22_0910 非平滑力学へのお誘い

2022年09月10日(土)のヒューマノイド・ロボティクス2022夏の学校における発表資料．
https://sig.rsj-web.org/humanoidrobotics/sshr2022.html

Transcript

1. 1 非平滑力学へのお誘い 非平滑力学へのお誘い 広島大学 先進理工系科学研究科 菊植 亮 https://home.hiroshima-u.ac.jp/kikuuwe/ https://www.youtube.com/user/kikuuwe/ Ryo Kikuuwe
2. 3  機械システムに関する 「制御」と「計算」  上記に共通する数学的 基盤についても研究  多くのテーマが「非平滑シス テム」に関連  クーロン摩擦  片側拘束  スライディングモード  油圧システム 研究テーマ 研究テーマ
3. 4 「制御」関連のテーマ 「制御」関連のテーマ  ロボットの位置制御  テレオペーレーション  バイラテラル制御  ロボットの力制御
4. 5 「計算」関連のテーマ 「計算」関連のテーマ  高速な有限要素法  油圧ショベル  二足歩行ロボット  多体シミュレーション
5. 7 本日の内容 本日の内容  [0] はじめに  [1] 集合値関数と代数ループ  [2] 微分包含式の解とその数値計算  [3] 様々なダイナミクスの記述  [4] 制御則としての利用  [5] まとめと未解決問題  私の研究スタイルは，実装先行，理論後追い型です．  数学的理解が曖昧な所も結構あるのでご容赦ください．
6. 8 【 【0 0】 】 はじめに はじめに
7. 9 個人的な動機：自動車産業から 個人的な動機：自動車産業から  【ニーズ】 重量物の精密位置決め 作業をアシストするロボットが欲しい．  【課題】 どのように反力を与えると 位置決め効率がアップするか？  【アイデア】 ロボットで擬似的なクーロン摩擦力を発 生すればよいのでは？  【問題】 制御でクーロン摩擦力を作るのが難しい．  ⇒ 不連続性の数学的取り扱いに興味が移る． （2003年）
8. 10 クーロン摩擦の「微分包含式」表現 クーロン摩擦の「微分包含式」表現 速度 v 摩擦力 f 外力 fe  動摩擦では速度と反対向き  静止摩擦状態では外力と釣り合う ただし  上式の解析解： v = 0 かつ |fe | < F のとき， v = 0 が維持されるように左辺が選択される． （「スライディングモード」という状態）  物理的にスライドしていない状態（静止摩擦状態）が， 数学的には「スライディングモード」！
9. 11 非平滑力学とは 非平滑力学とは  状態方程式が非平滑な（＝右辺が微分できない関数で表 される）力学系を扱うための理論体系．  微分包含式を用いて表されることが多い．  自然現象や実現したいダイナミクスを数式で記述する際の 表現の幅が広がる．  離散時間領域で書かれたアルゴリズムが連続時間領域で も表現できるようになる．  数式の見通しがよくなって思考がスッキリする． 非平滑力学のうれしさ 非平滑力学のうれしさ  結局は，思考のためのツール．  工学的成果物である制御則や計算アルゴリズムにそのまま入 る訳ではない．（別にこれを使わなくても同じものができてしまう かもしれない．）
10. 12 【１】 【１】 集合値関数と代数ループ 集合値関数と代数ループ
11. 13 微分包含式と集合値関数 微分包含式と集合値関数  微分包含式は，右辺が集合になりえる微分方程式  集合値関数： 返り値が集合になりえる関数  この分野で通常扱うのは，ほとんど至るところで単値を返し， 不連続なところでギャップを埋める凸集合を返すような関数．  不連続な単値関数 f(x) と集合値関数 F(x) の関係は下記： cl: closure co: convex hull （凸包） B: closed unit ball (閉単位球)  F(x)が集合値になるところに状態変数 x がトラップされた 状況を「スライディングモード」と呼ぶ．
12. 14 補足：「ほとんど至るところで」 補足：「ほとんど至るところで」  れっきとした数学用語  英語でいうと，Almost everywhere  「測度零の部分集合を除いて」という意味．  （線上では）いくつかの点を除いて至るところで  （面上では）いくつかの線や点を除いて至るところで  （時間軸上では）いくつかの瞬間を除いて常に ・・・という意味
