não-negatividade 2. , = 0 ↔ = 3. , = , – simetria 4. , ≤ , + , − desigualdade triangular Um espaço métrico é uma entidade matemática constituída por um conjunto M e uma função : × → ℝ, chamada métrica do espaço, (para medir distâncias) que satisfaz as propriedades:
figura que − < < + (), i. é, − − + < < − + . Portanto − − < − < ( − ) ou, − () < ( − ), já que = (). Claro que o mesmo vale para ∈ 0,1 , < . E em p temos a igualdade, assim − () ≤ − , ∀ ∈ [0,1].
0,1 . Mestre escolheu = 0.9 no seu exemplo para ficar visualmente evidente no gráfico. Bastava eu ter escolhido > () = 0.7177 … Por exemplo = 0.72, que já teria sido suficiente.
do ponto-fixo de Banach. A condição para convergência é que f seja uma contração local entorno de p, i. é: para algum ∈ [0,1), − () ≤ − , para todo nas proximidades do ponto-fixo p. Mestres, há alguma luz no fim do túnel?
3. f é derivável em (a, b) 4. ∃ ∈ 0, 1 tal que ′() ≤ , ∀ ∈ (, ) então, definindo uma sequência 0 , 1 , … , , … por +1 = ( ), com 0 ∈ [, ] poderemos afirmar que: a. lim →∞ = e p é o único ponto fixo de f em [, ] b. − ≤ 0 − , − 0 c. − ≤ Τ [ (1 − )] 1 − 0 , ∀ > 1. Às páginas 58,59 do Análise Numérica de Burden & Faires, 8ª ed. encontramos uma demonstração do Teorema:
de uma função () se, e somente se, p é raiz de () = − ()” Confira a afirmação da Mestra, Surfista. Confira também que: “r é raiz de uma função se, e somente se, r é ponto-fixo de () = − ()”.
função = () usando o método oferecido pela SciPy. Automaticamente teremos a raiz da equação − = 0. Portanto, poderemos usar o método do ponto-fixo para achar raízes de equações.