信息安全数学基础:第6章:群(上)

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October 07, 2012

 信息安全数学基础:第6章:群(上)

信息安全数学基础:第6章:群(上)

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  1. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 .

    . . . . . . 群(上) 广州大学数学与信息科学学院 2007-05-20 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  2. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . §6.1 群的定义 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  3. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . 群是从多种数学对象中提取出来的代数系统。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  4. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . 关于抽象 . . . . . . . 心智的活动,除了尽力产生各种简单的认识之外,主要表现在如 下三个方面: 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  5. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . 关于抽象 . . . . . . . 心智的活动,除了尽力产生各种简单的认识之外,主要表现在如 下三个方面: . . . 1 将若干简单认识组合为一个复合认识,由此产生出各种复杂 的认识. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  6. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . 关于抽象 . . . . . . . 心智的活动,除了尽力产生各种简单的认识之外,主要表现在如 下三个方面: . . . 1 将若干简单认识组合为一个复合认识,由此产生出各种复杂 的认识. . . . 2 将两个认识放在一起对照,不管它们如何简单或者复杂,这 样做时并不将它们合二为一。由此得到它们相互关系的认 识. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  7. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . 关于抽象 . . . . . . . 心智的活动,除了尽力产生各种简单的认识之外,主要表现在如 下三个方面: . . . 1 将若干简单认识组合为一个复合认识,由此产生出各种复杂 的认识. . . . 2 将两个认识放在一起对照,不管它们如何简单或者复杂,这 样做时并不将它们合二为一。由此得到它们相互关系的认 识. . . . 3 将有关认识的与那些在实际中和它们同在的所有其他认识隔 离开,这就是抽象,所有具有普遍性的认识都是这样得到 的。 Jhon Locke, 有关人类理解的随笔(1690) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  8. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . 抽象的例子 . . . 1 有的原始语言,给彩虹中的每种颜色都起了个名称,却没有 颜色的名称. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  9. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . 抽象的例子 . . . 1 有的原始语言,给彩虹中的每种颜色都起了个名称,却没有 颜色的名称. . . . 2 在英语中,set 是个外来词,但却有 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  10. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . 抽象的例子 . . . 1 有的原始语言,给彩虹中的每种颜色都起了个名称,却没有 颜色的名称. . . . 2 在英语中,set 是个外来词,但却有 flock—羊群 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  11. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . 抽象的例子 . . . 1 有的原始语言,给彩虹中的每种颜色都起了个名称,却没有 颜色的名称. . . . 2 在英语中,set 是个外来词,但却有 flock—羊群 herd—兽群 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  12. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . 抽象的例子 . . . 1 有的原始语言,给彩虹中的每种颜色都起了个名称,却没有 颜色的名称. . . . 2 在英语中,set 是个外来词,但却有 flock—羊群 herd—兽群 gang—一帮人 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  13. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . 抽象的例子 . . . 1 有的原始语言,给彩虹中的每种颜色都起了个名称,却没有 颜色的名称. . . . 2 在英语中,set 是个外来词,但却有 flock—羊群 herd—兽群 gang—一帮人 . . . 3 哥伦比亚部落的 Thimshian 语言,有七组表示数的字: 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  14. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . 抽象的例子 . . . 1 有的原始语言,给彩虹中的每种颜色都起了个名称,却没有 颜色的名称. . . . 2 在英语中,set 是个外来词,但却有 flock—羊群 herd—兽群 gang—一帮人 . . . 3 哥伦比亚部落的 Thimshian 语言,有七组表示数的字: 一组用于扁平物件与动物; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  15. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . 抽象的例子 . . . 1 有的原始语言,给彩虹中的每种颜色都起了个名称,却没有 颜色的名称. . . . 2 在英语中,set 是个外来词,但却有 flock—羊群 herd—兽群 gang—一帮人 . . . 3 哥伦比亚部落的 Thimshian 语言,有七组表示数的字: 一组用于扁平物件与动物; 一组用于圆形物体及时间; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  16. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . 抽象的例子 . . . 1 有的原始语言,给彩虹中的每种颜色都起了个名称,却没有 颜色的名称. . . . 2 在英语中,set 是个外来词,但却有 flock—羊群 herd—兽群 gang—一帮人 . . . 3 哥伦比亚部落的 Thimshian 语言,有七组表示数的字: 一组用于扁平物件与动物; 一组用于圆形物体及时间; 一组用于数人; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  17. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . 抽象的例子 . . . 1 有的原始语言,给彩虹中的每种颜色都起了个名称,却没有 颜色的名称. . . . 2 在英语中,set 是个外来词,但却有 flock—羊群 herd—兽群 gang—一帮人 . . . 3 哥伦比亚部落的 Thimshian 语言,有七组表示数的字: 一组用于扁平物件与动物; 一组用于圆形物体及时间; 一组用于数人; 一组用于长的物件及树木; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  18. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . 抽象的例子 . . . 1 有的原始语言,给彩虹中的每种颜色都起了个名称,却没有 颜色的名称. . . . 2 在英语中,set 是个外来词,但却有 flock—羊群 herd—兽群 gang—一帮人 . . . 3 哥伦比亚部落的 Thimshian 语言,有七组表示数的字: 一组用于扁平物件与动物; 一组用于圆形物体及时间; 一组用于数人; 一组用于长的物件及树木; 一组用于独木舟; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  19. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . 抽象的例子 . . . 1 有的原始语言,给彩虹中的每种颜色都起了个名称,却没有 颜色的名称. . . . 2 在英语中,set 是个外来词,但却有 flock—羊群 herd—兽群 gang—一帮人 . . . 3 哥伦比亚部落的 Thimshian 语言,有七组表示数的字: 一组用于扁平物件与动物; 一组用于圆形物体及时间; 一组用于数人; 一组用于长的物件及树木; 一组用于独木舟; 一组用于度量; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  20. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . 抽象的例子 . . . 1 有的原始语言,给彩虹中的每种颜色都起了个名称,却没有 颜色的名称. . . . 2 在英语中,set 是个外来词,但却有 flock—羊群 herd—兽群 gang—一帮人 . . . 3 哥伦比亚部落的 Thimshian 语言,有七组表示数的字: 一组用于扁平物件与动物; 一组用于圆形物体及时间; 一组用于数人; 一组用于长的物件及树木; 一组用于独木舟; 一组用于度量; 一组用于不指什么的事物的 计数. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  21. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . 弄清楚一对农夫和一双日子中的‘对’ 和‘双’ 都不过是数 字 2 的事例,是一种要求有许多世代才能达到的发现。 罗素 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  22. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . 弄清楚一对农夫和一双日子中的‘对’ 和‘双’ 都不过是数 字 2 的事例,是一种要求有许多世代才能达到的发现。 罗素 . . . . . . . 正是计数,使今天的,而且因此也是原始人特有的关于“众 多”的异质观念巩固下来,并且进化成同质而抽象的数的概念。 只有有了这样的概念,才有可能有数学。 托比亚斯·丹齐格 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  23. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . 进一步的抽象---近世代数 . . . . . . . 现在到了数学抽象中最关键的一步:让我们忘记这些符号所表示 的对象。· · · · · · (数学家) 不应在这里止步,有许多操作可以应 用与这些符号,而根本不必考虑它们到底代表着什么东西。 Hermann Weyl (思维的数学方式) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  24. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 (代数运算) . . . . . . . . A, B, 和 D 都是集合。一个 A × B 到 D 的映射叫做一 个 A × B 到 D 的代数运算. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  25. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 (代数运算) . . . . . . . . A, B, 和 D 都是集合。一个 A × B 到 D 的映射叫做一 个 A × B 到 D 的代数运算. . Example . . . . . . . . V 是有理数上的向量空间,Q 是有理数。设 v ∈ V, q ∈ Q,有 q · v ∈ V. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  26. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 (代数运算) . . . . . . . . A, B, 和 D 都是集合。一个 A × B 到 D 的映射叫做一 个 A × B 到 D 的代数运算. . Example . . . . . . . . V 是有理数上的向量空间,Q 是有理数。设 v ∈ V, q ∈ Q,有 q · v ∈ V. 如果采用前缀记法,q · v 相当与 ·(q, v)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  27. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 (代数运算) . . . . . . . . A, B, 和 D 都是集合。一个 A × B 到 D 的映射叫做一 个 A × B 到 D 的代数运算. . Example . . . . . . . . V 是有理数上的向量空间,Q 是有理数。设 v ∈ V, q ∈ Q,有 q · v ∈ V. 如果采用前缀记法,q · v 相当与 ·(q, v)。‘·’ 显然是一个映 射: · Q × V → V 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  28. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 (代数运算) . . . . . . . . A, B, 和 D 都是集合。一个 A × B 到 D 的映射叫做一 个 A × B 到 D 的代数运算. . Example . . . . . . . . V 是有理数上的向量空间,Q 是有理数。