13. 15 集合値関数（ 集合値関数（set-valued functions set-valued functions） ）  符号関数（set-valued signum function）  法錐（normal cone）  私は下記のようなのも勝手に定義して使っています． S 1 -1  法錐は符号関数の逆関数 （ダイオード関数） S Int: 内部 S は閉集合 （一般化符号関数）
14. 16 表記についての注意 表記についての注意  「単一の値」を「集合」の特殊ケースと見なした表記：  定義域と値域を明確にする宣言の書き方：  「関数 を下記のように定義する：」  「関数 を下記のように定義する：」，など シングルトン＝単一の要素からなる集合 2S： S の冪集合（S の全ての部分集合の集合）  「シングルトン」と「単一の値」を区別した表記：  この表記は誤り！ 菊植の過去の論文は この誤った表記を使っています． （すみません）
15. 17 集合を含んだ数式表現 集合を含んだ数式表現  集合と集合，あるいは，集合と単値の和  ネストされた集合値関数 論文を書くときは，「数学的準備」のような節を設けて まとめて明記したほうがいいかもしれません．  単値関数の引数に集合を与えた場合  集合と集合の差
16. 18 多次元の符号関数 多次元の符号関数 @：劣微分（subdifferential） 　　 のベクトル場と の等高線 　　 のベクトル場と の等高線  sgn2(x)は原点で集合値  sgn1(x)は軸上で集合値  方向ベクトルを出力する関数 （平面上のクーロン摩擦力の表現など）  成分ごとに符号を取る関数 （関節空間での摩擦力の表現など）
17. 19  が集合 の表面 ⇒ 法錐は法線ベクトルの集合  が集合 の内部 ⇒ 法錐はゼロベクトル  が集合 の外部 ⇒ 法錐は空集合 多次元の法錐（本来の定義） 多次元の法錐（本来の定義）  集合の「法線」の概念の拡張  凸集合 の点 x におけるメトリック U での法錐： U は正定対称行列． U = I のとき，U は省略．
18. 20 法錐の特殊ケース 法錐の特殊ケース 閉区間S  一次元空間における閉区間の法錘  多次元の符号関数と法錐の関係
19. 21 法錐と「代数ループ」 法錐と「代数ループ」 y O 凸集合 u  「ベクトル 　 は に直交」  「点y は点 u の への射影」 ・・・単値関数！  集合値関数の内外に未知数がある代数包含式は 単値関数を用いて書き換えが可能  つまり，集合値性は適切な代数ループによって除去可能
20. 22 （単位飽和関数） 法錐と「代数ループ」（一次元版） 法錐と「代数ループ」（一次元版） [Kikuuwe et al., 2006; IEEE-TRO] [Kikuuwe & Fujimoto, 2006; ICRA]  符号関数の内外に未知数がある代数包含式は， 飽和関数を用いて書き換えが可能  つまり，適切な代数ループによって符号関数は 飽和関数に置き換えられる．
21. 23 便利な変換式 便利な変換式  dzn：不感帯（deadzone）関数 S
22. 24 多くの連立不等式が代数 多くの連立不等式が代数包含式で表せる 包含式で表せる  例１：線形相補性問題（LCP） P 代数包含式表現 不等式表現  Aが正定対称行列なら，解析解が導ける．  そうでなくても，収束計算で解ける （Projected Gauss-Seidel法）  法錘⇔射影変換から，これらの表現が（直感的に）導ける． ＝対角＋下三角＋上三角
23. 25 多くの連立不等式が代数 多くの連立不等式が代数包含式で表せる 包含式で表せる  例２：変分不等式問題 収束計算のアルゴリズム （c: 小さい正の実数） F がmonotoneかつリプシッツなら， 十分に小さいcで上記は収束． （Banachの不動点定理） [Acary & Brogliato 2008; Sec.12.6.7]参照 代数包含式表現 不等式表現  法錘を用いた表現から，収束計算のアルゴリズムが導ける．
