Steredenn Daumont - Techniques de d´emodulation aveugle en interception de signaux MIMO

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1. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Techniques de d´ emodulation aveugle en interception de signaux MIMO Steredenn DAUMONT ´ Equipe Signal, Communication et ´ Electronique Embarqu´ ee, Sup´ elec–IETR ´ Ecole doctorale Matisse, Universit´ e de Rennes I Directeurs de th` ese : Jacques Palicot et Daniel Le Guennec 19 novembre 2009 1 / 66
2. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Contexte des ´ etudes Th` ese CIFRE avec la soci´ et´ e IPSIS et Sup´ elec/SCEE Concevoir un r´ ecepteur aveugle pour l’´ ecoute de signaux issus de syst` emes MIMO (Multiple Input Multiple Output) pour la DGA (D´ el´ egation G´ en´ erale de l’Armement) dans le cadre d’un march´ e pass´ e entre la soci´ et´ e IPSIS et la DGA R´ ecepteur aveugle : Pas de symboles pilotes Canal de transmission non connu du r´ ecepteur Aucune connaissance des param` etres de transmission (modulation, code MIMO, Nt ) Projet divis´ e en trois parties : Pr´ e-identification d’un signal MIMO avec une antenne r´ eceptrice, Soci´ et´ e IPSIS Interception du signal, estimation des param` etres de transmission, Universit´ e Bretagne Occidentale Estimation des symboles transmis, Sup´ elec 2 / 66
3. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Objectifs et m´ ethodes utilis´ ees 2 techniques possibles : La s´ eparation aveugle de sources (BSS): Estime directement les symboles transmis Inconv´ enients : ambigu¨ ıt´ es introduites par la BSS (phase, ordre), algorithmes parfois lents ` a converger (gradient stochastique) Objectifs : lever certaines ambigu¨ ıt´ es en utilisant la redondance introduite par les codes MIMO, utiliser la s´ eparation aveugle sur des canaux variants rapidement dans le temps instantan´ es L’estimation de canal Utilisation du filtre de Kalman pour poursuivre les canaux variables instantan´ es ou convolutifs Inconv´ enient : utilis´ e dans des syst` emes coop´ eratifs (initialisation par des s´ equences d’apprentissage) Objectif : initialisation du filtre de Kalman de mani` ere aveugle 3 / 66
4. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Plan 1 La s´ eparation aveugle de sources en MIMO Les syst` emes MIMO Principe et ind´ eterminations de la BSS Hypoth` eses et pr´ e et post traitements Les crit` eres Algorithmes de minimisation des crit` eres 2 Exploitation de la redondance des codes spatio-temporel MIMO Principe Crit` ere propos´ e pour le code d’Alamouti, minima et r´ esultats Crit` ere propos´ e pour le code de Tarokh, minima et r´ esultats Crit` ere propos´ e pour le code d’Or, minima et r´ esultats Conclusion et perspectives 3 Deux algorithmes analytiques Principe Fonction de coˆ ut Recherche du sous-espace contenant la solution Recherche du sous-espace contenant la solution L’AMMA adaptatif R´ esultats Conclusion et perspectives 4 Poursuite des canaux MIMO en aveugle Principe Le cas instantan´ e R´ esultats Le cas convolutif R´ esultats 4 / 66
5. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Plan 1 La s´ eparation aveugle de sources en MIMO Les syst` emes MIMO Principe et ind´ eterminations de la BSS Hypoth` eses et pr´ e et post traitements Les crit` eres Algorithmes de minimisation des crit` eres 2 Exploitation de la redondance des codes spatio-temporel MIMO Principe Crit` ere propos´ e pour le code d’Alamouti, minima et r´ esultats Crit` ere propos´ e pour le code de Tarokh, minima et r´ esultats Crit` ere propos´ e pour le code d’Or, minima et r´ esultats Conclusion et perspectives 3 Deux algorithmes analytiques Principe Fonction de coˆ ut Recherche du sous-espace contenant la solution Recherche du sous-espace contenant la solution L’AMMA adaptatif R´ esultats Conclusion et perspectives 4 Poursuite des canaux MIMO en aveugle Principe Le cas instantan´ e R´ esultats Le cas convolutif R´ esultats 5 / 66
6. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Les transmissions MIMO Nt antennes ´ emettrices Nr antennes r´ eceptrices Canal de transmission repr´ esent´ e par la matrice H de dimension Nr × Nt Le cas instantan´ e : y(k) = H(k)x(k) + b(k) Le cas convolutif : y(k) = H(k) ∗ x(k) + b(k) 6 / 66
7. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Les codes MIMO Techniques ` a multiplexage spatial1 2 : augmentent la capacit´ e du syst` eme par rapport ` a un syst` eme SISO V-BLAST : architecture Verticale H-BLAST : architecture Horizontale D-BLAST : architecture Diagonale Les codes espace-temps : introduisent de la redondance pour augmenter la fiabilit´ e de la transmission Le code d’Alamouti3 Les codes de Tarokh4 Le code d’or5 1 G. J. Foschini, Layered Space-Time Architecture for Wireless Communication in a Fading Environment When Using Multiple Antennas, Bell Labs Technical Journal, 1996 2 P.W. Wolniansky and G.J. Foschini and G.D. Golden and R.A. Valenzuela, V-BLAST : An architecture for realizing very high data rates over rich-scattering wireless channel, International Symposium on Signals, Systems, and Electronics, 1998 3 S. M. Alamouti, A simple transmit diversity technique for wireless communication, IEEE Journal on Selected Areas in Communications, 1998 4 V. Tarokh and H. Jafarkhani and A.R. Calderbank, Space-time block codes from orthogonal designs, IEEE Transactions on Information Theory, 1999 5 J.C. Belfiore and G. Rekaya and E. Viterbo, The Golden code: A 2 x 2 full-rate space-time code with nonvanishing determinants, IEEE transactions on information theory, 2005 7 / 66
8. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Principe et ind´ eterminations de la BSS Principe de s´ eparation z(k) = WH (k)y(k) = WH (k)(H(k)x(k) + b(k)) = GH (k)x(k) + b (k) Avec G = HH W → INt et b (k) = WH b(k) Ind´ eterminations z(k) = ΦPx(k) + b (k) G = ΦP Φ une matrice diagonale de dimension Nt × Nt repr´ esentant l’ind´ etermination sur la phase et l’amplitude P une matrice de dimension Nt × Nt repr´ esentant les permutations 8 / 66
9. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Hypoth` eses et pr´ e et post traitements Les sources sont mutuellement ind´ ependantes ` a un instant k donn´ e Les sources ont une puissance unitaire Au plus un seul signal source a une distribution gaussienne Le canal H est de rang complet Nt Le bruit b(k) est additif et ind´ ependant des sources Nr ≥ Nt Le blanchiment D´ ecorr´ elation ou orthogonalisation 9 / 66
10. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Le crit` ere CM (Constant Modulus) 8 < : JCMA = PNt n=1 E »˛ ˛ ˛ |zn(k)|2 − R˛ ˛ ˛ 2– sous WH W = INt avec zn(k) = Wn(k)y(k) et R = Eh|s(k)|4i E[|s(k)|2] . 10 / 66
11. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Les crit` eres MM et SCM Le crit` ere MM (MultiModulus) 8 < : JMMA = PNt m=1 „ E »“ (zm(k))2 − Rr ”2– + E »“ (zm(k))2 − Ri ”2–« sous WH W = INt avec Rr = Ri = R = Eh| (s(k))|4i E[| (s(k))|2] . Le crit` ere SCM (Simplified Constant Modulus) 8 < : JSCMA = PNt m=1 E »“ (zm(k))2 − Rr ”2– sous WH W = INt 11 / 66
12. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Algorithmes de minimisation des crit` eres Le gradient stochastique ` a pas fixe ˜ Wn(k) = ˜ Wn(k − 1) − µen(k)y(k), n ∈ {1, . . . , Nt } Le gradient stochastique ` a pas variable ˜ Wn(k) = ˜ Wn(k − 1) − µn(k)en(k)y(k), n ∈ {1, . . . , Nt } avec µn(k) = f(en(k)) Les moindre carr´ es r´ ecursifs (RLS) ˜ Wm(k) = ˜ Wm(k − 1) + Km(n)em(k) Les outils analytiques (ACMA6) : r´ e´ ecriture du crit` ere CM ˜ Wl = arg min dl (k)= ˜ Wl (k)⊗ ˜ Wl (k) dl (k) =R PNt l=1 dT l (k)C(k)dl (k) 6 A. Van Der Veen and A. Paulraj, An analytical constant modulus algorithm, IEEE Trans. on Signal Processing, 1996 12 / 66
13. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Plan 1 La s´ eparation aveugle de sources en MIMO Les syst` emes MIMO Principe et ind´ eterminations de la BSS Hypoth` eses et pr´ e et post traitements Les crit` eres Algorithmes de minimisation des crit` eres 2 Exploitation de la redondance des codes spatio-temporel MIMO Principe Crit` ere propos´ e pour le code d’Alamouti, minima et r´ esultats Crit` ere propos´ e pour le code de Tarokh, minima et r´ esultats Crit` ere propos´ e pour le code d’Or, minima et r´ esultats Conclusion et perspectives 3 Deux algorithmes analytiques Principe Fonction de coˆ ut Recherche du sous-espace contenant la solution Recherche du sous-espace contenant la solution L’AMMA adaptatif R´ esultats Conclusion et perspectives 4 Poursuite des canaux MIMO en aveugle Principe Le cas instantan´ e R´ esultats Le cas convolutif R´ esultats 13 / 66
14. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Principe Rappel z(k) = ΦPx(k) avec Φ = 0 B @ ejφ1 0 . . . 0 . . . ... . . . 0 . . . 0 ejφNt 1 C A et P une matrice mod´ elisant les permutations sur les lignes de x(k). Proposition : Se servir de la redondance introduite par les codes MIMO (Alamouti, Tarokh, code d’or) pour diminuer le nombre d’ind´ etermination inh´ erente ` a la BSS. Proposition de crit` eres d’exploitation de la redondance associ´ es au crit` ere de s´ eparation. 14 / 66
15. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Crit` ere propos´ e pour le code d’Alamouti Le code d’Alamouti H2 = „ s(2k) −s∗(2k + 1) s(2k + 1) s∗(2k) « Nt = 2 rendement r unitaire, r = Nombre de symboles utiles transmis par le code Nombre de slots qu’utilise le code code orthogonal Perte de la structure du code d’Alamouti en sortie de la BSS Lorsqu’il n’y a pas de permutation des lignes : Z(k) = „ s(2k)ejΦ1 −s∗(2k + 1)ejΦ1 s(2k + 1)ejΦ2 s∗(2k)ejΦ2 « avec Φ1 et Φ2 arbitraires. Et lorsqu’il y a permutation des lignes : Z(k) = „ s(2k + 1)ejΦ1 s∗(2k)ejΦ1 s(2k)ejΦ2 −s∗(2k + 1)ejΦ2 « 15 / 66
16. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Crit` ere propos´ e pour le code d’Alamouti Le crit` ere JAlamouti : Jalamouti = 1 Ns Ns X k=1 |z1 (2k) − z∗ 2 (2k + 1)|2 avec Ns le nombre donn´ e de symboles transmis. Lorsque la BSS n’introduit pas de permutation sur les lignes, le crit` ere vaut : min Φ1,Φ2 Jalamouti = min Φ1,Φ2 ˛ ˛ ˛ ejΦ1 − e−jΦ2 ˛ ˛ ˛ 2 σ2 s ⇒ Φ1 = −Φ2 avec σ2 s 1 Ns PNs k=1 |s(k)|2, o` u les symboles s(k) sont i.i.d. Lorsqu’une permutation des lignes est introduite par la BSS, le crit` ere devient : min Φ1,Φ2 Jalamouti = min Φ1,Φ2 ˛ ˛ ˛ ejΦ1 + e−jΦ2 ˛ ˛ ˛ 2 σ2 s ⇒ Φ1 = −Φ2 ± π 16 / 66
17. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Crit` ere de s´ eparation associ´ e au crit` ere JAlamouti Afin de retrouver les signaux sources, JAlamouti doit ˆ etre associ´ e ` a un crit` ere de s´ eparation aveugle de sources, nous avons utilis´ e le crit` ere CM.  J = JCM + JAlamouti sous GH G = INt Cette association permet d’obtenir en sortie de l’algorithme les r´ esultats suivants : Permutation Phases Structure du code en sortie de la BSS Non Φ1 = −Φ2 Z = „ s(2k)ejΦ1 −s∗(2k + 1)ejΦ1 s(2k + 1)e−jΦ1 s∗(2k)e−jΦ1 « Oui Φ1 = −Φ2 ± π Z = „ s(2k + 1)ejΦ1 s∗(2k)ejΦ1 −s(2k)e−jΦ1 s∗(2k + 1)e−jΦ1 « On retrouve alors une structure d’Alamouti Une fois les symboles sources estim´ es, la redondance est exploit´ ee par moyennage : ( z1 (k) = z1(2k)+z∗ 2 (2k+1) 2 z2 (k) = z2(2k)−z∗ 1 (2k+1) 2 17 / 66
18. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle ´ Etude des points stationnaires (JCM + JAlamouti ) Apr` es une ´ etude du syst` eme (S) des gradients nuls et du syst` eme (C) des contraintes, on obtient les propri´ et´ es : Propri´ et´ e 1 d´ emontr´ ee dans la th` ese Les points suivants sont solutions des deux syst` emes (S) et (C) et correspondent ainsi ` a des points stationnaires du crit` ere J sous la contrainte GH G = I2 :  g11 = g∗ 22 et g12 = g21 = 0 avec |g11 |2 = |g22 |2 = 1 g12 = −g∗ 21 et g11 = g22 = 0 avec |g21 |2 = |g12 |2 = 1 i.e. G = „ e−jΦ 0 0 ejΦ « ou G = „ 0 ejΨ −e−jΨ 0 « Propri´ et´ e 2 d´ emontr´ ee dans la th` ese Ces points stationnaires correspondent ` a des minima de notre crit` ere J sous la contrainte GH G = I2 car leur matrice Hessienne est semi-d´ efinie positive. 18 / 66
19. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Hypoth` eses de simulations et r´ esultats (JCM + JAlamouti ) Modulation 4-QAM Signaux transmis sur un canal de Gauss instantan´ e fixe µ = 0, 002 Un code d’Alamouti est utilis´ e en ´ emission Permutation ´ eventuelle lev´ ee manuellement 0 1000 2000 3000 4000 5000 0 5 10 15 20 SINR, N t =N r =2, µ=0.002, SNR=15dB et une modulation 4−QAM nb symboles SINR (dB) J CMA +J Alamouti J CMA 0 1000 2000 3000 4000 5000 −2 0 2 4 nb échantillons angle (rad) phase en sortie de la BSS J CMA +J Alamouti , N t =N r =2, 4−QAM, SNR=30 dB 0 1000 2000 3000 4000 5000 −3 −2 −1 0 nb échantillons angle (rad) phase en sortie de la BSS J CMA , N t =N r =2, 4−QAM, SNR=30 dB phase sortie 1 phase sortie 2 19 / 66
20. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle TEB et EQM (JCM + JAlamouti ) 0 5 10 15 20 10−4 10−3 10−2 10−1 100 TEB ,N t =2, N r =4, µ=0.002 et une modulation 4−QAM E s /N 0 (dB) TEB J CMA +J Alamouti J CMA Egalisation non aveugle 0 5 10 15 20 25 30 −40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 EQM, N t =2, N r =4, µ=0.002 et une modulation 4−QAM E s /N 0 (dB) EQM J CMA +J Alamouti J CMA 20 / 66
21. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Crit` ere propos´ e pour le code de Tarokh Le code de Tarokh G3 : „ s(4k) −s(4k + 1) −s(4k + 2) −s(4k + 3) s∗(4k) −s∗(4k + 1) −s∗(4k + 2) −s∗(4k + 3) s(4k + 1) s(4k) s(4k + 3) −s(4k + 2) s∗(4k + 1) s∗(4k) s∗(4k + 3) −s∗(4k + 2) s(4k + 2) −s(4k + 3) s(4k) s(4k + 1) s∗(4k + 2) −s∗(4k + 3) s∗(4k) s∗(4k + 1) « Nt = 3 rendement 1/2 code orthogonal Perte de la structure du code de Tarokh en sortie de la BSS : Z = 0 @ ejΦ1 0 0 0 ejΦ2 0 0 0 ejΦ3 1 A Px(k) Le symbole s(4k) occupe les diagonales de ce code : particularit´ e exploit´ ee pour la proposition du crit` ere 21 / 66
22. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Crit` ere propos´ e pour le code de Tarokh Le crit` ere JG3 : JG3 = 1 Ns Ns X k=1 |2z1 (4k) − z2 (4k + 1) − z3 (4k + 2)|2 Afin de retrouver les signaux sources, JG3 doit ˆ etre associ´ es ` a un crit` ere de s´ eparation aveugle de sources, nous avons utilis´ e le crit` ere CM  J = JCM + JG3 sous GH G = I3 Cette association permet d’obtenir en sortie de l’algorithme les r´ esultats suivants : Permutation Phases Structure du code en sortie de la BSS Non Φ1 = Φ2 = Φ3 Z(k) = 0 @ ejΦ1 0 0 0 ejΦ1 0 0 0 ejΦ1 1 A x(k) Ainsi, on l` eve totalement le probl` eme de l’ordre 22 / 66
23. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Crit` ere propos´ e pour le code de Tarokh La redondance introduite par le code de Tarokh peut ˆ etre exploit´ ee dans un premier temps pour estimer la phase Φ1 modulo π : Φ1 + kπ Arg(z1 (8k)z1 (8k + 4)) 2 Ensuite, la redondance est utilis´ ee pour r´ eduire l’EQM des symboles par moyennage : 8 > > > < > > > : z1 (k) = z1(8k)+z2(8k+1)+z3(8k+2)+z∗ 1 (8k+4)+z∗ 2 (8k+5)+z∗ 3 (8k+6) 6 z2 (k) = z2(8k)−z1(8k+1)+z3(8k+3)+z∗ 2 (8k+4)−z∗ 1 (8k+5)+z∗ 3 (8k+7) 6 z3 (k) = z3(8k)−z1(8k+2)−z2(8k+3)+z∗ 3 (8k+4)−z∗ 1 (8k+6)−z∗ 2 (8k+7) 6 z4 (k) = −z3(8k+1)+z2(8k+2)−z1(8k+3)−z∗ 3 (8k+5)+z∗ 2 (8k+6)−z∗ 1 (8k+7) 6 23 / 66
24. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle ´ Etude des points stationnaires (JCM + JG3 ) Apr` es une ´ etude des points qui v´ erifient le syst` eme (S) des gradients nuls et le syst` eme (C) des contraintes, on obtient les propri´ et´ es : Propri´ et´ e 1 d´ emontr´ ee dans la th` ese Seul le point g11 = g22 = g33 = ejΦ et gmn = 0, m = n ∈ {1, . . . , 3} avec |gnn| = 1 est solution des deux syst` emes (S) et (C), c’est donc un point stationnaire du crit` ere J sous la contrainte GH G = I3 , i.e. G = 0 @ ejΦ 0 0 0 ejΦ 0 0 0 ejΦ 1 A Propri´ et´ e 2 d´ emontr´ ee dans la th` ese Ce point stationnaire correspond ` a l’unique minimum du crit` ere J sous la contrainte GH G = I3 car sa matrice Hessienne est semi-d´ efinie positive. 24 / 66
25. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Hypoth` eses de simulations (JCM + JG3 ) et r´ esultats Modulation 4-QAM Signaux transmis sur un canal de Gauss instantan´ e et fixe µ = 0, 002 Un code de Tarokh est utilis´ e en ´ emission Nt = Nr = 3 0 1000 2000 3000 4000 5000 −5 0 5 10 15 20 SINR, N t =N r =3, 4−QAM, µ=0.002, SNR=15 dB nb symboles SINR (dB) J CMA +J G3 J CMA 0 1000 2000 3000 4000 5000 −2 0 2 nb échantillons angle (rad) phase en sortie de la BSS J CMA +J Tarokh , N t =N r =3, 4−QAM, SNR=30dB 0 1000 2000 3000 4000 5000 −2 0 2 nb échantillons angle (rad) phase en sortie de la BSS J CMA , N t =N r =3, 4−QAM, SNR=30dB phase sortie 1 phase sortie 2 phase sortie 3 25 / 66
26. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle TEB et EQM (JCM + JG3 ) 0 5 10 15 20 10−4 10−3 10−2 10−1 100 TEB, N r =N t =3, µ=0.002 et une modulation 4−QAM E s /N 0 (dB) TEB J CMA +J G 3 J CMA Egalisation non−aveugle 0 5 10 15 20 25 30 −40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 EQM, Nr=Nt=3, µ=0.002 et une modulation 4−QAM E s /N 0 (dB) EQM (dB) J CMA +J G3 J CMA 26 / 66
27. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Crit` ere propos´ e pour le code d’Or Le code d’Or O2 = „ x1(k) x3(k) x2(k) x4(k) « = 1 √ 5 „ α (s(4k) + θs(4k + 1)) α (s(4k + 2) + θs(4k + 3)) j ¯ α `s(4k + 2) + ¯ θs(4k + 3)´ ¯ α `s(4k) + ¯ θs(4k + 1)´ « avec θ = 1+ √ 5 2 le nombre d’or, ¯ θ = 1 − θ, α = 1 + i(1 − θ), ¯ α = 1 + i(1 − ¯ θ). Nt = 2 rendement 2 code lin´ eaire en bloc Les symboles cod´ es xn(k) peuvent s’exprimer sous forme vectorielle : x(k) = 0 B B @ x1 (k) x2 (k) x3 (k) x4 (k) 1 C C A = 1 √ 5 0 B B @ α αθ 0 0 0 0 j ¯ α j ¯ α¯ θ 0 0 α αθ ¯ α ¯ α¯ θ 0 0 1 C C A 0 B B @ s(4k) s(4k + 1) s(4k + 2) s(4k + 3) 1 C C A x(k) = Cs(k) Pour retrouver les symboles non-cod´ es s(k), il suffit d’appliquer la matrice code inverse C−1 : s(k) = C−1x(k). 27 / 66
28. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Crit` ere propos´ e pour le code d’Or Cependant, les symboles cod´ es sont retrouv´ es en sortie de la BSS avec une certaine ambigu¨ ıt´ e de phase et d’ordre : z(k) = WH „ H „ x1 (k) x3 (k) x2 (k) x4 (k) « + b « (1) = ΦP „ x1 (k) x3 (k) x2 (k) x4 (k) « + b’(k) (2) Ces ambigu¨ ıt´ es ne nous permettent plus de retrouver les symboles non-cod´ es puisque : s(k) = C−1 „ ΦP 0 0 ΦP « x(k) = C−1 „ ΦP 0 0 ΦP « Cs(k) ⇔ ΦP = I Ainsi, au lieu de chercher les symboles cod´ es x en sortie de la BSS, on cherche les symboles non cod´ es s 28 / 66
29. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Crit` ere propos´ e pour le code d’Or Soit tn(k), les symboles obtenus en sortie de la BSS de la mani` ere suivante : 0 B B @ t1 (k) t2 (k) t3 (k) t4 (k) 1 C C A = C−1 „ W 0 0 W « „ y(2k) y(2k + 1) « C’est ` a dire t(k) = C−1 „ GH 0 0 GH « Cs(k) t(k) = G H s(k) avec G = ˜ HH W et G H = C−1 „ GH 0 0 GH « C. Le crit` ere JOr : 8 < : JOr = PNt n=1 E ˆ(|tn(k)|2 − R)2˜ sous GH G = INt 29 / 66
30. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Crit` ere propos´ e pour le code d’Or Nous allons montrer que cette fonction de coˆ ut comporte deux minima : Soit tous les symboles s(k) sont retrouv´ es dans le bon ordre ` a une phase pr` es identique, i.e. G = 0 B B @ ejΦ 0 0 0 0 ejΦ 0 0 0 0 ejΦ 0 0 0 0 ejΦ 1 C C A ⇔ G = „ ejΦ 0 0 ejΦ « Soit les symboles non cod´ es sont retrouv´ es dans un ordre d´ ecroissant : G = 0 B B @ 0 0 0 ejΦ 0 0 −ejΦ 0 0 −jejΦ 0 0 jejΦ 0 0 0 1 C C A ⇔ G = „ 0 ejΦ −jejΦ 0 « Le crit` ere propos´ e permet donc de retrouver les symboles non-cod´ es dans l’ordre croissant ou d´ ecroissant ` a une phase pr` es. 30 / 66
31. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle ´ Etude des points stationnaires (JOr ) Apr` es une ´ etude du syst` eme (S) des gradients nuls et du syst` eme (C) des contraintes, on obtient les propri´ et´ es : Propri´ et´ e 1 d´ emontr´ ee dans la th` ese Seuls deux points sont solutions des deux syst` emes (S) et (C) : G = 0 B B @ ejΦ 0 0 0 0 ejΦ 0 0 0 0 ejΦ 0 0 0 0 ejΦ 1 C C A G = „ ejΦ 0 0 ejΦ « ou G = 0 B B @ 0 0 0 ejΨ 0 0 −ejΨ 0 0 −jejΨ 0 0 jejΨ 0 0 0 1 C C A G = „ 0 ejΨ −jejΨ 0 « Propri´ et´ e 2 d´ emontr´ ee dans la th` ese Ces points stationnaires correspondent aux deux minima du crit` ere JOr sous la contrainte GH G = I2 car sa matrice Hessienne est semi-d´ efinie positive. 31 / 66
32. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Hypoth` eses de simulations (JOr ) et r´ esultats Modulation 4-QAM Signaux transmis sur un canal de Gauss instantan´ e et fixe µ = 0, 002 Un code d’Or est utilis´ e en ´ emission 0 500 1000 1500 −5 0 5 10 15 20 SINR, SNR=15dB, Nt=2, Nr=4 et une modulation de 4−QAM nb symboles SINR (dB) J CMA J CMA +J G3 , pas variable J CMA , pas variable L’algorithme minimisant le crit` ere JOr est compar´ e ` a l’algorithme CMA appliqu´ e aux vecteurs „ y(2k) y(2k + 1) « afin de retrouver les 2Nt sources non-cod´ ees ` a une phase et permutation pr` es. 32 / 66
33. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Phase en sortie des BSS(JOr ) 0 1000 2000 3000 4000 5000 −3.5 −3 −2.5 nb échantillons angle (rad) phase en sortie de la BSS J Or , N t =2, N r =4, 4−QAM, SNR=30 dB 0 1000 2000 3000 4000 5000 −2 0 2 nb échantillons phase (rad) phase en sortie de la BSS J CMA , N t =2, N r =4, 4−QAM, SNR=30 dB phase sortie 1 phase sortie 2 phase sortie 3 phase sortie 4 33 / 66
34. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle TEB (JOr ) Convergence de l’algorithme, utilisant le crit` ere JOr , vers deux points non stationnaires : 8 < : g 1 = −g 2 , |g 1 | = 1/ √ 5 et g 3 = g 4 = 0 ou g 3 = g 4 , |g 3 | = 1/ √ 5 et g 1 = g 2 = 0 Gradient stochastique ` a pas fixe ⇒ convergence vers des solutions ind´ esirables Solution : utilisation du gradient stochastique ` a pas variable 0 5 10 15 20 25 10−4 10−3 10−2 10−1 100 TEB, code d or, Nt=Nr=2, modulation de 4−QAM RSB(dB) TEB J Or pas variable J CMA J Or pas fixe 34 / 66
35. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Conclusion et perspectives Proposition de nouveaux crit` eres en compl´ ement de la BSS pour les codes de Tarokh et d’Alamouti Proposition d’un crit` ere pour le code d’Or : peut ˆ etre utilis´ e plus g´ en´ eralement sur tout code lin´ eaire en bloc moyennant quelques modifications Les crit` eres propos´ es permettent de lever certaines ambigu¨ ıt´ es introduites par la BSS ordre phase lev´ ee ind´ eterminations Alamouti Oui ou Mˆ eme phase sur partielle ordre inverse toutes les lignes Tarokh Oui Mˆ eme phase sur totale toutes les lignes Code d’Or Oui ou Mˆ eme phase sur partielle ordre inverse toutes les lignes 35 / 66
36. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Plan 1 La s´ eparation aveugle de sources en MIMO Les syst` emes MIMO Principe et ind´ eterminations de la BSS Hypoth` eses et pr´ e et post traitements Les crit` eres Algorithmes de minimisation des crit` eres 2 Exploitation de la redondance des codes spatio-temporel MIMO Principe Crit` ere propos´ e pour le code d’Alamouti, minima et r´ esultats Crit` ere propos´ e pour le code de Tarokh, minima et r´ esultats Crit` ere propos´ e pour le code d’Or, minima et r´ esultats Conclusion et perspectives 3 Deux algorithmes analytiques Principe Fonction de coˆ ut Recherche du sous-espace contenant la solution Recherche du sous-espace contenant la solution L’AMMA adaptatif R´ esultats Conclusion et perspectives 4 Poursuite des canaux MIMO en aveugle Principe Le cas instantan´ e R´ esultats Le cas convolutif R´ esultats 36 / 66
37. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Principe Les algorithmes MMA et SCMA Poursuite du r´ esidu de porteuse contrairement au CMA Mais ils utilisent un gradient stochastique ⇒ convergence lente ⇒ algorithmes non utilisables sur des canaux variables temporellement L’algorithme ACMA adaptatif7 Utilise des outils analytiques pour minimiser le crit` ere CM Converge rapidement ⇒ utilisable sur canaux variables temporellement Proposition : Minimiser les crit` eres MM et SCM en utilisant des outils analytiques afin de poursuivre le r´ esidu de phase tout en s´ eparant les sources transmises sur un canal variable dans le temps instantan´ es 7 A. Van Der Veen, An adaptive version of the algebraic constant modulus algorithm, IEEE Int. Conf. on Acoust., Speech, and Signal Process., 2005 37 / 66
38. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Fonction de coˆ ut La fonction de coˆ ut MM JMM = Nt X m=1 „ E »“ (zm(k))2 − Rr ”2– + E »“ (zm(k))2 − Ri ”2–« On d´ efinit la matrice (2Nt × Nt ) de s´ eparation r´ eelle T = (t1 . . . tNt ) et les vecteurs (2Nt × 1) ˜ y(k) et ¯ y(k) comme : tn = „ (wn) (wn) « , ˜ y(k) = „ (y(k)) (y(k)) « , ¯ y(k) = „ (y(k)) − (y(k)) « Ainsi, l’expression de zn(k) devient : zn(k) = tT n ˜ y(k) + jtT n ¯ y(k), n ∈ {1, . . . , Nt } 38 / 66
39. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Fonction de coˆ ut Afin d’impl´ ementer le crit` ere MM de mani` ere analytique, ce dernier est r´ e´ ecrit comme un probl` eme des moindres carr´ es : JAMMA (z) = 1 Ns Nt X m=1 Ns X k=1 „“ (zm(k))2 − Rr ”2 + “ (zm(k))2 − Ri ”2« avec Ns un nombre fix´ e de symboles transmis. En utilisant les propri´ et´ es8 du produit de Kronecker, les carr´ es des parties r´ eelles et imaginaires de zn(k) s’´ ecrivent sous la forme suivante : 2(zl (k)) = tT l (˜ y(k)˜ yT (k))tl = (˜ y(k) ⊗ ˜ y(k))T (tl ⊗ tl ) et 2(zl (k)) = tT l (¯ y(k)¯ yT (k))tl = (¯ y(k) ⊗ ¯ y(k))T (tl ⊗ tl ) exemple pour Nt = Nr = 2 ˜ y(k)⊗˜ y(k)) = 0 B B @ ˜ y 1 (k).˜ y(k) ˜ y 2 (k).˜ y(k) ˜ y 3 (k).˜ y(k) ˜ y 4 (k).˜ y(k) 1 C C A 8vec(abH ) = b∗ ⊗ a et vec(ABC) = (CT ⊗ A)vec(B) 39 / 66
40. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Fonction de coˆ ut On pose Y = “˜ y(0), . . . , ˜ y(Ns − 1)” et ¯ Y = “¯ y(0), . . . , ¯ y(Ns − 1)” Soit les matrices ˜ P = (˜ Y ◦ ˜ Y)T et ¯ P = (¯ Y ◦ ¯ Y)T de dimension Ns × (2Nt )2 obtenues en utilisant la d´ efinition du produit de Khatri-Rao9 Soit le vecteur dl issu du produit de Kronecker de tl avec lui-mˆ eme : dl = tl ⊗ tl de dimension (2Nt )2 × 1. Ces notations permettent d’´ ecrire la fonction de coˆ ut MM sous la forme suivante : JAMMA (dl ) = 1 Ns Nt X l=1 »‚ ‚ ‚ ˜ Pdl − R.1‚ ‚ ‚ 2 + ‚ ‚ ¯ Pdl − R.1‚ ‚ 2 – avec R = Ri = Rr et 1 = (1, . . . , 1)T 9A ◦ B = (a1 ⊗ b1 a2 ⊗ b2 . . .) 40 / 66
41. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Fonction de coˆ ut Soit les matrices ˜ C et ¯ C de dimension (2Nt )2 × (2Nt )2 : ˜ C = 1 Ns ˜ PT ˜ P − 1 Ns ˜ PT 1. 1 Ns 1T ˜ P et ¯ C = 1 Ns ¯ PT ¯ P − 1 Ns ¯ PT 1. 1 Ns 1T ¯ P En utilisant une d´ ecomposition QR, on peut alors ´ ecrire le crit` ere MM sous la forme suivante : tl = arg min dl =tl ⊗tl dl =R Nt X l=1 dT l “˜ C + C” dl On recherche le sous-espace qui contient les vecteurs solutions tl 41 / 66
42. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Recherche du sous-espace contenant la solution Propri´ et´ e 1 d´ emontr´ ee dans la th` ese Les matrices ˜ C et ¯ C sont sym´ etriques et semi-d´ efinies positives. Lemme dT l “˜ C + ¯ C” dl ≥ 0, ∀l ∈ {1, . . . , Nt } et ainsi, arg min dl =tl ⊗tl dl =R Nt X l=1 dT l “˜ C + ¯ C” dl ⇔ arg min dl =tl ⊗tl dl =R dT l “˜ C + ¯ C” dl , ∀l ∈ {1, . . . , Nt } Par la suite on pose Nt = 2. 42 / 66
43. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Recherche du sous-espace contenant la solution D´ efinition dim hker “˜ C + ¯ C”i = 6 Grˆ ace au th´ eor` eme du rang, rang “˜ C + ¯ C” = 10 : rang “˜ C + ¯ C” + dim “ker “˜ C + ¯ C”” = dim(R16), Propri´ et´ e 2 d´ emontr´ ee dans la th` ese Dans le noyau de ˜ C + ¯ C, seul le vecteur 0 R16 poss` ede une structure de Kronecker. Propri´ et´ e 3 d´ emontr´ ee dans la th` ese Soit E, l’ensemble des vecteurs dans R16 ayant une structure de Kronecker : E = ˘P ∈ R16/P = T ⊗ T , T ∈ R4¯ alors E ⊂ “Image “˜ C + ¯ C” ∪ {0}”. 43 / 66
44. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle L’ASCMA On peut montrer que ¯ C = (Γ ⊗ Γ)˜ C(Γ ⊗ Γ)−1 avec Γ = „ 0Nt INt −INt 0Nt « Ainsi, ˜ C et ¯ C sont similaires et ont ainsi le mˆ eme sous-espace image Puisque les matrices ˜ C et ¯ C ont la mˆ eme image, ainsi minimiser la fonction  min JASCMA = dT l ˜ Cdl , ∀l ∈ {1 . . . Nt } sous dl = tl ⊗ tl , dl = R est suffisant pour obtenir les vecteurs solutions tl Cette fonction de coˆ ut correspond au SCM : JSCM (W) = Nt X m=1 E h (zm(k))2 − Rr i 44 / 66
45. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Recherche du sous-espace contenant la solution On cherche donc le vecteurs dl ∈ Image “˜ C + ¯ C” qui minimise : ( min JAMMA = dT l “˜ C + ¯ C” dl , ∀l ∈ {1 . . . Nt } sous dl = tl ⊗ tl , dl = R Les vecteurs dl qui minimisent dT l “˜ C + ¯ C” dl sont les vecteurs propres de ˜ C + ¯ C associ´ es aux plus faibles valeurs propres non nulles On cherche ` a minimiser la fonction de coˆ ut JAMMA de mani` ere adaptative : ( min JAMMA (tl ) = dT l (k) “˜ C(k) + ¯ C(k)” dl (k), ∀l ∈ {1 . . . Nt } sous dl (k) = tl (k) ⊗ tl (k), dl (k) = R 45 / 66
46. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle L’AMMA adaptatif Recherche des vecteurs propres de ˜ C(k) + ¯ C(k) : algorithme de poursuite de sous espace (NOOJA) → dl (k|k) Satisfaire la contrainte dl (k) = tl (k) ⊗ tl (k) : dl (k|k) = tl (k) ⊗ tl (k) = vec(tl (k)tl (k)T ) vec−1(dl (k|k)) = Dl (k|k) = tl (k)tl (k)T On obtient ensuite tl (k) par : tl (k + 1) = Dl (k|k)tl (k) Dl (k + 1|k) = tl (k + 1) ⊗ tl (k + 1) : pr´ ediction utilis´ ee par l’algorithme NOOJA ` a l’it´ eration suivante Construction de la matrice de s´ eparation par colonne : wlm = tlm + jtl(m+Nt ) , l, m ∈ 1, . . . , Nt Pour ´ eviter l’extraction de la mˆ eme source plusieurs fois, W est orthogonalis´ ee ` a chaque it´ eration. 46 / 66
47. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Hypoth` eses de simulations et r´ esultats Modulation 4-QAM Signaux transmis sur un canal instantan´ e variable (Rayleigh) Nt = 2 et Nr = 4 0 500 1000 1500 2000 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 nb échantillons Gain (dB) Gain des trajets h 11 et h 21 , f d T s =0.0033, K=−∞ dB, RSB=30 dB N t =2, N r =4, 4−QAM Variations du trajet |h 11 | Estimation du trajet |h 11 | avec l’AMMA Variations du trajet |h 21 | Estimation du trajet |h 21 | avec l’AMMA −5 0 5 −5 0 5 Figure a): Signaux reçus réel imaginaire −1 0 1 −1 0 1 Figure b): Signaux transmis réel imaginaire −1 0 1 −1 0 1 Figure c): AMMA adaptatif réel imaginaire −1 0 1 −1 0 1 Figure d): ASCMA adaptatif réel imaginaire −2 0 2 −1 0 1 Figure e): ACMA adaptatif réel imaginaire −1 0 1 −1 0 1 Figure f): MMA réel imaginaire 47 / 66
48. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle TEB et SINR 0 5 10 15 20 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 TEB, f d T s =0.0011, δ T s =0, N t =2,N r =4, 4−QAM Es/N 0 (dB) TEB AMMA adaptatif ASCMA adaptatif ACMA adaptatif MMA 0 50 100 150 200 0 2 4 6 8 10 12 14 SINR, f d T s =0.0033, N t =2, N r =4, SNR=15 dB et une constellation 4−QAM nb symboles SINR (dB) AMMA adaptatif ASCMA adaptatif ACMA adaptatif SCMA 48 / 66
49. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Conclusion et perspectives Proposition de l’AMMA et de l’ASCMA adaptatif construit par extension de l’ACMA adaptatif propos´ e par Van Der Veen : Meilleur performances en termes de TEB et SINR lorsque le canal varie dans le temps Poursuite du r´ esidu de phase Recherche du sous-espace contenant la solution de notre probl` eme Inconv´ enient : convergence lente avec une constellation ≥ 16-QAM ` a cause de l’algorithme de poursuite de sous-espace 49 / 66
50. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Plan 1 La s´ eparation aveugle de sources en MIMO Les syst` emes MIMO Principe et ind´ eterminations de la BSS Hypoth` eses et pr´ e et post traitements Les crit` eres Algorithmes de minimisation des crit` eres 2 Exploitation de la redondance des codes spatio-temporel MIMO Principe Crit` ere propos´ e pour le code d’Alamouti, minima et r´ esultats Crit` ere propos´ e pour le code de Tarokh, minima et r´ esultats Crit` ere propos´ e pour le code d’Or, minima et r´ esultats Conclusion et perspectives 3 Deux algorithmes analytiques Principe Fonction de coˆ ut Recherche du sous-espace contenant la solution Recherche du sous-espace contenant la solution L’AMMA adaptatif R´ esultats Conclusion et perspectives 4 Poursuite des canaux MIMO en aveugle Principe Le cas instantan´ e R´ esultats Le cas convolutif R´ esultats 50 / 66
51. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Principe Le filtre de Kalman : bonnes performances en termes de poursuite Il permet d’estimer et de poursuivre un canal MIMO instantan´ e ou convolutif Dans la litt´ erature101112, il est associ´ e ` a un ´ egaliseur, permettant ainsi d’estimer les symboles transmis sur un canal s´ electif en temps Mais il doit ˆ etre initialis´ e par des s´ equences d’apprentissage (coop´ eratifs) Proposition : Initialiser le filtre de Kalman de mani` ere aveugle : utilisation de la s´ eparation aveugle de sources pour initialiser le filtre de Kalman 10 M. Enescu and V. Koivunen, Time-varying channel tracking for space-time block coding, Vehicular Technology Conference, 2002 11 M. Enescu and M. Sirbu and V. Koivunen, Adaptive equalization of time-varying MIMO channels,Signal Processing, 2002 12 C. Komninakis and C. Fragouli and A. H. Sayed and R. D. Wesel, ulti-input multi-output fading channel tracking and equalization using Kalman estimation, IEEE Transactions on signal processing, 2002 51 / 66
52. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Le filtre de Kalman Rappel : y(k) = H(k)x(k) + b(k) Estimateur r´ ecursif, il repose sur deux ´ equations :  h(k) = Fh(k − 1) + An(k) l’´ equation d’´ etat y(k) = X’(k)h(k) + b(k) l’´ equation de mesure o` u h(k) = vec(H(k)) : le vecteur Nt Nr × 1 d’´ etat n(k) et b(k) : bruits blancs gaussiens de dimension Nt Nr × 1 et Nr × 1 et Rn = I et Rb = σ2 b I respectivement X’(k) = INr ⊗ `x1(k) . . . xNt (k)´ est une matrice Nt × Nt Nr o` u ⊗ repr´ esente le produit de Kronecker F : la Nt Nr × Nt Nr matrice diagonale de transition 52 / 66
53. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Le filtre de Kalman Calcul de la matrice F : D’apr` es l’´ equation d’´ etat : E hh(k)hH (k + 1)i = FH D’apr` es le mod` ele de Jakes13 : E ˆhm(k)hH m (k + 1)˜ = J0 “2πf(m) d Ts ” 9 > > > > = > > > > ; ⇒ f = fnn = J0 (2πfd Ts) o` u J0 repr´ esente la fonction de Bessel d’ordre z´ ero de premi` ere esp` ece Calcul de la matrice A : Rn = I h(k) = Fh(k − 1) + An(k) Rh = I 9 = ; ⇒ A = p1 − f2I 13W. C. Jakes, Microwave mobile communication, NY : Wiley, 1974 13W. C. Jakes, Microwave mobile communication, NY : Wiley, 1974 13W. C. Jakes, Microwave mobile communication, NY : Wiley, 1974 13W. C. Jakes, Microwave mobile communication, NY : Wiley, 1974 53 / 66
54. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Le filtre de Kalman Pour estimer le canal h(k) le filtre de Kalman utilise: L’´ etat pr´ ec´ edemment estim´ e h(k − 1) Les signaux rec ¸us ` a l’instant courant y(k) Les signaux transmis ` a l’instant courant X(k) ⇒ utilisation d’un ´ egaliseur Algorithme de poursuite du canal : 1 ´ Etape de pr´ ediction ˆ h (k | k − 1) = Fˆ h (k − 1 | k − 1) P (k | k − 1) = FP (k − 1 | k − 1) FH + AAH matrice de covariance de l’erreur d’estimation 2 Estimation des symboles X(k) ` a l’aide d’un ´ egaliseur 3 ´ Etape d’estimation K(k) = P(k |k−1)XH (k) Rb+X(k)P(k |k−1)XH (k) e(k) = y(k) − X(k)ˆ h (k | k − 1) ˆ h (k | k) = ˆ h (k | k − 1) + K(k)e(k) P (k | k) = P (k | k − 1) − K(k)X(k)P (k | k − 1) 54 / 66
55. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Initialisation du filtre de Kalman Syst` emes coop´ eratifs : utilisation de s´ equences d’apprentissage BSS analytiques par blocs : convergence sur des blocs de taille > N2 t Utilisation d’une BSS analytiques par blocs sur les Np premiers signaux rec ¸us : Estim´ ee des Np premiers symboles transmis Matrice de s´ eparation W telle que : WH (k)H(k) = I ⇒ estim´ ee du canal de transmission ˆ H(k) = “WH (k)”† Une fois le filtre de Kalman amorc´ e, l’estim´ ee des symboles transmis est obtenue avec un ´ egaliseur 55 / 66
56. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Hypoth` eses de simulations et r´ esultats Modulation 4-QAM Signaux transmis sur un canal instantan´ e variable (Rice) Nt = 2, Nr = 4, Np = 10 fd Ts = 0, 0056, K = 3dB Un code d’Alamouti est utilis´ e en ´ emission 0 50 100 150 200 −10 −5 0 5 Nombre d’échantillons Gain de h 11 et h 1 (dB) Gain des raets h 11 et h 21 , f d Ts=0.0056, K=dB, N s =100,N p 10, E s /N 0 =30 d Variations du trajet h 11 Estimation du trajet h 11 avec KF + BSS Variations du trajet h 21 Estimation du trajet h 21 avec KF + BSS 56 / 66
57. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Comparaison filtre de Kalman aveugle et AMMA adaptatif 0 5 10 15 10−3 10−2 10−1 100 TEB, fdTs=0.0056, K=3dB, Np=20, N t =2, N r =4, constellation 4−QAM Es/N 0 (dB) TEB filtre de Kalman en aveugle filtre de Kalman avec des symboles pilotes AMMA adaptatif Canal de Rice 0 5 10 15 10−4 10−3 10−2 10−1 100 TEB, fdTs=0.0056, K=−∞ dB, Np=20, N t =2, N r =4, 4−QAM Es/N 0 (dB) TEB Filtre de Kalman aveugle Filtre de Kalman coopératif AMMA adaptatif Canal de Rayleigh 57 / 66
58. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Mod` ele th´ eorique d’une transmission sur des canaux convolutifs y(k) = PL n=0 Hn(k)s(k − n) + b(k) avec L la profondeur du canal y(k) = `y1(k) . . . yNr (k)´T le vecteur des Nr signaux rec ¸us, s(k) = `s1(k) . . . sNt (k)´T les Nt signaux transmis ` a l’instant k, Hn, n = 1, . . . , L la matrice canal de dimension Nr × Nt correspondante au ni` eme retard. Par la suite, on consid` ere le vecteur ˘ y(k) qui contient Nf + 1 vecteurs signaux rec ¸us y(k) : ˘ y(k) = H(k)˘ s(k) + ˘ b(k) avec ˘ y(k) = `yT (k), yT (k − 1), . . . , yT (k − Nf )´T ˘ s(k) = `sT (k), sT (k − 1), . . . , sT (k − Nf − L)´T ˘ b(k) = “bT (k), bT (k − 1), . . . , bT (k − Nf )”T En supposant les matrices de canal Hn stationnaires sur Nf + 1 ´ echantillons, H(k) = ` H0(k) H1(k) . . . HL(k) ´ est la matrice de Sylvester de dimension (Nf + 1)Nr × (Nf + L + 1)Nt associ´ ee ` a H(k) 58 / 66
59. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle La s´ eparation aveugle de sources, l’´ egaliseur et le filtre de Kalman en convolutif Utilisation d’une BSS analytiques par blocs adapt´ ee14 aux canaux convolutifs : Nr > Nt ˆ s(k − l) = W(l)H ˘ y(k) Utilisation de l’´ egaliseur DFE en sortie du filtre de Kalman ´ Egaliseur non-lin´ eaire : compos´ e d’ un filtre de retour BDFE et d’un filtre direct FDFE Estime les symboles transmis ` a l’instant k − l : ˆ s(k − l) = FH DFE−opt (k)˘ y(k) + BH DFE−opt (k)˘ s(k − l − 1) o` u BDFE−opt (k) = f(H(k), Rb , Rs) et FDFE−opt (k) = f(BDFE−opt (k), Rsy , Ry ) Filtre de Kalman fonctionnant avec un retard l : estime le canal ` a l’instant k − l Pr´ ediction du canal ` a l’instant k : h(k) = Flh(k − l) 14A. Ikhlef and K. Abed Meraim and D. Le Guennec, A new blind adaptive signal separation and equalization algorithm for MIMO convolutive systems, In IEEE Statistical Signal Processing Workshop, 2007 59 / 66
60. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Initialisation du filtre de Kalman Utilisation d’une BSS analytiques par blocs adapt´ e au convolutif sur les Np premiers signaux rec ¸us : Estim´ ee des Np premiers symboles transmis avec un retard l Permet au filtre de Kalman de converger vers le canal h(Np − l) Une fois le filtre de Kalman amorc´ e, l’estim´ ee du canal est transmise au DFE qui estimera les symboles ˆ s(Np − l + 1), utilis´ es par le filtre de Kalman ` a l’it´ eration suivante pour estimer h(Np − l + 1) 60 / 66
61. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Hypoth` eses de simulations et r´ esultats Modulation 4-QAM Signaux transmis sur un canal de Rice L = 2, Nt = 2, Nr = 4, l = 3 et Np = 50 0 5 10 15 10−2 10−1 100 TEB, f d T s =0, K=−∞ dB, Nt=2, Nr=4, 4−QAM Es/N 0 (dB) TEB atténuation de puissance de 4,5 dB sur les retards des sous−canaux MIMO aucune atténuation de puissance sur les retards des sous−canaux MIMO 61 / 66
62. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Filtre de Kalman en convolutif 0 500 1000 1500 2000 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 nb échantillons Gain (dB) Gain des trajets directs h 11 et h 21 , f d T s =0.0011, K=4,5dB, Ns=2000,Np=50, E s /N 0 =30 dB Variations du trajet |h 11 | Estimation du trajet |h 11 | avec le KF +BSS Variations du trajet |h 21 | Estimation du trajet |h 21 | avecKF + BSS 0 5 10 15 20 10−3 10−2 10−1 100 TEB, f d T s =0.0011, K=3dB, Np=50, 4−QAM Es/N 0 (dB) TEB 0 5 10 15 20 10−2 10−1 100 Es/N 0 (dB) TEB Symboles estimés par l’ACMA pour initialiser le filtre de Kalman aveugle, Np=50 Filtre de Kalman aveugle Filtre de Kalman coopératif 62 / 66
63. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Conclusion g´ en´ erale et perspectives Estimation des sources de mani` ere aveugle sur canaux fixes et lever certaines ind´ eterminations introduites par la BSS lorsqu’un code STBC est utilis´ e en ´ emission : Codes de Tarokh et Alamouti : proposition de crit` eres associ´ es au crit` ere de s´ eparation Codes d’Or : proposition d’un crit` ere de s´ eparation permettant de lever certaines ambigu¨ ıt´ es Perspectives : Proposition de nouveaux crit` eres pour d’autres codes STBC Crit` ere propos´ e pour le code d’Or : peut ˆ etre adapt´ e aux autres codes lin´ eaires en blocs Algorithme propos´ e pour le code d’Or : converge vers des points ind´ esirables et non-stationnaires 63 / 66
64. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Conclusion g´ en´ erale et perspectives Estimation des sources de mani` ere aveugle sur canaux instantan´ es et variants dans le temps : Canaux de Rayleigh : Minimisation des crit` eres MM et SCM de mani` ere analytique ⇒ l’AMMA et l’ASCMA adaptatifs Gain en termes de TEB et SINR par rapport ` a l’ACMA adaptatif Poursuite du r´ esidu de phase contrairement ` a l’ACMA adaptatif Canaux de Rice : Initialisation du filtre de Kalman par la BSS Perspective : Am´ eliorer les performances de l’AMMA et de l’ASCMA adaptatifs lorsqu’une constellation ≥ 16-QAM est utilis´ ee en modifiant l’algorithme de poursuite de sous-espace Estimation des sources de mani` ere aveugle sur canaux convolutifs et variants dans le temps : Initialisation du filtre de Kalman par une BSS adapt´ ee au convolutif TEB obtenu ´ elev´ e par rapport ` a l’instantan´ e aveugle et au convolutif coop´ eratif 64 / 66
65. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Publications Revue S. Daumont and D. Le Guennec, ”An analytical multi-modulus algorithm for blind demodulation in a time-varying MIMO channel context ”, International Journal of Digital Multimedia Broadcasting, EURASIP, Hindawi, 2009 Conf´ erences internationales S. Daumont and D. Le Guennec, ”Adaptive Analytical Simplified Constant Modulus Algorithm: A BSS algorithm for MIMO systems with time-varying environments”, European Association for Signal Processing (Eusipco), Scotland, Glasgow, August 2009 S. Daumont and D. Le Guennec, ”Adaptive Analytical MMA with time-varying MIMO channels and diversity in interception context”, IEEE International Conference on Digital Signal Processing (DSP), Greece, Santorini, July 2009 S. Daumont and D. Le Guennec, ”Blind tracking of time-varying MIMO channel with Alamouti scheme in interception context”,International Symposium on Wireless Communication Systems, ISWCS, Island, Rekjavik, October 2008 S. Daumont and D. Le Guennec, ”Blind source separation with order recovery for MIMO system and an Alamouti or Tarokh space-time block coding scheme”, IEEE symp. on signal processing and information technology, ISSPIT, pp. 437-442, Egypt, Cairo, December 2007 Conf´ erence nationale S. Daumont and D. Le Guennec, ”S´ eparation aveugle de source pour des syst` emes MIMO et un codage d’Alamouti et de Tarokh”, Majecstic,France, Caen, October 2007 65 / 66
66. La BSS en MIMO Exploitation de la redondance des codes MIMO Deux algorithmes analytiques Poursuite des canaux MIMO en aveugle Merci pour votre attention Questions? 66 / 66