Introduction to volume rendering

Introduction to volume
rendering
@yumcyawiz
レイトレ合宿8 セミナー

View Slide

Volume Renderingとは?
ボリューム(霧, 水, 肌)などをレンダリングすること
物体表面だけではなく、3次元空間中で光の吸収・散乱が起こる
ボリュームレンダリング方程式(VRE) を解くことでレンダリングが出来る
煙表面化散乱

View Slide

Volume Renderingの基礎概念
ボリュームレンダリングは以下の3要素から構成される.
発光吸収散乱
吸収の強さは吸収係数で表される.
散乱の強さは散乱係数で表される.
ある点からの間でどれだけ光が減衰するかは透過率で表される.
μ

(x, λ)
a
μ

(x, λ)
s
x

0 x

1 T(x

, x

)
0 1

View Slide

放射輸送方程式
媒質中のある点における放射輝度の変化は以下の放射輸送方程式によって記述される.
: 点において方向から来る放射輝度
: 点における吸収係数
: 点における散乱係数
: 点において方向に発光する放射輝度
: 点において方向へ散乱される外から来た放射輝度
x
L(x, )
ω x ω
μ

(x)
a x
μ

(x)
s x
L

(x, )
e ω x ω
L

(x, )
s ω x ω
( ⋅
ω ∇)L(x, ) =
ω −μ

(x)L(x, ) −
a ω μ

(x)L(x, ) +
s ω μ

(x)L

(x, ) +
a e ω μ

(x)L

(x, )
s s ω

View Slide

Volume Rendering Equation(VRE)
放射輸送方程式を距離で積分することで, 以下のVREが得られる.
発光 + 散乱光 + 媒質終端から入射する光
[0, t]

L(x, )
ω =

T(x, x − s )(μ

(x − s )L

(x − s , ) + μ

(x − s )L

(x − s , ))ds
∫
0
t
ω a ω e ω ω s ω s ω ω
+ T(x, x − t )L(x − t , )
ω ω ω

View Slide

VREのモンテカルロ積分
積分変数が距離なので, をランダムにサンプリング(自由行程サンプリング)すると
: 距離の確率密度関数
: 指示関数
: 距離が以上の値を取る確率

L(x, )
ω =

T(x, x − s )(μ

(x − s )L

(x − s , ) + μ

(x − s )L

(x − s , ))ds
∫
0
t
+ T(x, x − t )L(x − t , )
ω ω ω
s s
p

(s)
S S
1

A
P(S ≥ t) S t

Term1(s)
Term2
(x, )
L ω
= T(x, x − s )(μ

(x − s )L

(x − s , ) + μ

(x − s )L

(x − s , ))
= T(x, x − t )L(x − t , )
ω ω ω
=

1

+

1

p

(s)
S
Term1(s)
{sTerm2
{s≥t}

View Slide

自由行程サンプリング
Question
距離のサンプリングにどのような確率分布を用いるべきか?
透過率に注目し, それに比例するように重点的サンプリングを行いたい.

L(x, )
ω =

T(x, x − s )(μ

(x − s )L

(x − s , ) + μ

(x − s )L

(x − s , ))ds
∫
0
t
+ T(x, x − t )L(x − t , )
ω ω ω
s
→ T(x, x − s )
ω

View Slide

簡単のために, まずは吸収/散乱係数がに依存しない
場合(一様媒質)で考える.
透過率の定義は以下の通り.
, は今, 定数なので
一様媒質の場合, 透過率は指数関数になる
x
μ (x)
t
T(x, x − s )
ω
= μ

(x) + μ

(x)
a s
= e−

μ

(x−s )ds
∫0
s
t
′ ω ′
μa μs
T(x, x − s )
ω = e−

μ

(x−s )ds
∫0
s
t
′ ω ′
= e−

μ

ds
∫0
s
t
′
= e−μ

s
t

View Slide

透過率は指数関数なので, 距離の確率分布には指数
分布を選択する.
指数分布からのサンプリングには逆関数法が使える.
: の一様乱数
s
p (s)
S = μ

e
t
−μ

s
t
ξ [0, 1]
s = −

μ

t
log(1 − ξ)