设 v ∈ V, q ∈ Q,有 q · v ∈ V. 如果采用前缀记法,q · v 相当与 ·(q, v)。‘·’ 显然是一个映 射: · Q × V → V 所以 · 是 Q × V 到 V 上的一个代数运算. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  29. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 (二元运算) . . . . . . . . 如果 ◦ 是一个 A × A 到 A 的代数运算,我们就说集合 A 对 于代数运算 ◦ 是封闭的,并称 ◦ 为 A 上的二元运算。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  30. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 (二元运算) . . . . . . . . 如果 ◦ 是一个 A × A 到 A 的代数运算,我们就说集合 A 对 于代数运算 ◦ 是封闭的,并称 ◦ 为 A 上的二元运算。 . . . . . . . 对于二元运算,我们常采用中缀记法,即如果 a, b ∈ A,我们 把 ◦(a, b) 记成 a ◦ b. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  31. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . 在 Z 上,“+” 是映射 + : Z × Z → Z. 即 “+” 是 Z 上的代数运算. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  32. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . 在 Z 上,“+” 是映射 + : Z × Z → Z. 即 “+” 是 Z 上的代数运算. 类似地,“×” 也是. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  33. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 (群) . . . . . . . . 设 G 是一个非空集合,且 ◦ 是 G 上的代数运算,如果它满足 下面的条件: 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  34. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 (群) . . . . . . . . 设 G 是一个非空集合,且 ◦ 是 G 上的代数运算,如果它满足 下面的条件: . . . 1 ∀a, b, c ∈ G,有 (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) —结合律 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  35. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 (群) . . . . . . . . 设 G 是一个非空集合,且 ◦ 是 G 上的代数运算,如果它满足 下面的条件: . . . 1 ∀a, b, c ∈ G,有 (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) —结合律 . . . 2 ∃e ∈ G,对 ∀a ∈ G,有 a ◦ e = e ◦ a = a —有幺元 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  36. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 (群) . . . . . . . . 设 G 是一个非空集合,且 ◦ 是 G 上的代数运算,如果它满足 下面的条件: . . . 1 ∀a, b, c ∈ G,有 (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) —结合律 . . . 2 ∃e ∈ G,对 ∀a ∈ G,有 a ◦ e = e ◦ a = a —有幺元 . . . 3 ∀a ∈ G, 在 G 中存在惟一一个 b,使得 —有逆元 a ◦ b = b ◦ a = e 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  37. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 (群) . . . . . . . . 设 G 是一个非空集合,且 ◦ 是 G 上的代数运算,如果它满足 下面的条件: . . . 1 ∀a, b, c ∈ G,有 (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) —结合律 . . . 2 ∃e ∈ G,对 ∀a ∈ G,有 a ◦ e = e ◦ a = a —有幺元 . . . 3 ∀a ∈ G, 在 G 中存在惟一一个 b,使得 —有逆元 a ◦ b = b ◦ a = e 则称 G 对于 ◦ 构成一个群,记为 (G, ◦). 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  38. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 (群) . . . . . . . . 设 G 是一个非空集合,且 ◦ 是 G 上的代数运算,如果它满足 下面的条件: . . . 1 ∀a, b, c ∈ G,有 (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) —结合律 . . . 2 ∃e ∈ G,对 ∀a ∈ G,有 a ◦ e = e ◦ a = a —有幺元 . . . 3 ∀a ∈ G, 在 G 中存在惟一一个 b,使得 —有逆元 a ◦ b = b ◦ a = e 则称 G 对于 ◦ 构成一个群,记为 (G, ◦). . . . . . . . 我们常把 a ◦ b 写成 ab. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  39. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . 群的例子 . Example . . . . . . . . . . . 1 (Z, +) 构成群吗? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  40. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . 群的例子 . Example . . . . . . . . . . . 1 (Z, +) 构成群吗? . . . 2 (Z, ×) 构成群吗? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  41. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . 群的例子 . Example . . . . . . . . . . . 1 (Z, +) 构成群吗? . . . 2 (Z, ×) 构成群吗? . . . 3 (Zm, +) 构成群吗? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  42. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . 群的例子 . Example . . . . . . . . . . . 1 (Z, +) 构成群吗? . . . 2 (Z, ×) 构成群吗? . . . 3 (Zm, +) 构成群吗? . . . 4 用 Z∗ m 表示 Zm 中与 m 互素的类的集合,则 (Z∗ m , ×) 构成群吗? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  43. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . 实数域 R 上的 n × n 可逆矩阵,关于矩阵的乘法构成群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  44. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . 实数域 R 上的 n × n 可逆矩阵,关于矩阵的乘法构成群。 这种群称为一般线性群,记为 GL(n, R). 它的运算是可交换的 吗? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  45. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 . . . . . . . . 设 G 是群, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  46. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 . . . . . . . . 设 G 是群, . . . 1 G 中所含元素的个数称为 G 的阶,记为 |G|. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  47. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 . . . . . . . . 设 G 是群, . . . 1 G 中所含元素的个数称为 G 的阶,记为 |G|. . . . 2 当 |G| 是个有限数时,G 称为有限群,否则 G 称为无限 群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  48. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 . . . . . . . . 设 G 是群, . . . 1 G 中所含元素的个数称为 G 的阶,记为 |G|. . . . 2 当 |G| 是个有限数时,G 称为有限群,否则 G 称为无限 群。 . . . . . . . 刚才的群的例子中,有那些是有限群,那些是无限群? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  49. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . 群中的方幂 . . . . . . . 设 G 为群,a ∈ G。 由于群的乘法满足结合律, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  50. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . 群中的方幂 . . . . . . . 设 G 为群,a ∈ G。 由于群的乘法满足结合律,所以 a · a · · · a 是有定义的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  51. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . 群中的方幂 . . . . . . . 设 G 为群,a ∈ G。 由于群的乘法满足结合律,所以 a · a · · · a 是有定义的。记为 an 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  52. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . 群中的方幂 . . . . . . . 设 G 为群,a ∈ G。 由于群的乘法满足结合律,所以 a · a · · · a 是有定义的。记为 an 容易验证 anam = an+m, (am)n = amn 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  53. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 . . . . . . . . G 是群,a ∈ G,满足 an = e 的最小整数 n 称为元素 a 的阶,并记为 o(a)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  54. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 . . . . . . . . G 是群,a ∈ G,满足 an = e 的最小整数 n 称为元素 a 的阶,并记为 o(a)。 如果这样 的 n 不存在,则称 a 是无限阶的,记成 o(a) = ∞。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  55. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 . . . . . . . . G 是群,a ∈ G,满足 an = e 的最小整数 n 称为元素 a 的阶,并记为 o(a)。 如果这样 的 n 不存在,则称 a 是无限阶的,记成 o(a) = ∞。 . . . . . . . . . . 1 有限群的元素的阶都是有限的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  56. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 . . . . . . . . G 是群,a ∈ G,满足 an = e 的最小整数 n 称为元素 a 的阶,并记为 o(a)。 如果这样 的 n 不存在,则称 a 是无限阶的,记成 o(a) = ∞。 . . . . . . . . . . 1 有限群的元素的阶都是有限的。 . . . 2 无限群的元素的阶可能是有限的,也可能是无限的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  57. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 . . . . . . . . G 是群,a ∈ G,满足 an = e 的最小整数 n 称为元素 a 的阶,并记为 o(a)。 如果这样 的 n 不存在,则称 a 是无限阶的,记成 o(a) = ∞。 . . . . . . . . . . 1 有限群的元素的阶都是有限的。 . . . 2 无限群的元素的阶可能是有限的,也可能是无限的。 . . . 3 o 这个符号可以替代我们以前的符号 δm(a)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  58. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . . . . 1 群 (Z, +) 中 3 的阶? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  59. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . . . . 1 群 (Z, +) 中 3 的阶? . . . 2 群 (Z4, +) 中 [2] 的阶? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  60. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . 交换性 . 定义 . . . . . . . . G 是群,如果 ∀a, b ∈ G,满足 ab = ba, 则称 G 是交换群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  61. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . 交换性 . 定义 . . . . . . . . G 是群,如果 ∀a, b ∈ G,满足 ab = ba, 则称 G 是交换群。 . . . . . . . 前面给的例子中,那些是交换群,那些是非交换群? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  62. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 为群,a, b, c, d, x, y ∈ G,则 . . . 1 若 xa = xb,则 a = b —左消去律 . . . 2 若 ay = by,则 a = b —右消去律 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  63. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 为群,a, b, c, d, x, y ∈ G,则 . . . 1 若 xa = xb,则 a = b —左消去律 . . . 2 若 ay = by,则 a = b —右消去律 . . . . . . . 证明: . . . 1 xa = xb 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  64. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 为群,a, b, c, d, x, y ∈ G,则 . . . 1 若 xa = xb,则 a = b —左消去律 . . . 2 若 ay = by,则 a = b —右消去律 . . . . . . . 证明: . . . 1 xa = xb ⇒ x−1(xa) = x−1(xb) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  65. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 为群,a, b, c, d, x, y ∈ G,则 . . . 1 若 xa = xb,则 a = b —左消去律 . . . 2 若 ay = by,则 a = b —右消去律 . . . . . . . 证明: . . . 1 xa = xb ⇒ x−1(xa) = x−1(xb) ⇒ (x−1x)a = (x−1x)b 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  66. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 为群,a, b, c, d, x, y ∈ G,则 . . . 1 若 xa = xb,则 a = b —左消去律 . . . 2 若 ay = by,则 a = b —右消去律 . . . . . . . 证明: . . . 1 xa = xb ⇒ x−1(xa) = x−1(xb) ⇒ (x−1x)a = (x−1x)b ⇒ ea = eb 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  67. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 为群,a, b, c, d, x, y ∈ G,则 . . . 1 若 xa = xb,则 a = b —左消去律 . . . 2 若 ay = by,则 a = b —右消去律 . . . . . . . 证明: . . . 1 xa = xb ⇒ x−1(xa) = x−1(xb) ⇒ (x−1x)a = (x−1x)b ⇒ ea = eb ⇒ a = b 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  68. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 为群,a, b, c, d, x, y ∈ G,则 . . . 1 若 xa = xb,则 a = b —左消去律 . . . 2 若 ay = by,则 a = b —右消去律 . . . . . . . 证明: . . . 1 xa = xb ⇒ x−1(xa) = x−1(xb) ⇒ (x−1x)a = (x−1x)b ⇒ ea = eb ⇒ a = b . . . 2 类似 1。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  69. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 (子群) . . . . . . . . G 是一个群,H 是 G 的一个非空子集。如果 H 关于 G 的乘 法也构成一个群,则称 H 为 G 的一个子群,记为 H G. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  70. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 (子群) . . . . . . . . G 是一个群,H 是 G 的一个非空子集。如果 H 关于 G 的乘 法也构成一个群,则称 H 为 G 的一个子群,记为 H G. 当 H = G 时,称 H 为 G 的真子群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  71. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 (子群) . . . . . . . . G 是一个群,H 是 G 的一个非空子集。如果 H 关于 G 的乘 法也构成一个群,则称 H 为 G 的一个子群,记为 H G. 当 H = G 时,称 H 为 G 的真子群。 . . . . . . . 这意味着: . . . 1 G 的二元运算限制在 H 上,是 H 的二元运算. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  72. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 (子群) . . . . . . . . G 是一个群,H 是 G 的一个非空子集。如果 H 关于 G 的乘 法也构成一个群,则称 H 为 G 的一个子群,记为 H G. 当 H = G 时,称 H 为 G 的真子群。 . . . . . . . 这意味着: . . . 1 G 的二元运算限制在 H 上,是 H 的二元运算. 