Désiré Guel - Méthode de réduction du PAPR à l’émission

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1. Méthode de réduction du PAPR à l’émission par «ajout de signal artificiel» dans un contexte de signaux OFDM Désiré GUEL Jacques Palicot SCEE, Supelec, Campus de Rennes, France 26 Juin 2008 Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 1/42
2. Outline 1 Systèmes OFDM et amplification non-linéaire Systèmes OFDM Définitions du Rapport de Puissances Amplification Non-linéaire 2 État de l’art de techniques de réduction du PAPR à l’émission Classification des méthodes Les méthodes dites «ajout de signal» 3 Nos contributions: Méthode Géométrique de réduction du PAPR Méthode Géométrique de réduction du PAPR Analyses et caractérisations des performances de la méthode Ajout de plusieurs signaux artificiels: Version itérative 4 Conclusion et Perspectives Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 2/42
3. Outline 1 Systèmes OFDM et amplification non-linéaire Systèmes OFDM Définitions du Rapport de Puissances Amplification Non-linéaire 2 État de l’art de techniques de réduction du PAPR à l’émission Classification des méthodes Les méthodes dites «ajout de signal» 3 Nos contributions: Méthode Géométrique de réduction du PAPR Méthode Géométrique de réduction du PAPR Analyses et caractérisations des performances de la méthode Ajout de plusieurs signaux artificiels: Version itérative 4 Conclusion et Perspectives Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 3/42
4. Systèmes OFDM RX data RECEIVER Para. IFFT to Para. to Serial HPA LNA FFT Serial Serial to Para. Para. to Serial RF TRANSMITTER TX data Serial Serial Figure: Système OFDM simplifié OFDM: Orthogonal Frequency Division Multiplexing est une modulation de signaux numériques par répartition en fréquences orthogonales. Il est utilisé entre autres pour les systèmes de transmissions mobiles à haut débit de données. il est particulièrement bien adapté aux canaux de transmission radio (canaux à trajets multiples, canaux à évanouissement plat, etc.) Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 4/42
5. Systèmes OFDM Signal OFDM: x (t) = ∞ X n=−∞ 0 @ N−1 X k=0 Xn,k gk (t − nTs) 1 A gk (t) =  ej2πfk t , t ∈ [0, Ts] 0, t / ∈ [0, Ts] fk = k Ts , k = 0, · · · , N − 1 Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 5/42
6. Systèmes OFDM Signal OFDM: x (t) = ∞ X n=−∞ 0 @ N−1 X k=0 Xn,k gk (t − nTs) 1 A gk (t) =  ej2πfk t , t ∈ [0, Ts] 0, t / ∈ [0, Ts] fk = k Ts , k = 0, · · · , N − 1 où Xn,k sont les symboles de donnée, N est le nombre de sous-porteuses et T la durée du bloc OFDM. Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 5/42
7. Systèmes OFDM Signal OFDM: x (t) = ∞ X n=−∞ 0 @ N−1 X k=0 Xn,k gk (t − nTs) 1 A gk (t) =  ej2πfk t , t ∈ [0, Ts] 0, t / ∈ [0, Ts] fk = k Ts , k = 0, · · · , N − 1 Sous porteuses Signal OFDM où Xn,k sont les symboles de donnée, N est le nombre de sous-porteuses et T la durée du bloc OFDM. Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 5/42
8. Systèmes OFDM ⇒ Quelques exemples d’application de la modulation OFDM: IEEE 802.11a and g (WLAN) systems IEEE 802.16a (WiMAX) systems ADSL (DMT = Discrete MultiTone) systems DAB (Digital Audio Broadcasting), DVB-T (Digital Video Broadcasting) etc. ⇒ Les avantages: Grande immunité aux canaux sélectifs, au canaux à évanouissement plat (réduction des interférences entre symboles ISI) Haute efficacité spectrale Facilité d’implémentation (module IFFT/FFT) Simplicité d’égalisation du Canal. ⇒ Les inconvénients: Synchronisation: Très forte sensibilité à la fréquence de Offset et au bruit de phase. Le fort facteur de crête (PAPR pour Peak-to-Average Power Ratio) des signaux OFDM. Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 6/42
9. Définitions du Rapport de Puissances: Définitions du PAPR (PMEPR) Il existe une importante variété de définitions similaires au PAPR : PAPR, PAP α PAR: Peak-to-Average Power Ratio. PMEPR: Peak-to-Mean Envelope Power. CF: Crest Factor qui est la «racine carrée du PAPR». ⇒ Pour en savoir d’avantage sur les définitions et différentes déclinaisons du PAPR, se reporter Introduction du Power Ratio (PR)(Palicot, Louët, EUSIPCO 05). Dans la suite de la présentation, on désigneront par «PAPR», le rapport de puissance définit par: Cas de signaux continus: PAPR {x (t)} = max 0≤t≤Ts |x (t)|2 E n|x (t)|2o Cas de signaux discrets: PAPR {xk } = max 0≤k≤N−1 |xk |2 E n|xk |2o Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 7/42