24. 26 「集合値関数」についてのまとめ 「集合値関数」についてのまとめ  微分包含式は集合値関数を用いて表現される．  「法錘」という集合値関数が便利である．  集合値関数は，適切な代数ループ（代数拘束）に よって，単値関数に変換できる．  「法錘」は「射影」になる．  様々な不等式表現が，集合値関数（法錘など）を 用いた代数包含式に変換できる．
25. 27 【２】 【２】 微分包含式の解と 微分包含式の解と その数値計算 その数値計算
26. 28 微分包含式 微分包含式  微分包含式：右辺が集合値  左辺値はどのように「選択」される？ ただし  xが時刻 t に対して絶対連続であるという制限下で， 多くの場合，x(t) は一意に決まる．  上記の例では，x=0 のとき，x=0が維持されるように 集合内の値が選択される．（「スライディングモード」） （ リプシッツ ⊂ 絶対連続 ⊂ 一様連続 ）
27. 29 微分包含式の解：定義 微分包含式の解：定義  ほとんどすべての t で式(1)を満たす時間関数 x を式(1)の Caratheodory解と呼ぶ．  関数 f が不連続なら式(1)はCaratheodory解を持たない．  不連続性を集合値性で「埋めた」関数 F を用いた新たな式 (2)を考えると，式(2)はCaratheodory解を持ち得る．  式(2)のCaratheodory解を式(1)のFilippov解と呼ぶ．  より丁寧に と書くこともある． (1) (2) a.e. = almost everywhere in time [Cortes, 2008]
28. 30 微分包含式の解：存在性と一意性 微分包含式の解：存在性と一意性  解が存在する条件  解が一意に存在する条件 [Smirnov 2002; Theorem 4.7] [Acary & Brogliato 2008; Theorem 2.41]  「存在性」のためには， 右辺の「外半連続性」が 重要．  「一意性」のためには， 右辺のマイナスの 「最大単調性」が重要． 外半連続 ＝「そこの値 ⊃ 極限」 ＝ いきなり縮まない 最大単調 ＝単調増加&埋まってる 最大単調なら外半連続 （最近は？） outer semi-continuous とも言う． (4.19) (2.48) (2.48), (4.19) [Aubin & Cellina 1984; Chapter 3]にも同様の記載．
29. 31 補足：半連続性（ 補足：半連続性（semicontinuity semicontinuity） ）  ザックリ言うと・・・  上半連続：　そこの値 そこへの極限　  下半連続：　そこの値 そこへの極限  外半連続：　そこの値　 そこへの極限  内半連続：　そこの値 そこへの極限  {上|下}半連続性（狭義）は，順序集合 において定義される．  {外|内}半連続性は，半順序集合　　　　　 における広義の{上|下} 半連続性． [Hiriart-Urruty & Lemaréchal, 2001; p.13-14] [Cortes, 2008; p.49]
30. 32 微分包含式の解の性質 微分包含式の解の性質  x = 0 のとき，それの維持のために必要な値がsgn部の 集合の範囲内で（自動的に）選ばれる．  x = 0 かつ |u| < 1 のとき，x は u の影響を受けない．  これが「スライディングモード」という状態．  「無限に高速な切替が起こっている」という解釈もできなくはない．  数値計算では再現しにくい． u x 1 0 0
31. 33 数値計算⇒単純な平滑化はダメ 数値計算⇒単純な平滑化はダメ  シミュレーションや制御のためには，この解析的 性質を温存できる数値計算手法が必要． u u ドリフト！
32. 34 微分包含式の数値解法 微分包含式の数値解法  前進（陽的）オイラー法  左辺によって右辺を決定：  後退（陰的）オイラー法：  左辺と右辺の辻褄があうように xk を決定  例： （代数ループが出来ている） ：不感帯関数 「チャタリング」 が発生
33. 35 微分包含式の数値解法（一般的な場合） 微分包含式の数値解法（一般的な場合）  集合値関数　　　　　　 が最大単調であれば， は全域単値関数となる．  微分包含式の解の一意性の十分条件とほぼ一致．  代数ループを作っていることに等しいので，法錘・射影（符 号・飽和）の関係式で変形できることが多い．  微分包含式は，多くの場合，後退オイラー法などの 陰的積分法で数値的に時間積分できる．  その際，代数包含式の解析解または数値解が必要． （連続時間表現） 後退オイラー法による 離散時間表現
