Lógica Matemática e Computacional - Implicação e equivalência

Notas de aula sobre implicação e equivalência

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1. Lógica matemática e computacional Prof. Adriano Viana Pinto - www.adrianoviana.com.br
2. Implicação e equivalência Definições
3. Implicação • Uma proposição P(p, q, r, ...) implica logicamente ou apenas implica uma proposição Q(p, q, r, ...) se Q(p, q, r, ...) é verdadeira todas as vezes que P(p, q, r, ...) for verdadeira. • Notação: • P(p, q, r, ...) => Q(p, q, r, ...)
4. Exemplo 1: p ^ q => p v q, p ^ q => p q p q p ^ q p v q p q V V V V V V F F V F F V F V F F F F F V
5. Exemplo 2: p q => p q, p q => q p p q p q p q q p V V V V V V F F F V F V F V F F F V V V
6. Propriedades • Reflexiva (R): P(p, q, r,...) => P(p, q, r,...) • Transitiva (T): Se P(p, q, r,...) => Q(p, q, r,...) e Q(p, q, r,...) => R(p, q, r,...) então P(p, q, r,...) => R(p, q, r,...)
7. Tautologias e implicações • A proposição P(p, q, r,...) implica a proposição Q(p, q, r,...) isto é: P(p, q, r,...) => Q(p, q, r,...) Se e somente se a condicional: P(p, q, r,...) Q(p, q, r,...) é tautológica.
8. Exemplo • A condicional (p q) ^ (q r) (p r) é tautológica, logo subsiste a implicação lógica: • (p q) ^ (q r) => (p r)
9. Fique atento • Os símbolos e => são distintos, pois, o primeiro representa o operador lógico condicional e o segundo representa que a condicional é tautológica.
10. Equivalência • Uma proposição P(p, q, r, ...) é logicamente equivalente ou apenas equivalente a uma proposição Q(p, q, r, ...) se as tabelas-verdade destas duas proposições forem idênticas. • Notação: • P(p, q, r, ...) <=> Q(p, q, r, ...)
11. Exemplo 1: p p ^ q <=> p q p q p ^ q p q ^ q p q V V V V V V F F F F F V F V V F F F V V
12. Exemplo 2: p q <=> ~p v q p q ~p p q ~p v q V V F V V V F F F F F V V V V F F V V V
13. Propriedades • Reflexiva (R): P(p, q, r,...) <=> P(p, q, r,...) • Transitiva (T): Se P(p, q, r,...) <=> Q(p, q, r,...) e Q(p, q, r,...) <=> R(p, q, r,...) então P(p, q, r,...) <=> R(p, q, r,...) • Simétrica (S): Se P(p, q, r,...) <=> Q(p, q, r,...), então Q(p, q, r,...) <=> P(p, q, r,...)
14. Tautologias e equivalências • A proposição P(p, q, r,...) é equivalente a proposição Q(p, q, r,...) isto é: P(p, q, r,...) <=> Q(p, q, r,...) Se e somente se a Bicondicional: P(p, q, r,...) Q(p, q, r,...) é tautológica.
15. Exemplo • A bicondicional ~(p ^ ~q c) (p q), onde c é uma proposição lógica cujo valor lógico é a falsidade, é tautológica, logo subsiste a equivalência lógica: • ~(p ^ ~q c)<=> (p q)
16. Fique atento • Os símbolos e <=> são distintos, pois, o primeiro representa o operador lógico bicondicional e o segundo representa que a bicondicional é tautológica.