View Slide

VREの評価( )
距離をサンプリングできたら, VREの各項を評価していく.
Question
散乱光をどう評価するか?
レンダリング方程式で入射光を評価するのと同様に, に対して再帰的にVREを適用して評価
発光と散乱のどちらを評価するか?
ロシアンルーレットによってどちらを評価するか選択する(吸収/散乱イベントサンプリング)
Term1
s
Term1(s) = T(x, x − s )(μ

(x −
ω a s )L

(x −
ω e s , ) +
ω ω μ

(x −
s s )L

(x −
ω s s , ))
ω ω
L

(x −
s s , )
ω ω
→ L (x, )
i ω L

s
→

View Slide

イベントサンプリング
ロシアンルーレットを用いることで, は以下のように評価できる.
: 吸収イベントを選択する確率
: 散乱イベントを選択する確率
, は以下のように設定することで重点的サンプリングが行える.
Term1(s)
P

a
P

s
(s) =
Term1 T(x, x − s )(

1

+
ω
P

a
μ

L

(x − s , )
a e ω ω
{ξ
}
a
1

)
P

s
μ

L

(x − s , )
s s ω ω
{ξ≥P

}
a
P

a P

s

P

a
P

s
=

μ

t
μ

a
=

μ

t
μ

s

View Slide

散乱光の評価
: 位相関数. BRDFのボリューム版.
モンテカルロ積分を適用すると
位相関数から方向を重点的サンプリングしての方向にレイを飛ばし, の評価に再びVREを使う.
L

(x, ) =
s ω

f

( , )L

(x, )dσ( )
∫
S2
p ω ω′
i ω′ ω′
f

( , )
p ω ω′

(x, ) =
L

s ω

p

(

)
D ωi
′
f

( ,

)L

(x,

)
p ω ωi
′
i ωi
′
ω ω L (x,

)
i
ω

i
′

View Slide

位相関数
位相関数には Henyey-Greenstein phase function(HG
位相関数) がよく使われる.
: とのなす角
: 散乱方向を制御するパラメーター
HG位相関数からは解析的に方向の重点的サンプリ
ングが行える.
θ ω ω′
g
f

( , ) =
p ω ω′

4π
1
(1 + g + 2g cosθ)
2

2
3
1 − g2
ω

View Slide

VREの評価( )
は再びVREを適用するか, あるいは物体表面の場合はレンダリング方程式を評価すれば良い.
まとめるとVREの評価は以下のようになる.
: 距離サンプル
: の一様乱数
Term2
Term2 = T(x, x − t )L(x −
ω t , )
ω ω
L(x − t , )
ω ω
s
ξ [0, 1]

(x, )
L ω =

1

p

(s)
S
T(x, x − s )(
1

+

1

)
ω
P

a
μ

L

(x−s , )
a e ω ω
{ξ
}
a P

s
μ

(x−s , )
s L

s ω ω
{ξ≥P

}
a
{s+

1

P(S ≥ t)
T(x, x − t )L(x − t , )
ω ω ω
{s≥t}

View Slide

VREの評価
アルゴリズム的には以下のようにまとめられる.
1. 距離をサンプリング
2. の場合
1. の一様乱数を生成
2. ならを評価して終了
3. なら位相関数からを生成し、レイをまで進めて新たな方向をセットし、1に戻る
3. の場合はを評価する。レイをまで進め、別の媒質に入る場合は1に戻る。真空
の場合は通常のパストレーシングで計算する
s
s < t
[0, 1] ξ
ξ < P

a L

(x −
e s , )
ω ω
ξ ≥ P

a ω′ x − sω ω′
s ≥ t L(x − t , )
ω ω x − tω

View Slide

実装例
Mediumクラスで自由行程サンプリング, 散乱方向のサンプリングを行う.
class Medium {

protected:

const std::shared_ptr phaseFunction; // 位相関数

public:

Medium(float g) : phaseFunction(std::make_shared(g)) {}

// 自由行程サンプリング, 散乱方向のサンプリングを行う. s > tの時はfalseを返す

virtual bool sampleMedium(const Ray& ray, float distToSurface,

Sampler& sampler, Vec3f& pos, Vec3f& dir,

Vec3f& throughput) const = 0;

// p1とp2の間の透過率を評価する

virtual Vec3f transmittance(const Vec3f& p1, const Vec3f& p2,

Sampler& sampler) const = 0;

// 位相関数を評価する
Vec3f evalPhaseFunction(const Vec3f& wo, const Vec3f& wi) const {

return phaseFunction->evaluate(wo, wi);

}

};

View Slide

実装例
波長非依存の一様媒質で発光が無い場合は sampleMedium は以下のように実装出来る.
` `
bool sampleMedium(const Ray& ray, float distToSurface, Sampler& sampler,

Vec3f& pos, Vec3f& dir, Vec3f& throughput) const override {

// 自由行程サンプリング
const float t =

-std::log(std::max(1.0f - sampler.getNext1D(), 0.0f)) / sigma_t;

// s > tの場合
if (t > distToSurface - RAY_EPS) {

pos = ray(distToSurface);

dir = ray.direction;

throughput = Vec3f(1);

return false;

}

// 散乱方向をサンプリング
phaseFunction->sampleDirection(-ray.direction, sampler, dir);

pos = ray(t);

throughput = Vec3f(sigma_s / sigma_t);

View Slide

実装例
RayにMediumをスタックで保持させる.
Rayが媒質に入るたびに mediums にMediumをpushする.
逆に媒質から出ていく時は mediums からpopする.
class Ray {

public:

Vec3f origin;
Vec3f direction;

Vec3f throughput;

std::stack mediums;

};
` `
` `

View Slide

実装例
純粋パストレーシングによるVREのモンテカルロ積分は以下のように実装できる.
while (depth < maxDepth) {

if (scene.intersect(ray, info)) {

// ロシアンルーレット(省略)

// 媒質がある場合は自由行程サンプリング, 散乱方向のサンプリングを行う

bool is_scattered = false;

if (ray.hasMedium()) {

const Medium* medium = ray.getCurrentMedium();

Vec3f pos;

Vec3f dir;

Vec3f throughput_medium;

is_scattered = medium->sampleMedium(ray, info.t, sampler, pos, dir,

throughput_medium);

// レイの更新

ray.origin = pos;

ray.direction = dir;

// throughputの更新

View Slide

bool is_reflected_or_refracted = false;

// s > tの場合

if (!is_scattered) {

// 媒質終端が光源の場合

if (info.hitPrimitive->hasAreaLight()) {

radiance += ray.throughput *

info.hitPrimitive->Le(info.surfaceInfo, -ray.direction);

break;

}

// 媒質終端が物体表面の場合は, BRDFから方向サンプリング

Vec3f dir = ray.direction;

if (info.hitPrimitive->hasSurface()) {

float pdf_dir;

const Vec3f f = info.hitPrimitive->sampleBxDF(

-ray.direction, info.surfaceInfo,

TransportDirection::FROM_CAMERA, sampler, dir, pdf_dir);

// throughputの更新

ray.throughput *= f *

cosTerm(-ray.direction, dir, info.surfaceInfo,

TransportDirection::FROM_CAMERA) /

pdf_dir;

is_reflected_or_refracted = true;

}

View Slide

// レイが保持する媒質の更新

updateMedium(ray, dir, info);

// レイの更新

ray.origin = info.surfaceInfo.position;

ray.direction = dir;

}
// depthの更新

if (is_scattered || is_reflected_or_refracted) {

depth++;

}

} else {

// レイがシーン外に飛んでいった場合

break;

}

}

View Slide

吸収/散乱係数が波長依存の場合
世の中に存在する多くの媒質は波長ごとに吸収/散乱係数が異なる.
水の吸収係数
Question
波長依存の場合, 自由行程サンプリング, 散乱方向サンプリングをどのように行えば良いのか?
波長を最初にサンプリングし, その後に自由行程サンプリング, 散乱方向サンプリングを行う
→

View Slide

波長サンプリング
個の波長の中から一様にサンプリングする方法はfireflyが出やすい.
そこで, Rayのthroughputに比例するように波長をサンプリングする.
一様サンプリングとthroughput比例の比較
C