10. Amplification Non-linéaire: L’ amplificateur de puissance (HPA) est l’ étage clé d’un système de télécommunications. 60 à 70% de la consommation d’un terminal est attribuée à l’amplificateur de puissance RF. High Power Amplifier RF Stages Processings BaseBand 70% 15% 15% Exemple de bilan de puissance d’un terminal 2.5 G: ⇒ 70% de la consommation du système de transmission est dédiée à l’ amplificateur de puissance. ⇒ 15% de l’énergie dediée à l’etage RF ( Transposition en RF, CNA/CAN ). ⇒ et les 15% de l’énergie est attribuée aux traitements Bande de Base. Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 8/42
11. Amplification Non-linéaire: PAPR Power efficiency Input signal Signal to be amplified peak power ηmax 1 dB compression Point (maximum output) ηmin P saturation Power Gain Pin Pout 1 dB IBO* Input signal average power Efficiency η Utilisation de l’amplificateur de puissance à rendement maximale (zone de non linéaire de l’amplificateur) ⇒ distorsions sévères. Une amplification non linaire de signaux à fort PAPR impose: Un recul d’entrée (IBO) important ⇒ Une sous utilisation de l’amplificateur. Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 9/42
12. Effet d’une amplification non linéaire: Modèle d’amplificateur de Puissance non linéaire: Le Modèle de Rapp [1] dont les caractéristiques AM/AM et AM/PM sont données par: A (r) = r " 1+ „ r A0 «2p# 1 2p , Φ (r) = 0 0 5 10 15 10−4 10−3 10−2 10−1 Eb/N0 (in dB) Bit Error Rate (BER) for MAQ−16 BER, IBO=3 dB BER, IBO=6 dB BER, IBO=9 dB BER conventionnel 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 Normalised Frequency Power Spectrum Magnitude (dB) DSP, OFDM befor HPA DSP,OFDM, IBO=3 dB DSP,OFDM, IBO=6 dB DSP,OFDM, IBO=9 dB A. M. Saleh, Frequency-independent and frequencydependent nonlinear models of TWT amplifiers, IEEE Trans. Commun. vol. COM-29, No. 11, pp. 1715-1720, 1981. Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 10/42
13. Effet d’une amplification non linéaire: Signaux à fort PAPR + Amplification non linéaire ⇒ distortions sévères (Dégradation du TEB, Remontée spectrale, étalement de la constellation etc.) Solutions: 1 Prendre un recul d’entrée (IBO) important ⇒ une sous utilisation de l’amplificateur. 2 Réduire le PAPR des signaux avant amplification. Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 11/42
14. Outline 1 Systèmes OFDM et amplification non-linéaire Systèmes OFDM Définitions du Rapport de Puissances Amplification Non-linéaire 2 État de l’art de techniques de réduction du PAPR à l’émission Classification des méthodes Les méthodes dites «ajout de signal» 3 Nos contributions: Méthode Géométrique de réduction du PAPR Méthode Géométrique de réduction du PAPR Analyses et caractérisations des performances de la méthode Ajout de plusieurs signaux artificiels: Version itérative 4 Conclusion et Perspectives Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 12/42
15. Amplification Non-linéaire: Le problème : un signal à fort PR + non linéarité = perturbations Facteurs sur lesquels on peut agir : 1 Le PAPR du signal d’entrée (pour le diminuer). 2 Élément non linéaire (amplificateur); en linéarisant les caractéristiques AM/AM AM/PM de l’amplificateur. 3 Émission ou la réception. ⇒ Il existe une quantité énorme de méthodes: ⇒ chaque méthode est adaptée à un cas particulier ⇒ facteurs à prendre en compte : - Nombre de porteuses - Complexité - Réduction des distorsions - Notion de compatibilité descendante Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 13/42
16. Classification des méthodes: interior point BER degradation? Clipping Convex method Peak windowing SOCP on compatibility? Down- Data rate loss? Coding Treillis shaping Tone Reservation Selected Mapping Partial transmit sequences Pulse shaping Signal Inversible clipping Tone injection Transmitter Side Methods Input Signal Amplification function yes no yes no yes no unused carriers Active Set companding Yves Louet and Jacques Palicot, A classification of methods for efficient power amplification of signals, Annals of Telecom, to be published in 2008. Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 14/42
