseguimos ver um número real separado de outro.
só pode ser um novo infinito, maior que enumerável, já que todo racional é um real. É o que os Mestres estão afirmando Surfista. O infinito contínuo é maior que o infinito enumerável.
Veremos que essa hipótese é tão absurda que conduz a uma contradição. E, portanto, só pode estar errada. Pois é, meus jovens, provaremos a seguir que é impossível contar os números reais.
x 2 3 ↔ x 3 . . . . . . . Inteiros Reais Ok Professora. Assuma que a lista, abaixo dos meus pés, é uma enumeração de todos os números reais entre 0 e 1. Só p’rá confirmar, é uma lista completa: nenhum número real entre 0 e 1 fica fora dela!
disso, não vi alguns números famosos como o π e o 2. Surfista, estamos tratando de números entre 0 e 1. Pense em Τ 4 ou Τ 2 2. De qualquer forma, como a lista do Professor é infinita, eles vão aparecer em alguma posição – talvez nas de número 79.891 e 1.001.237.455.
X1 = 0,2 3 3 4 4 4 5 ... X2 = 0,5 3 1 0 7 4 3 ... X3 = 0,2 3 4 9 2 1 0 ... X4 = 0,1 7 3 0 3 3 1 ... X5 = 0,2 4 5 7 9 2 3 ... X6 = 0,7 3 3 1 8 3 4 ... ........................ 0 por 1 em x0 3 por 4 em x1 1 por 2 em x2 9 por 0 em x3 3 por 4 em x4 2 por 3 em x5 4 por 5 em x6 E assim por diante ... Em seguida o golpe do gênio: “Crie um número xD a partir da sequência diagonal, com as trocas:”
Em x1 : 3 por 4 xD ≠ x1 Em x2 : 1 por 2 xD ≠ x2 Em x3 : 9 por 8 xD ≠ x3 Em x4 : 3 por 4 xD ≠ x4 Em x5 : 2 por 3 xD ≠ x5 Em x6 : 4 por 5 xD ≠ x6 E assim por diante ... E depois afirmou: “Esse número xD = 0, 1 4 2 0 3 5 ... , é diferente de todos os que estão na lista”. É verdade Mestre. Mas e daí?
infinitude: a continuidade, maior que a enumerabilidade. Pois é, meus jovens, acabamos de ver a prova, feita pelo Cantor, de que é impossível contar os números reais. Ficou conhecida como argumento diagonal de Cantor.
é a parte inteira de y e 1 ⋯ ⋯ a parte fracionária de y. Qualquer número ∈ ℝ pode ser representado na forma decimal = ± ⋯ 1 0 . 1 ⋯ ⋯, com , ∈ = 0,1,2, ⋯ , 9 . Sabemos que:
/10 + ⋯ = lim →∞ =1 10− = lim →∞ =1 10− A parte fracionária não é, necessariamente, uma soma. Trata-se de uma série - o limite de uma sequência de somas parciais (*): (*) – Eventualmente existe ∈ ℕ tal que = 0 para > – então temos um racional.
0002.3740 x 10+1 00.237400 x 10+2 0.0237400 x 10+3 ... 23.74 = Look at the floating point Ponto-flutuante porque Na base 10, multiplicar por uma potência de 10 resulta em deslocar (flutuar) o separador decimal ao longo da representação decimal do número.
que, ao multiplicar o número, o coloca na forma normal (i;é, com sua parte inteira com apenas um dígito, diferente de zero). Vejam alguns exemplos: 345.123 = 3.45123 × 102, 0.000783 = 7.83 × 10−4, 1535 = 1.535 × 103.
– Euclides, • A intuição e o caminho errado, • Um problema clássico e a diagonal de um quadrado, • A prova que 2 não é uma razão entre inteiros, • Simon Stevin e a base 10 para números, • Um parênteses sobre a invasão holandesa no Brasil, • Cantor e a definição de conjunto infinito, • Conjuntos enumeráveis: ℕ e ℤ, • Os racionais, ℚ, formam um conjunto enumerável, • Dedekind, Weierstrass e Cauchy, • A prova diagonal de Cantor que os reais, ℝ, não são enumeráveis – o contínuo, • Números reais como limites de somas – séries. Eis um resumo do que vimos nestas transparências: