Explicação detalhada do método da bisseção, do processo de localização de raízes. Com apêndices sobre lógica, convergência de sequências e uma digressão sobre prospecção de petróleo raízes de equações e curvas de nível.
Elevá-lo ao quadrado, obtendo s 2 (1.42 = 1.96); 3. Conferir o resultado, s 2, com 2 (1.96 < 2); 4. Se não estiver satisfeito, repetir os passos anteriores com uma escolha melhor de s (p/ex. s = 1.5). Pegando carona na resposta da Loirinha, uma forma de calcular 2 é ir conferindo o resultado:
1.45 2.1025 4 1.425 2.030625 5 1.4125 1.99515625 6 1.41875 2.01285156 7 1.415625 2.0039941 ... ... ... 2 2.0 Podemos ir continuando, e só parar quando estivermos satisfeitos com o número de “casas decimais” corretas em x2. Eis a sequência dos 7 primeiros valores de x e x2 obtidos com esse processo.
sabendo que 2 está entre os dois; • Portanto tanto | 0 − 2 | < como | 1 − 2 | < onde = 1 − 0 , no caso = 0.1; • Em seguida dividimos o intervalo à metade com 2 e garantimos que 2 está numa das metades; • Portanto | 2 − 2 | < /2; • Continuando o processo, garantimos (prove!) que | +1 − 2 | < /2 Mas e a precisão na aproximação para 2 ? Então Loirinho (...), nosso procedimento foi o seguinte:
2 | < 1 210 = 1 1024 < 0.001, Portanto x 11 já aproxima 2 com erro menor que um milésimo. Sim. E qual será o valor de k para o qual garantimos uma aproximação com a precisão do Single, de 7 casas decimais corretas?
equações. É o que passaremos a estudar. No ensino médio aprendemos a resolver equações do 1º e do 2º grau. Nas quadráticas usávamos a fórmula de Bhaskara.
Loirinha, para achar 2 foi necessário resolver a equação 2 − 2 = 0. Usando o método polyroots( ) da NumPy já achamos raízes de equações polinomiais mais complicadas!
demoramos tanto tempo para aprender no 2º grau, só se aplica a equações do 2° grau, 2 + + = 0. Pois é, Surfista. Cada coisa a seu tempo, para colher é preciso plantar.
, → ℝ é uma função contínua, calculável através da expressão = (). Vamos assumir que r é uma raiz dessa equação, isto é, que = 0. Um método iterativo para achar r envolve a criação de uma sequência , , , ⋯ , , ⋯ que converge para r, isto é lim →∞ = .
a raiz r. Em outras palavras acharemos números ∗ tais que − ∗ < para ε bem pequeno. A bem da verdade épsilons minúsculos, por exemplo = 10−7, 10−10, 10−15, etc.
partir da sequência , , , ⋯ , , ⋯ quando ela converge para r. Quando ela converge, para algum k suficientemente grande, teremos − < . Então escolhemos ∗ = .
possui sinais contrários nos extremos a e b então existe pelo menos um ponto (, ) tal que = 0. Dito de outra forma, a equação = 0 possui pelo menos uma raiz em (a, b). Num ponto , () poderá ser positiva, negativa ou nula:
esquerdo pondo = , e o extremo direito pondo = . Descoberto um intervalo (, ) no qual f possui sinais contrários, podemos começar o processo iterativo.
raiz é = ; () ii iii ii. Senão, se × ( ) < 0, a raiz r está na metade da esquerda. Nesse caso colocamos = ; iii. Caso contrário, a raiz r está na metade da direita. Nesse caso colocamos = .