17. Les méthodes dites «ajout de signal» Il est aussi possible de traiter le problème de non linéarités à la réception. Types de distorsions à traiter: Distorsions non linéaires (liée à l’amplification) + Perturbations dues au canal de propagation. Le problème devient alors plus complexe à traiter par rapport aux méthodes à l’émission. Il existe beaucoup moins de méthodes associées à la réception qu’a émission. Elles peuvent être regroupées en deux catégories: ⇒ Techniques basées sur l’égalisation: - Séries de Volterra - Turbo égalisation - Réseaux de neurones - etc. ⇒ Techniques basées sur l’estimation de canal: - Séries de Volterra - Réseaux de neurones. Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 15/42
18. Outline 1 Systèmes OFDM et amplification non-linéaire Systèmes OFDM Définitions du Rapport de Puissances Amplification Non-linéaire 2 État de l’art de techniques de réduction du PAPR à l’émission Classification des méthodes Les méthodes dites «ajout de signal» 3 Nos contributions: Méthode Géométrique de réduction du PAPR Méthode Géométrique de réduction du PAPR Analyses et caractérisations des performances de la méthode Ajout de plusieurs signaux artificiels: Version itérative 4 Conclusion et Perspectives Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 16/42
19. Méthode Géométrique de réduction du PAPR: Description de la Méthode Retour IFFT ˜ y fc HPA RF PASSBAND FILTER ADDING SIGNAL GENERATOR DIGITAL FILTER C ∆f ˜ x Figure: The OFDM transmitter including the PAPR-reduction scheme. Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 17/42
20. Méthode Géométrique de réduction du PAPR: Description de la Méthode Retour IFFT ˜ y fc HPA RF PASSBAND FILTER ADDING SIGNAL GENERATOR DIGITAL FILTER C ∆f ˜ x Figure: The OFDM transmitter including the PAPR-reduction scheme. Soit ˜ x (t) le signal OFDM bande de base et x (t) le signal RF associé à ˜ x (t). ˜ x (t) = I (t) + jQ (t) x (t) = I (t) cos {2πfct} − Q (t) sin {2πfct}. (1) Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 17/42
21. Méthode Géométrique de réduction du PAPR: Description de la Méthode Retour IFFT ˜ y fc HPA RF PASSBAND FILTER ADDING SIGNAL GENERATOR DIGITAL FILTER C ∆f ˜ x Figure: The OFDM transmitter including the PAPR-reduction scheme. Soit ˜ x (t) le signal OFDM bande de base et x (t) le signal RF associé à ˜ x (t). ˜ x (t) = I (t) + jQ (t) x (t) = I (t) cos {2πfct} − Q (t) sin {2πfct}. (1) Soit ˜ y (t), le signal complexe résultant à la sortie du module de réduction du PAPR. Le signal ˜ y (t) s’écrit: ˜ y (t) = ˜ x (t) + ˜ a (t) e2jπ∆ft , (2) Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 17/42
22. Méthode Géométrique de réduction du PAPR: Description de la Méthode Le signal RF ˜ y (t) associé à ˜ y (t) s’écrit alors: y (t) = ℜ ˘˜ y (t) ej2πfc t ¯ = ℜ ˘˜ x (t) ej2πfc t + ˜ a (t) ej2πfr t ¯ , où fr = fc + ∆f Description détaillée du Générateur de signaux artificiels I ˜ x Q F(.) F(.) ℑ(.) ℜ(.) j ∆f Qa Ia C ˜ a Figure: The System of generating adding signal. Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 18/42
23. Méthode Géométrique de réduction du PAPR: Principe de la réduction du PAPR r (t) ∆ = |˜ x (t)| = q I2 (t) + Q2 (t) ≥ C. ˛ ˛ ˛ − → OX + − → OA˛ ˛ ˛ 2 = C2 (I + Ia)2 + (Q + Qa)2 = C2 . (3) Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 19/42
24. Méthode Géométrique de réduction du PAPR: Principe de la réduction du PAPR r (t) ∆ = |˜ x (t)| = q I2 (t) + Q2 (t) ≥ C. ˛ ˛ ˛ − → OX + − → OA˛ ˛ ˛ 2 = C2 (I + Ia)2 + (Q + Qa)2 = C2 . (3) (ζc ) O ϕ Mopt X M I Q Aopt α A Xc (ζ) Figure: The plan (I/Q) Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 19/42
25. Méthode Géométrique de réduction du PAPR: Principe de la réduction du PAPR r (t) ∆ = |˜ x (t)| = q I2 (t) + Q2 (t) ≥ C. ˛ ˛ ˛ − → OX + − → OA˛ ˛ ˛ 2 = C2 (I + Ia)2 + (Q + Qa)2 = C2 . (3) (ζc ) O ϕ Mopt X M I Q Aopt α A Xc (ζ) Figure: The plan (I/Q) Aopt : 8 > > < > > : Iopt = “C/r − 1” I Qopt = “C/r − 1” Q . Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 19/42