设 a, b ∈ H,有 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  73. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 (子群) . . . . . . . . G 是一个群,H 是 G 的一个非空子集。如果 H 关于 G 的乘 法也构成一个群,则称 H 为 G 的一个子群,记为 H G. 当 H = G 时,称 H 为 G 的真子群。 . . . . . . . 这意味着: . . . 1 G 的二元运算限制在 H 上,是 H 的二元运算. 设 a, b ∈ H,有 ◦(a, b) ∈ H, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  74. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 (子群) . . . . . . . . G 是一个群,H 是 G 的一个非空子集。如果 H 关于 G 的乘 法也构成一个群,则称 H 为 G 的一个子群,记为 H G. 当 H = G 时,称 H 为 G 的真子群。 . . . . . . . 这意味着: . . . 1 G 的二元运算限制在 H 上,是 H 的二元运算. 设 a, b ∈ H,有 ◦(a, b) ∈ H, or a ◦ b ∈ H 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  75. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 (子群) . . . . . . . . G 是一个群,H 是 G 的一个非空子集。如果 H 关于 G 的乘 法也构成一个群,则称 H 为 G 的一个子群,记为 H G. 当 H = G 时,称 H 为 G 的真子群。 . . . . . . . 这意味着: . . . 1 G 的二元运算限制在 H 上,是 H 的二元运算. 设 a, b ∈ H,有 ◦(a, b) ∈ H, or a ◦ b ∈ H or ◦ (H × H) ⊂ H 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  76. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定义 (子群) . . . . . . . . G 是一个群,H 是 G 的一个非空子集。如果 H 关于 G 的乘 法也构成一个群,则称 H 为 G 的一个子群,记为 H G. 当 H = G 时,称 H 为 G 的真子群。 . . . . . . . 这意味着: . . . 1 G 的二元运算限制在 H 上,是 H 的二元运算. 设 a, b ∈ H,有 ◦(a, b) ∈ H, or a ◦ b ∈ H or ◦ (H × H) ⊂ H . . . 2 H 在 ◦ 下构成一个群 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  77. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 为群,H 是 G 的非空子集,则下列条件等价 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  78. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 为群,H 是 G 的非空子集,则下列条件等价 . . . 1 H 是 G 的子群; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  79. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 为群,H 是 G 的非空子集,则下列条件等价 . . . 1 H 是 G 的子群; . . . 2 ∀a, b ∈ H,有 ab ∈ H, b−1 ∈ H; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  80. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 为群,H 是 G 的非空子集,则下列条件等价 . . . 1 H 是 G 的子群; . . . 2 ∀a, b ∈ H,有 ab ∈ H, b−1 ∈ H; . . . 3 ∀a, b ∈ H,有 ab−1 ∈ H。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  81. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . H 是 G 的子群 =⇒ ∀a, b ∈ H,有 ab ∈ H, b−1 ∈ H 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  82. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . H 是 G 的子群 =⇒ ∀a, b ∈ H,有 ab ∈ H, b−1 ∈ H . . . . . . . . . . 1 ∀a, b ∈ H,由于子群的封闭性,显然有 ab ∈ H; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  83. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . H 是 G 的子群 =⇒ ∀a, b ∈ H,有 ab ∈ H, b−1 ∈ H . . . . . . . . . . 1 ∀a, b ∈ H,由于子群的封闭性,显然有 ab ∈ H; . . . 2 H 中的 e 就是 G 中的 e, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  84. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . H 是 G 的子群 =⇒ ∀a, b ∈ H,有 ab ∈ H, b−1 ∈ H . . . . . . . . . . 1 ∀a, b ∈ H,由于子群的封闭性,显然有 ab ∈ H; . . . 2 H 中的 e 就是 G 中的 e,这是因为,对任意 a ∈ H, 有 e a = ea ⇒ e = e 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  85. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . H 是 G 的子群 =⇒ ∀a, b ∈ H,有 ab ∈ H, b−1 ∈ H . . . . . . . . . . 1 ∀a, b ∈ H,由于子群的封闭性,显然有 ab ∈ H; . . . 2 H 中的 e 就是 G 中的 e,这是因为,对任意 a ∈ H, 有 e a = ea ⇒ e = e . . . 3 设 b 在 H 中的逆为 b ,有 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  86. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . H 是 G 的子群 =⇒ ∀a, b ∈ H,有 ab ∈ H, b−1 ∈ H . . . . . . . . . . 1 ∀a, b ∈ H,由于子群的封闭性,显然有 ab ∈ H; . . . 