34. 36 「微分包含式の解」についてのまとめ 「微分包含式の解」についてのまとめ  微分包含式の解の定義，存在性，一意性  右辺の外半連続性と単調性が重要． u x 1 0 0  陰的積分法（後退オイラー法）によって数値積分 できる．  陽的積分法（前進オイラー法）だとチャタリングが発生  後退オイラー法が「代数ループ」を作ることに相当する．  代数包含式の解析解または数値解が必要． t t  微分包含式の解の性質  スライディングモードにおいて は，外乱などの影響を受け 無くなる．
35. 37 【 【3 3】 】 様々なダイナミクスの記述 様々なダイナミクスの記述
36. 38 摩擦 摩擦 片側拘束 片側拘束 速度 v 摩擦力 f 外力 fe 位置 p 接触力 f 外力 fe あるいは あるいは  法錐を用いて表現できる ⇒ 後退オイラー法で射影（飽和）に変換できる．
37. 39 摩擦あり片側拘束 摩擦あり片側拘束  集合値関数を用いて表せる． x z y 0  後退オイラー法で数値積分可能  Mがスカラーの場合は上記のように解析解が得られる．  しかし，Mが行列のときには上式の変形ができない．  たとえば，多リンク系の先端が平面と摩擦接触する場合など 接触力 f 手計算！
38. 40 摩擦あり片側拘束： 摩擦あり片側拘束： LCP LCPでの表現 での表現  符号関数は，相補性問題風に表現できる．  摩擦円錐を角錐で近似すると上記の考え方を適用できる．  離散化した運動方程式と上記を連立すると，LCPになって解ける．  （慣性が行列であっても大丈夫．） [Stewart & Trinkle;1996] x z y 0
39. 41 摩擦あり片側拘束： 法錘を用いた 摩擦あり片側拘束： 法錘を用いた表現 表現  特異なメトリック行列を導入することで，摩擦接触を法錘を 用いて表現できるようになる．  円錐を多角錘に近似する必要がない． 動摩擦 　 静止摩擦 　 非接触 F v ¸ p F F v p ¸ ¸ v p ただし [Kikuuwe & Brogliato, 2017] 逆関数 ¸ x z F y 0
40. 42 さまざまな拘束がある剛体系の一般 さまざまな拘束がある剛体系の一般表現 表現 [Kikuuwe & Brogliato, 2017]  両側拘束：  片側拘束：  クーロン摩擦：  摩擦接触：  複数の摩擦接触： F：許容される拘束力の集合  法錘を用いて，有界な拘束力が働く機械システ ムを統一的に表現できる．
41. 43 法錘表現からのアルゴリズム導出 法錘表現からのアルゴリズム導出  　　　　が正定対称でないので，射影に変換できない．  しかし，U" が対角になるように座標系を設定し， を対角・上三 角・下三角行列に分解すると，収束計算のアルゴリズムが得られる．  これがおそらく，AIST中岡さんの「拡張Projectedガウスサイデル 法」（Choreonoid搭載？）の正体だと思います． [Nakaoka et al., IROS2007], [中岡ら, RSJ2007] 後退オイラー法で離散化
42. 44 歯車減速機の運動方程式 歯車減速機の運動方程式  ボールねじ  ウォームギア  平歯車 すべて，この形に帰着 詳細は[Kikuuwe 2022, techRxiv]
43. 45 油圧アクチュエータ・ 油圧アクチュエータ・油圧回路 油圧回路  定常状態（流量・速度が一定）のときの発生力f，速度v， バルブ開度指令uの関係は，集合値関数で表せる．  関数¡は，特に速度vが零の ときに，集合値となる．  各部の流量と圧力差の関係 が集合値関数で表せる． main control valves [Kikuuwe et al., 2021, DSMC] [Kikuuwe et al.,2022, TAC]
44. 46 衝突と撃力について 衝突と撃力について  Measure Differential Inclusions （MDI; 測度微分包含式）という ものを使って表現するらしいです．（すみません．よく知りません．）  衝突では速度が不連続に変わるので， 絶対連続な解を持つ普通の微分包含 式では厳密には表せない． 位置 p 接触力 （撃力） 外力 fe 衝突時の撃力が不定． そのまま後退オイラー法で離散化すると， 完全非弾性衝突になる． 衝突係数 e を明示 して撃力を確定する 測度微分包含式 上記と（ほぼ？）等価 　　　　　　　　　　 を明示的に禁じる表現 衝突後の速度が不定 ： 接錐（tangent cone） ， [Acary & Brogliato, 2008] [Brogliato, 2016] S