26. Méthode Géométrique de réduction du PAPR: Le signal bande de base ˜ y (t) résultant s’écrit: ˜ y (t) = ˜ x (t) + ˜ a (t) ejθ(t) , θ (t) = 2π∆ft, β = ∆fTs = ∆f/BW 20 21 22 23 24 25 25 −0.015 −0.005 0.005 0.015 Time−Domain (η−Second) Radio Frequency Signal Orig OFDM signal x(t) Adding signal a(t) Resulting signal y(t) Figure: OFDM, Adding and Resulting signals for β = 0.25 20 21 22 23 24 25 25 −5 3 11 18 18 x 10−3 Time−Domain (η−Second) Radio Frequency Signal Orig OFDM signal x(t) Adding signal a(t) Resulting signal y(t) Figure: OFDM, Adding and Resulting signals for β = 4.00 Les performances de la méthode de réduction du PAPR dépendent de C et ∆f Dans la suite, il sera question de: ⇒ Étudier, analyser l’impact de C et ∆f sur les performances de la méthode. ⇒ Étudier l’impact du filtrage numérique du signal additionnel sur les performances de la méthode. Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 20/42
27. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode: Analyse et étude de la variation de la puissance moyenne Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 21/42
28. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode: Analyse et étude de la variation de la puissance moyenne rl ∆ = ˛ ˛ ˛ ˜ x “lTs N ”˛ ˛ ˛ ∼ Loi de Rayleigh de variance 2σ2 ql ∆ = ˛ ˛ ˛ ˜ y “lTs N ”˛ ˛ ˛ = gθl (rl ) , est une variable aléatoire, gθ (x) ∆ = x.1A (x) + hx + (C − x) ejθi .1Ac (x) , (4) Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 21/42
29. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode: Analyse et étude de la variation de la puissance moyenne rl ∆ = ˛ ˛ ˛ ˜ x “lTs N ”˛ ˛ ˛ ∼ Loi de Rayleigh de variance 2σ2 ql ∆ = ˛ ˛ ˛ ˜ y “lTs N ”˛ ˛ ˛ = gθl (rl ) , est une variable aléatoire, gθ (x) ∆ = x.1A (x) + hx + (C − x) ejθi .1Ac (x) , (4) La variation de la puissance moyenne est exprimée par γ est définit: γ ∆ = Py Px = 1 N N X l=0 γl . Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 21/42
30. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode: Analyse et étude de la variation de la puissance moyenne rl ∆ = ˛ ˛ ˛ ˜ x “lTs N ”˛ ˛ ˛ ∼ Loi de Rayleigh de variance 2σ2 ql ∆ = ˛ ˛ ˛ ˜ y “lTs N ”˛ ˛ ˛ = gθl (rl ) , est une variable aléatoire, gθ (x) ∆ = x.1A (x) + hx + (C − x) ejθi .1Ac (x) , (4) La variation de la puissance moyenne est exprimée par γ est définit: γ ∆ = Py Px = 1 N N X l=0 γl . γl = 8 < : h1 − e−ρ2 i +2 (1 − cos θl ) he−ρ2 + ρ √ π 2 erfc (ρ)i . (5) Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 21/42
31. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode: Analyse et étude de la variation de la puissance moyenne rl ∆ = ˛ ˛ ˛ ˜ x “lTs N ”˛ ˛ ˛ ∼ Loi de Rayleigh de variance 2σ2 ql ∆ = ˛ ˛ ˛ ˜ y “lTs N ”˛ ˛ ˛ = gθl (rl ) , est une variable aléatoire, gθ (x) ∆ = x.1A (x) + hx + (C − x) ejθi .1Ac (x) , (4) La variation de la puissance moyenne est exprimée par γ est définit: γ ∆ = Py Px = 1 N N X l=0 γl . γl = 8 < : h1 − e−ρ2 i +2 (1 − cos θl ) he−ρ2 + ρ √ π 2 erfc (ρ)i . (5) ⇓ Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 21/42
32. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode: Analyse et étude de la variation de la puissance moyenne rl ∆ = ˛ ˛ ˛ ˜ x “lTs N ”˛ ˛ ˛ ∼ Loi de Rayleigh de variance 2σ2 ql ∆ = ˛ ˛ ˛ ˜ y “lTs N ”˛ ˛ ˛ = gθl (rl ) , est une variable aléatoire, gθ (x) ∆ = x.1A (x) + hx + (C − x) ejθi .1Ac (x) , (4) La variation de la puissance moyenne est exprimée par γ est définit: γ ∆ = Py Px = 1 N N X l=0 γl . γl = 8 < : h1 − e−ρ2 i +2 (1 − cos θl ) he−ρ2 + ρ √ π 2 erfc (ρ)i . (5) ⇓ γ ≈ 8 > > < > > : h1 − e−ρ2 i +2 “1 − sin 2πβ 2πβ ” " e−ρ2 −ρ √ π 2 erfc (ρ) # 9 > > = > > ; . (6) Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 21/42
33. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode: Analyse et étude de la variation de la puissance moyenne ρ = C √ Px , β = ∆fTs = ∆f BW γ (β = ∞) = lim β→∞ γ (β) =  1 + e−ρ2 −ρ √ πerfc (ρ) . (7) 0 5 10 15 20 −2 −1 0 1 2 3 4 0.75 0.25 0.50 0.00 1.00 1.25 2πβ (in rad) ∞ ρ γ (in dB) Figure: Le rapport de puissance γ en fonction de β. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 γ (in dB) ρ (in linear) Curve γdB = 0 dB γ(β = ∞) Figure: Le rapport de puissance γ in function of ρ pour β = ∞. Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 22/42
34. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode: Analyse et étude de la variation de la puissance moyenne −10 −5 0 5 10 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 ρ (in dB) γ (in dB) Approximation γ(ρ) Simulation γ(ρ) β = 1 β ≈ 0 β = 1/2 Figure: Comparaison de γ(ρ) théorique avec les résultats de simulation pour β ≈ 0, β = 1/2 et β = 1. −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 β (in radian) γ (in dB) Approximation γ(β) Simulation γ(β) Figure: Comparaison de γ(β) théorique avec les résultats de simulation. De façon générale, γ (6) est une bonne approximation du rapport de puissances moyennes. Néanmoins, pour β proche de zéro, la précision de l’approximation est de moins en moins bonne Explication: Pour des valeurs de β proches de zéro, l’erreur approximation de Reimann dans (6) devient de plus en plus important. Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 23/42
35. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode Performances de la méthode à Réduire le PAPR Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 24/42
36. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode Performances de la méthode à Réduire le PAPR Soit Q (t) ∆ = |˜ y(t)|2 Py . Le PAPR de ˜ y (t) est définit par: PAPR {˜ y (t)} ∆ = max 0≤t≤Ts Q (t) Ql = 1 γl  ν2 l .1χ (νl ) + ˛ ˛ ˛ νl + (ρ − νl ) ejθl ˛ ˛ ˛ 2 .1χc (νl ) ff . (8) χ = [0, ρ] and νl ∼ Loi de Rayleigh normalisée. Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 24/42
37. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode Performances de la méthode à Réduire le PAPR Soit Q (t) ∆ = |˜ y(t)|2 Py . Le PAPR de ˜ y (t) est définit par: PAPR {˜ y (t)} ∆ = max 0≤t≤Ts Q (t) Ql = 1 γl  ν2 l .1χ (νl ) + ˛ ˛ ˛ νl + (ρ − νl ) ejθl ˛ ˛ ˛ 2 .1χc (νl ) ff . (8) χ = [0, ρ] and νl ∼ Loi de Rayleigh normalisée. Pr  max 0≤l<N Ql ≤ y ff ≈ N−1 Π l=0 Pr {Ql ≤ y}. (9) Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 24/42
38. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode Performances de la méthode à Réduire le PAPR Soit Q (t) ∆ = |˜ y(t)|2 Py . Le PAPR de ˜ y (t) est définit par: PAPR {˜ y (t)} ∆ = max 0≤t≤Ts Q (t) Ql = 1 γl  ν2 l .1χ (νl ) + ˛ ˛ ˛ νl + (ρ − νl ) ejθl ˛ ˛ ˛ 2 .1χc (νl ) ff . (8) χ = [0, ρ] and νl ∼ Loi de Rayleigh normalisée. Pr  max 0≤l<N Ql ≤ y ff ≈ N−1 Π l=0 Pr {Ql ≤ y}. (9) On montre que: Pr {Ql ≤ y} ≈  Pr {νl ≤ √ γl y} .1χ ( √ γl y) + Pr ˘νl ≤ √ γl r+ (y, θl )¯ .1χc ( √ γl y) , (10) Ou r+ (y, θl ) = ρ 2 + 1 2 " ρ2 + `γl y − ρ2´ 1 − cos θl # 1 2 . Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 24/42
39. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode Performances de la méthode à Réduire le PAPR: max 0≤l<N Pr {Ql ≤ y} ≈ N−1 Y l=0 2 6 4 ˘1 − e−γl y ¯ .1χ ( √ γl y) + n1 − e−γl r2 + (y)o .1χc ( √ γl y) 3 7 5 , (11) Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 25/42
40. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode Performances de la méthode à Réduire le PAPR: max 0≤l<N Pr {Ql ≤ y} ≈ N−1 Y l=0 2 6 4 ˘1 − e−γl y ¯ .1χ ( √ γl y) + n1 − e−γl r2 + (y)o .1χc ( √ γl y) 3 7 5 , (11) Pour ρ = +∞, (11) devient: Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 25/42
41. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode Performances de la méthode à Réduire le PAPR: max 0≤l<N Pr {Ql ≤ y} ≈ N−1 Y l=0 2 6 4 ˘1 − e−γl y ¯ .1χ ( √ γl y) + n1 − e−γl r2 + (y)o .1χc ( √ γl y) 3 7 5 , (11) Pour ρ = +∞, (11) devient: max 0≤l<N Pr {Ql ≤ y} ≈ N−1 Q l=0 `1 − e−y ´ ≈ `1 − e−y ´N , (12) Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 25/42
42. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode Performances de la méthode à Réduire le PAPR: max 0≤l<N Pr {Ql ≤ y} ≈ N−1 Y l=0 2 6 4 ˘1 − e−γl y ¯ .1χ ( √ γl y) + n1 − e−γl r2 + (y)o .1χc ( √ γl y) 3 7 5 , (11) Pour ρ = +∞, (11) devient: max 0≤l<N Pr {Ql ≤ y} ≈ N−1 Q l=0 `1 − e−y ´ ≈ `1 − e−y ´N , (12) Ce qui est la CDF (Cumulative Distribution Function) d’un signal OFDM classique (avant réduction du PAPR). Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 25/42
43. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode Performances de la méthode à Réduire le PAPR: −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 β (in radian) ∆ PAPR (in dB) at 10 −2 of the CCDF ρ = 7 dB Theoretical PAPR-reduction Performance ρ = 0 dB ρ = 3 dB ρ = 5 dB Figure: Theoretical PAPR-reduction performance ∆PAPR as a function of β for ρ = 0 dB, ρ = 3 dB, ρ = 5 dB and ρ = 7 dB. 0 2 4 6 8 10 12 10−3 10−2 10−1 100 λ (in dB) Pr(PAPR>λ) Approximation F(λ) Simulation F(λ) Approximation Simulation ˜ F(λ) β = 1/4 β = 1/8 ˜ F(λ) Figure: Comparison of the proposed distributions for the PAPR related to the proposed method with the simulation results for β = 1/8 and β = 1/4. Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 26/42
44. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode Performances de la méthode à Réduire le PAPR: −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 β (in radian) ∆ PAPR (φ) at 10−2 of the CCDF Simulated ∆ PAPR (φ) Theoretical ∆ PAPR (φ) Figure: Comparison of the approximation of the ∆PAPR (φ) (PAPR reduction performance) with the simulation results. −5 0 5 10 15 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 ρ (in dB) ∆ PAPR(φ) at 10−2 of the CCDF Approximation ∆ PAPR(φ) Simulation ∆ PAPR(φ) Figure: Comparison of the approximation of the ∆PAPR (PAPR reduction performance) with the simulation results. Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 27/42
45. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode Analyse des distorsions de la Méthode: Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 28/42
46. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode Analyse des distorsions de la Méthode: La méthode de réduction du PAPR, comme toute non linéarité, génère des distorsions. Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 28/42
47. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode Analyse des distorsions de la Méthode: La méthode de réduction du PAPR, comme toute non linéarité, génère des distorsions. Conséquences de ces distorsions sur la qualité de transmission des signaux: ⇒ Dégradation du TEB (Taux d’Erreur Binaire), ⇒ Remontées spectrales, ⇒ Présence d ’ ISI (Interférence entre symboles), Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 28/42
48. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode Analyse des distorsions de la Méthode: La méthode de réduction du PAPR, comme toute non linéarité, génère des distorsions. Conséquences de ces distorsions sur la qualité de transmission des signaux: ⇒ Dégradation du TEB (Taux d’Erreur Binaire), ⇒ Remontées spectrales, ⇒ Présence d ’ ISI (Interférence entre symboles), Dans la suite, il est question d’analyse, d’évaluer ces non-linéarités Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 28/42
49. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode Analyse des distorsions de la Méthode: La méthode de réduction du PAPR, comme toute non linéarité, génère des distorsions. Conséquences de ces distorsions sur la qualité de transmission des signaux: ⇒ Dégradation du TEB (Taux d’Erreur Binaire), ⇒ Remontées spectrales, ⇒ Présence d ’ ISI (Interférence entre symboles), Dans la suite, il est question d’analyse, d’évaluer ces non-linéarités L’idée de filtrage du signal additionnel (ou artificiel) pour réduire ces non-linéarités sera expliquée Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 28/42
50. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode Analyse des distorsions de la Méthode: Rappelons que: rl ∆ = ˛ ˛ ˛ ˜ x “lTs N ”˛ ˛ ˛ ∼ Loi de Rayleigh de variance 2σ2 ql ∆ = ˛ ˛ ˛ ˜ y “lTs N ”˛ ˛ ˛ = gθl (rl ) , est une variable aléatoire gθ (x) ∆ = x.1A (x) + hx + (C − x) ejθi .1Ac (x) , (13) Mesure des distorsions générées par la non-linéarité à travers le SNDR (Signal-to-Noise-and Distortion Ratio) D’ après le théorème de Bussgang [1], la fonction non-linéaire gθl (.) peut être décomposée comme suit: gθl (x) = αθl x + d (14) où αθl = E ˘x∗gθl (x)¯ E n|x|2o (15) J. Bussgang, Crosscorrelation function of amplitude-distorted Gaussian signals. Research laboratory of electronics, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge. Technical Report 216, (1952). Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 29/42
51. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode Analyse des distorsions de la Méthode: La puissance moyenne εd des distorsions est donnée par: εd ∆ = E n|d|2o = E n˛ ˛gθl (x)˛ ˛ 2o − ˛ ˛αθl ˛ ˛ 2 E n|x|2o (16) Pour θl donné, SNDR (θl ): SNDR (θl ) ´ = ˛ ˛αθl ˛ ˛ 2 E n|x|2o N0 + εd = SNR ˛ ˛αθl ˛ ˛ 2 1 + SNR εd E{|x|2} (17) Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 30/42
52. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode Analyse des distorsions de la Méthode: La puissance moyenne εd des distorsions est donnée par: εd ∆ = E n|d|2o = E n˛ ˛gθl (x)˛ ˛ 2o − ˛ ˛αθl ˛ ˛ 2 E n|x|2o (16) Pour θl donné, SNDR (θl ): SNDR (θl ) ´ = ˛ ˛αθl ˛ ˛ 2 E n|x|2o N0 + εd = SNR ˛ ˛αθl ˛ ˛ 2 1 + SNR εd E{|x|2} (17) Le SNDR de l’ensemble des non-linéarités s’écrit: SNDR = 1 N N−1 X l=0 SNDR (θl ) (18) Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 30/42
53. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode Analyse des distorsions de la Méthode: La puissance moyenne εd des distorsions est donnée par: εd ∆ = E n|d|2o = E n˛ ˛gθl (x)˛ ˛ 2o − ˛ ˛αθl ˛ ˛ 2 E n|x|2o (16) Pour θl donné, SNDR (θl ): SNDR (θl ) ´ = ˛ ˛αθl ˛ ˛ 2 E n|x|2o N0 + εd = SNR ˛ ˛αθl ˛ ˛ 2 1 + SNR εd E{|x|2} (17) Le SNDR de l’ensemble des non-linéarités s’écrit: SNDR = 1 N N−1 X l=0 SNDR (θl ) (18) L’équation (18) appliquée à la Méthode de réduction du PAPR s’écrit: SNDR = SNR n1 − 2Γ (ρ) sin(2πβ) 2πβ + Γ2 (ρ)o 1 + SNR n1 − e−ρ2 − [1 − Γ (ρ)]2o , (19) où Γ (x) ∆ = x2e−x2 − x √ π 2 erfc (x) , x ≥ 0 . Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 30/42
54. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode Analyse des distorsions de la Méthode: −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 β (in radian) (SNDR/SNR) dB SNDR/SNR eq.(19) ρ = 3dB ρ = 2dB ρ = 1dB Figure: Theoretical SNDR of the method (19) for ρ = 1 dB, ρ = 2 dB and ρ = 3 dB. −10 −5 0 5 10 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 SNDR/SNR SNDR/SNR SNDR/SNR SNDR/SNR SNDR/SNR Eq.(19), β = 3/4 (SNDR/SNR) dB ρ (in dB) Eq.(19), β ≈ 0 Eq.(19), β = 1/8 Eq.(19), β = 1/4 Eq.(19), β = 1/2 Figure: Theoretical SNDR for the adding signal approach (19) as a function of ρ, for β = 0, β = 1/8, β = 1/4, β = 1/2 and β = 3/4. Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 31/42
55. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode Analyse des distorsions de la Méthode: 0 5 10 15 20 25 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 (SNR) dB β = 1/2 β = 1/8 Equation (19) Simulation (SNDR/SNR) dB Figure: Comparaison du SNDR (10) en fonction du SNR pour β = 1/8 et β = 1/2 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −2 −1.5 −1 −0.5 0 Theoretical ( SNDR/SNR) dB (eq.25) Simulated (SNDR/SNR) dB (SNDR/SNR)dB β (in radian) Figure: SNDR (19) en fonction de β pour SNR = 10dB et ρ = 3dB. Il y a divergence entre les résultats de simulation et l’équation théorique du SNDR lorsque β est de plus en plus proche de zéro. Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 32/42
56. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode Traitement des distorsions de la Méthode:⇒ Filtrage numérique du signal artificiel ⇒. Retour 4 6 8 10 12 14 10−4 10−3 10−2 10−1 100 λ (in dB) Pr(PAPR>λ) Original OFDM Method w/o Filter Method with Filter Figure: CCDFs of the OFDM system. BER w/o Filter BER with Filter Conventional BER Eb /N0 (in dB) 0 2 4 6 8 12 10 Bit Error Rate (BER) 10−1 10−2 10−3 10−4 Figure: BER performances with and without digital filter. Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 33/42
57. Analyses et caractérisations des Performances de la méthode **Les atouts de la méthode: 1 Réduction du PAPR ∼ 1.5 dB à CCCDF=10−2: Courbe CCDF 2 Méthode à compatibilité descendante; aucun changement n’est opéré au récepteur associé à l’émetteur. 3 Pas de Side Information (SI) envoyé; aucune information n’est envoyée de l’émetteur au récepteur liée au traitement effectué à l’émission. 4 Méthode relativement moins complexe comparée aux méthodes de réduction du PAPR dans le domaine fréquentiel (TR basée sur l’algorithme du Gradient, TR basée sur la SOCP etc.) ** Rôle du Filtrage Numérique (FN): Il annule la partie du signal additionnel générés dans la bande passante du signal utile (signal OFDM). Consequences: Il n’y a aucune dégradation de la qualité de transmission (Pas de dégradation du TEB): Courbe TEB Néanmoins, il y a une perte de performance (de ∼ 2 dB) en terme de réduction du PAPR. Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 34/42