= . Nos outros dois casos, precisamos testar a precisão para decidir: A. Se | − | < e < , então colocamos ∗ = e encerramos; B. Senão, retornamos ao 2º passo para mais uma iteração.
função. O Professor fez um programa com o MatPlotLib que gera o gráfico de uma função num intervalo. Surfista, fiquei intrigada com a possibilidade de existirem mais raízes reais para aquela equação polinomial de grau 3. Como poderemos decidir?
através de uma série de frases, como calcular o valor de y para um valor escolhido de . Quem resume a descrição é f. É uma taquigrafia que a humanidade aprendeu a usar ao longo de sua evolução. Falar e escrever, com regras e significados, é o que distingue o “bicho homem” dos demais animais. Mestres, essa é uma chance de ouro para esclarecer aspectos fundamentais da Lógica Matemática!
as coisas lógicas da matemática. Mais tarde, nos 1.700, G. Boole formalizou o “cálculo proposicional”. Nós, filósofos gregos, lá pelos 400 a.C, aprimoramos, significativamente, a arte de pensar. Em particular Aristóteles criou a lógica: a noção de proposição lógica, com os valores verdadeiro/falso, o encadeamento delas com os silogismos, etc.
de função e de variável lógica. A ideia de sentença aberta (), numa variável é dele. Ela não é nem verdadeira nem falsa. Porém quando substituímos por algum valor, podemos então decidir seu valor lógico. Por exemplo, se () ≡ ( 2 − 2 = 0 ) então 2 é verdadeira.
sentenças, transformando-as em proposições lógicas ao instanciarmos suas variáveis. Isso permitiu tratarmos questões lógicas impossíveis de serem representadas por meio dos silogismos.
∀, , ∃, (). Ao quantificarmos uma sentença aberta numa variável x, nós a transformamos numa proposição, que pode assumir então um dentre os dois valores lógicos: verdadeiro ou falso.
2 = 0 ) então ∃, () é verdadeira, ao passo que ∀, é falsa. Sim Mestre, ∃, () é verdadeira tanto para = 2 como para = − 2. Entretanto ∀, é falsa. Por exemplo, para = 1 temos 2 − 2 = −1 logo (1) é falsa.
padrão, () = 0 é uma sentença aberta numa variável x. Aquele valor de x que a torna verdadeira, caso exista, é chamado de raiz (ou solução) da equação. Naturalmente, uma equação pode possuir mais de uma raiz. Obrigado Mestre!
simbolês é: ∀ > 0 1º Para qualquer precisão escolhida, por minúscula que seja, p/ex. = 10−12 ∃ ∈ ℕ 2º A partir de um certo instante, N > ⟹ − < 3º Todos os elementos da sequência, depois do N, distarão menos que esse valor minúsculo de r.
tenho para visualizar que → é: para cada precisão escolhida > 0, a sequência toda, exceto um pedacinho (os N primeiros) fica dentro de uma “bola de raio entorno de r”. Repetindo: A sequência todinha, exceto alguns termos, está aqui!
quebra a sequência em dois grupos, um com infinitos termos e outro finito. E enfia o grupo infinito, todinho, numa caixa minúscula, de largura 2, envolta de r.
Frege por ter criado um linguajar com esse enorme poder expressar as coisas da matemática com tanta precisão e compacidade! E ao Augustin-Louis Cauchy pela clareza das definições épsilon-delta de limite e continuidade. E pro Sherlock também. O que mais gosto, nesse novo, é seu misto de sarcasmo com sagacidade.
refletidas no início e no final do processo. Em (c) um corte horizontal, numa dada profundidade, exibindo um mapa de curvas de nível de velocidades das ondas refletidas. As azuis ...
mapa de curvas de nível de velocidades dessas ondas, como esse? Bem Surfista, assuma que = (, ) é a função que descreve a componente vertical da velocidade. Você começa escolhendo um nível = 0 , p/ex. 7.000 m abaixo do nível do mar (o plano em verde).
como um plano só para facilitar o visual. Imagine um lençol ou uma lona de circo. A interseção desse plano (verde) com a superfície = (, ) (rosa) é a curva de nível C (na figura, a reta roxa). Note que a curva C é definida implicitamente através da solução da equação , − 0 = 0.
solução da equação 4 − 0 = 0 fornece um ponto da curva de nível que queremos Surfista. Claramente, para cada valor fixado de y, p/ex., = 4 , a superfície = , define uma função apenas de : 4 = , 4 .
para várias fatias verticais, obteremos uma coleção de pontos 0 , 1 , ⋯ , , todos na curva de nível, pelo nível 0 , que procuramos! Para finalizar, construímos a curva de nível C através de um processo de interpolação “spline” (paramétrica) com esses pontos.