45. 47 理想的なスライディングモード制御系 理想的なスライディングモード制御系  現実には存在し得ないが，後退オイラー法でシミュレーショ ンが可能．  系がスライディングモードにあるとき，質点は滑り面で指定したダイナミ クスに従う（この例では，指数関数的に原点に収束）．  このとき，アクチュエータ力が（あらかじめ決められた制限内で）外力 を「完全に」相殺． fe : （振動的な）外力 f: アクチュエータ力 p p t t v 滑り面 F ¡F
46. 48 非平滑システムの安定性解析 非平滑システムの安定性解析  非平滑なリアプノフ関数が必要な場合がある．  その他，便利な定理  下記のようなシステムで，システムP が受動的であれば， 閉ループ系は漸近安定． P  P が運よく受動的であるとは限らない．  [Kikuuwe 2019; TRO] のアドミッタンス制御 器の証明は，たまたまうまく書けた．  システム：  非平滑リアプノフ関数：  その時間微分は普通に考えると ⇒ [Bacciotti & Ceragioli, 1999] [Kikuuwe et al. 2015; TCST] 両方とも集合  漸近安定性を示すためには，これを 使うと，スライディングモードの内外 の挙動を統一的に解析できて便利． [Kikuuwe 2019; TRO]
47. 49 「ダイナミクスの記述」についてのまとめ 「ダイナミクスの記述」についてのまとめ  様々な動的システムを微分包含式を用いて記述 できる．  剛体接触，摩擦接触，油圧システム，スライディング モード系  後退オイラー法で時間積分（シミュレーション）が できる．  現実に存在しない「理想的なスライディングモード系」 のシミュレーションもできる．  ダイナミクスを法錘で記述すると，時間積分（シ ミュレーション）のためのアルゴリズムに変換する 際の見通しが立てやすくなる．  アルゴリズムは射影を用いて構築できることが多い．
48. 50 【 【4 4】 】 制御則としての利用 制御則としての利用
49. 51 制御則の中での利用 制御則の中での利用  微分包含式を用いて表現される制御則 ⇒ 制御則の中でフィードバックが閉じている場合 （＝代数ループになっている場合）は，そのまま陰 的積分法で実装可能．  例1：リミッタ付き積分器  例2：アドミッタンス制御（仮想摩擦，速度制限，トルク制限）  例3：スライディングモード・オブザーバ
50. 52 例：リミッタ付き積分器 例：リミッタ付き積分器  例えばPID制御の積分器において，誤差の積分値に上下 限をつけたいことがある．  離散時間だと簡単に実現できる．  連続時間表現は法錘を用いて書ける． （ykはuk の制限付き積分値） R (1) (2)  単純に，(2)を後退オイラー法で離散化すると(1)になる． Matlabの “Integrator Limited” ブロック
51. 53 例：アドミッタンス制御 例：アドミッタンス制御  非平滑代数ループと後退オイラー法で，仮想クーロン摩擦， 速度制限，トルク制限などを表現  後退オイラー法で実装 外 界 現在 位置 接触力 指令 速度 位置 制御器 トルク 指令 仮想物体 （慣性・粘性） 外力 ＋ ＋ ＋ － R 指令 位置 仮想クーロン摩擦 速度制限 トルク制限 [Kikuuwe 2019; TRO] （位置制御ベースの力制御）
52. 54 PSMF 例：スライディングモード・オブザーバ 例：スライディングモード・オブザーバ 制御 器 フィルタ済み 信号 y センサ 信号 u  例えば「放物線型スライディングモード・フィルタ（PSMF）」 [Jin et al., 2012; AR] [Kikuuwe et al., 2015; TCST] 制御 対象  同等のノイズ除去性能を持つ線形フィルタと比べて，位相進みが 小さいという利点がある．（なぜそうなるかは未解明）  力制御における力センサ信号のフィルタリングに便利． この中で陰的積分 where
53. 55 制御則の中で代数ループが閉じない場合 制御則の中で代数ループが閉じない場合  つまり，集合値関数を含むループが実 世界に露出している場合  このまま実装するとチャタリングが発生． 制御対象  集合値性を陽に意識した手法は下記の２つ：  滑らかな関数で近似するのが，古典的 なアプローチ  いわゆる，「境界層」アプローチ  「陰的実装法」（Brogliatoら）  制御対象のノミナルモデルで代数ループを作る  「微分代数緩和」（Kikuuweら）  PID制御器で代数ループを作る
54. 56 陰的実装法 陰的実装法  ノミナルモデルで代数ループを作る  「ノミナルモデルで１ステップ未来を予測 する式」と「非平滑制御則」で代数ルー プを作り，陰的積分法で実装．  「二重陰的実装」  非平滑な制御則を非平滑な制御対象（油 圧アクチュエータ）に，ノミナルモデルを介し て後退オイラー法で実装．  ⇒ 油圧ショベルの旋回軸に実装 制御対象 モデル モデルの状態変数を，毎ステップ， センサ測定値でリセット [Acary, Brogliato, & Orlov, 2012] [Huber, Acary, Brogliato, & Plestan, 2016] [Brogliato & Polyakov, 2021; IJRNC] [Yamamoto et al.; 2021; IEEE Access] [Kikuuwe, Brogliato & Yamamoto, 2022; TAC]
55. 57 微分代数緩和 微分代数緩和  高ゲインのPID制御則（など）で 代数ループを作る．  質量零の仮想物体を介して非平滑 な制御を施している状況，と解釈で きることもある．  クーロン摩擦力の力覚 提示 PID制御則の 伝達関数の逆数 [Kikuuwe et al., 2005, IROS] [Kikuuwe et al., 2006; IEEE-TRO] [Kikuuwe et al., 2006, ICRA] [Kikuuwe et al., 2010; IEEE-TRO] PID制御則 制御対象 制御対象 仮想摩擦力 f  「プロクシベースト・スラ イディングモード制御」 （PSMC）
56. 58 ちなみに，下記の ちなみに，下記の2 2つは等価 つは等価  非平滑代数ループで（ローパスフィルタ付きの）トルク制限 をかけたPID制御器 position ＋ ＋ ＋ － position ＋ ＋  微分代数緩和を施したスライディングモード制御器 （PSMC） ¿ p pd ＋ ¿ p pd ＋ － ＋ [Kikuuwe et al. 2010; TRO]
57. 59 「制御則としての利用」についてのまとめ 「制御則としての利用」についてのまとめ  代数ループが制御則の中で閉じて いるか否かに注意　  閉じている場合： 後退オイラー法 で法錘・射影（or符号・飽和）変換 して実装．　  閉じていない場合： 「陰的実装 法」または「微分代数緩和」で制御 則自体を改変して実装．  陰的実装法：ノミナルモデルを使う．  微分代数緩和：PID制御を使う． 制御対象 制御対象
58. 60 【 【5 5】 】 まとめと未解決問題 まとめと未解決問題
59. 61 まとめ まとめ  [1] 集合値関数と代数ループ  「法錘」と，代数ループによる「射影」への変換  [2] 微分包含式の解とその数値計算  後退オイラー法（陰的積分法）で積分が可能  [3] 様々なダイナミクスの記述  剛体間の摩擦接触，油圧システム，スライディングモード  [4] 制御則としての利用  制御則の中で代数ループが閉じていれば，陰的積分法が使える．  陰的実装法：ノミナルモデルを使う  微分代数緩和：PID制御と連立させる
60. 62 未解決問題（現在私が悩んでいる問題） 未解決問題（現在私が悩んでいる問題）  中岡さんの「拡張Projectedガウスサイデル」と法錘表現と の関係．  状態量の微分をスライディング面の定義に含むスライディ ングモード制御のような制御則  微分代数緩和だと実装できてしまう（しかも，結構便利）．  これは，制御理論的に，一体何なの？  「スライディングモード」の概念の拡張が必要か？  「スライディングモード微分器」や「スライディングモードフィ ルタ」のノイズ除去特性をどうやって定式化するか？