58. Ajout de plusieurs signaux artificiels: Version itérative de la méthode Pincipe: Retour au schéma IFFT ˜ yk ˜ x k-Loop ∆fk Ck fc HPA RF PASSBAND FILTER ADDING SIGNAL GENERATOR DIGITAL FILTER Figure: The OFDM transmitter including the PAPR-reduction scheme Soit ˜ yk (t), le signal complexe résultant à la k-ème itération. Il est évident que :˜ y0 (t) = ˜ x (t). Le signal ˜ yk (t) s’écrit: ˜ yk (t) = ˜ yk−1 (t) + ˜ ak (t) e2jπ∆fk t , Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 35/42
59. Ajout de plusieurs signaux artificiels: Version itérative de la méthode Ik−1 ˜ x Qk−1 F(.) F(.) ℑ(.) ℜ(.) j ∆fk Qak Iak Ck ˜ ak Figure: Description détaillée du Générateur de signaux artificiels ˜ ak (t) = Iak (t) + jQak (t) , ˜ yk−1 (t) = Ik−1 (t) + jQk−1 (t) ,  Iak = F (Ik−1 , Ck ) Qak = F (Qk−1 , Ck ) Soit P, le nombre total d’itérations, le signal complexe ˜ yP (t) résultant du système après P-itérations est donnée par: ˜ yP (t) = ˜ x (t) + P X k=1 ˜ ak (t) e2jπ∆fk t Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 36/42
60. Ajout de plusieurs signaux artificiels: Version itérative de la méthode Effet du nombre de signaux artificiels sur la réduction du PAPR Les résultats de simulation sont obtenus avec le schéma de réduc- tion du PAPR utilisant le filtrage numérique. 3.75 Number of Artificial Signals PAPR-Reduction Performance (in dB) At Symbol Clip Probability of 10−2 1 3 5 6 1.50 2.75 3.50 Il n’y a pas de réduction conséquente du PAPR pour P > 5 par rapport à P = 5. 10 2 4 6 8 14 12 Original OFDM P=1 P=3 P=5 P=6 PPAPR REDUCTION METHOD FOR P-ARTIFICIAL SIGNALS 10−1 10−2 10−3 100 Pr(PAPR > λ) λ (in dB) Figure: CCDFs pour l’ajout de P-signaux artificiels de réduction du PAPR Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 37/42
61. Ajout de plusieurs signaux artificiels: Version itérative de la méthode Influence des signaux artificiels sur la DSP 0 REGROWTH 30 20 10 ORIGINAL OFDM P=3 P=1 P=5 Power Density Spectral (in dBc) f/fs (Normalised Frequency) SPECTRAL 0 -10 -20 -30 -40 Figure: Densité Spectrale de Puissance 0.170 Number of Artificial Signals (in dB) 1 0.030 Average Power Increase 3 5 6 0.097 0.147 64-Subcarriers OFDM System Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 38/42
62. Outline 1 Systèmes OFDM et amplification non-linéaire Systèmes OFDM Définitions du Rapport de Puissances Amplification Non-linéaire 2 État de l’art de techniques de réduction du PAPR à l’émission Classification des méthodes Les méthodes dites «ajout de signal» 3 Nos contributions: Méthode Géométrique de réduction du PAPR Méthode Géométrique de réduction du PAPR Analyses et caractérisations des performances de la méthode Ajout de plusieurs signaux artificiels: Version itérative 4 Conclusion et Perspectives Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 39/42
63. Conclusion: 1 Proposer une technique de réduction du PAPR de la classe des méthodes dites «ajout de signal» 2 Proposer des approximations des performances de la méthode (γ, ∆PAPR (φ), SNDR) ; elles sont comparées avec les résultats de simulations. 3 Proposer une version itérative de la méthode: Ajout de plusieurs signaux artificiels. ⇒ Pour augmenter les performances en terme de réduction du PAPR ⇒ Le nombre d’itérations doit être choisit de façon raisonnable. (Dans notre cas, P = 5 est une choit optimal). Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 40/42
64. Perspectives: 1 Comparer les performances de la méthode avec d’autres méthodes «ajout de signal»: Soft-clipping, Hard-clipping and Invertible clipping 2 Dans la suite de nos travaux: ⇒ Proposer une généralisation des méthodes dites «Ajout de Signal» en montrant que: Toutes les méthodes dites «Ajout de Signal» sont théoriquement équivalente. ⇒ Et expliquer au mieux, l’interaction qui existe entre réduction du PAPR et distorsions (In-band et Out-of-band noise) des signaux. Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 41/42
65. ⊲ ⊲ ⊲ Questions ? ⊲ ⊲⊲ Désiré GUEL SCEE, SUPELEC Campus de Rennes 42/42