View Slide

VREの評価
1つの波長だけでVREを評価すると, 他の波長が評価されないため色ノイズが顕著に出る.
そこで, MISを用いて全波長分の寄与を一気に計算することを考える(Hero wavelength sampling).
1つの波長だけで評価する場合とMISの比較

View Slide

Hero wavelength sampling
1つの波長 (Hero wavelength)を選んでパスを構築する.
この時, 同様のパスを構築出来る戦略は波長の個数分
だけ存在する.
全波長分の寄与はMIS(バランスヒューリスティック)を用いて以下で計算できる.
: X等色関数
: 波長を選ぶ確率
: 波長を使ってパスを構築する時の条件付き確率密度
λh
(λ

)
x
ˉ j
P(λ )
h λh
p( ∣λ

)
x
ˉ k λ

k x
ˉ

X =

(λ )
j=1
∑
C

P(λ )p( ∣λ )
∑k=1
C k x
ˉ k
L( , λ )
x
ˉ j
x
ˉ j

View Slide

実装例
波長依存の一様媒質で発光がない場合は`sampleMedium`は以下のように実装できる.
bool sampleMedium(const Ray& ray, float distToSurface, Sampler& sampler,

Vec3f& pos, Vec3f& dir, Vec3f& throughput) const override {

// 波長サンプリング
Vec3f pmf_wavelength;

const uint32_t channel = sampleWavelength(

ray.throughput, (sigma_s / sigma_t), sampler, pmf_wavelength);

// 自由行程サンプリング
const float t = -std::log(std::max(1.0f - sampler.getNext1D(), 0.0f)) /

sigma_t[channel];
// s > tの場合
if (t > distToSurface - RAY_EPS) {

pos = ray(distToSurface);

dir = ray.direction;

const Vec3f tr = analyticTransmittance(distToSurface, sigma_t);

const Vec3f p_surface = tr;

const Vec3f pdf = pmf_wavelength * p_surface;

throughput = tr / (pdf[0] + pdf[1] + pdf[2]);

View Slide

// 散乱方向のサンプリング
phaseFunction->sampleDirection(-ray.direction, sampler, dir);

pos = ray(t);

const Vec3f tr = analyticTransmittance(t, sigma_t);

const Vec3f pdf_distance = sigma_t * tr;

const Vec3f pdf = pmf_wavelength * pdf_distance;

throughput = (tr * sigma_s) / (pdf[0] + pdf[1] + pdf[2]);

return true;

}

View Slide

吸収/散乱係数の設定
吸収/散乱係数をアーティストが直接指定して見た目を制御するのは難しい.
そこで, Disneyによって (Base Color)と (Scattering Distance)によって吸収/散乱係数を設定する方法が考
案されている.
Blenderでも同様の方法が取られている.
A d

μ

t
μ

s
s
μ

t
= 1 − exp −5.09406A + 2.61188A − 4.31805A
2 3
= 1.9 − A + 3.5(A − 0.8)2
=

ds
1

View Slide

References
Wilkie, Alexander, et al. "Hero wavelength spectral sampling." Computer Graphics Forum. Vol. 33. No.
4. 2014.
Chiang, Matt Jen-Yuan, Peter Kutz, and Brent Burley. "Practical and controllable subsurface scattering
for production path tracing." ACM SIGGRAPH 2016 Talks (2016): 1-2.
Fong, Julian, et al. "Production volume rendering: Siggraph 2017 course." ACM SIGGRAPH 2017
Courses. 2017. 1-79.
Wrenninge, Magnus, Ryusuke Villemin, and Christophe Hery. Path traced subsurface scattering using
anisotropic phase functions and non-exponential free flights. Tech. Rep. 17-07, Pixar. https://graphics.
pixar. com/library/PathTracedSubsurface, 2017.
Novák, Jan, et al. "Monte Carlo methods for volumetric light transport simulation." Computer Graphics
Forum. Vol. 37. No. 2. 2018.

View Slide

Introduction to volume rendering

Introduction to volume rendering

yumcyawiz

More Decks by yumcyawiz

Other Decks in Technology

Featured

Transcript