2 H 中的 e 就是 G 中的 e,这是因为,对任意 a ∈ H, 有 e a = ea ⇒ e = e . . . 3 设 b 在 H 中的逆为 b ,有 bb = e ⇒ b−1bb = b−1e 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  87. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . H 是 G 的子群 =⇒ ∀a, b ∈ H,有 ab ∈ H, b−1 ∈ H . . . . . . . . . . 1 ∀a, b ∈ H,由于子群的封闭性,显然有 ab ∈ H; . . . 2 H 中的 e 就是 G 中的 e,这是因为,对任意 a ∈ H, 有 e a = ea ⇒ e = e . . . 3 设 b 在 H 中的逆为 b ,有 bb = e ⇒ b−1bb = b−1e ⇒ b = b−1 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  88. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H,有 ab ∈ H, b−1 ∈ H =⇒ ∀a, b ∈ H,有 ab−1 ∈ H. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  89. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H,有 ab ∈ H, b−1 ∈ H =⇒ ∀a, b ∈ H,有 ab−1 ∈ H. . . . . . . . . . . 1 已知 ∀x, y ∈ H, 有 y−1 ∈ H, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  90. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H,有 ab ∈ H, b−1 ∈ H =⇒ ∀a, b ∈ H,有 ab−1 ∈ H. . . . . . . . . . . 1 已知 ∀x, y ∈ H, 有 y−1 ∈ H, 所以 ∀a, b ∈ H,有 b−1 ∈ H。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  91. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H,有 ab ∈ H, b−1 ∈ H =⇒ ∀a, b ∈ H,有 ab−1 ∈ H. . . . . . . . . . . 1 已知 ∀x, y ∈ H, 有 y−1 ∈ H, 所以 ∀a, b ∈ H,有 b−1 ∈ H。 . . . 2 已知 ∀x, y ∈ H,有 xy ∈ H, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  92. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H,有 ab ∈ H, b−1 ∈ H =⇒ ∀a, b ∈ H,有 ab−1 ∈ H. . . . . . . . . . . 1 已知 ∀x, y ∈ H, 有 y−1 ∈ H, 所以 ∀a, b ∈ H,有 b−1 ∈ H。 . . . 2 已知 ∀x, y ∈ H,有 xy ∈ H,现 知 ∀a, b ∈ H 有 a, b−1 ∈ H, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  93. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H,有 ab ∈ H, b−1 ∈ H =⇒ ∀a, b ∈ H,有 ab−1 ∈ H. . . . . . . . . . . 1 已知 ∀x, y ∈ H, 有 y−1 ∈ H, 所以 ∀a, b ∈ H,有 b−1 ∈ H。 . . . 2 已知 ∀x, y ∈ H,有 xy ∈ H,现 知 ∀a, b ∈ H 有 a, b−1 ∈ H, 所以 有 ab−1 ∈ H。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  94. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H,有 ab−1 ∈ H ⇒ H 是子群 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  95. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H,有 ab−1 ∈ H ⇒ H 是子群 . . . . . . . . . . 1 ∀a, a ∈ H, 有 aa−1 ∈ H 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  96. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H,有 ab−1 ∈ H ⇒ H 是子群 . . . . . . . . . . 1 ∀a, a ∈ H, 有 aa−1 ∈ H ⇒ e ∈ H, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  97. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H,有 ab−1 ∈ H ⇒ H 是子群 . . . . . . . . . . 1 ∀a, a ∈ H, 有 aa−1 ∈ H ⇒ e ∈ H,e 在 H 中,它显然 是 H 的单位元。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  98. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H,有 ab−1 ∈ H ⇒ H 是子群 . . . . . . . . . . 1 ∀a, a ∈ H, 有 aa−1 ∈ H ⇒ e ∈ H,e 在 H 中,它显然 是 H 的单位元。 . . . 2 ∀b ∈ H,有 e, b ∈ H, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  99. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H,有 ab−1 ∈ H ⇒ H 是子群 . . . . . . . . . . 1 ∀a, a ∈ H, 有 aa−1 ∈ H ⇒ e ∈ H,e 在 H 中,它显然 是 H 的单位元。 . . . 2 ∀b ∈ H,有 e, b ∈ H,得 eb−1 ∈ H, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  100. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H,有 ab−1 ∈ H ⇒ H 是子群 . . . . . . . . . . 1 ∀a, a ∈ H, 有 aa−1 ∈ H ⇒ e ∈ H,e 在 H 中,它显然 是 H 的单位元。 . . . 2 ∀b ∈ H,有 e, b ∈ H,得 eb−1 ∈ H,即 b−1 ∈ H。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  101. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H,有 ab−1 ∈ H ⇒ H 是子群 . . . . . . . . . . 1 ∀a, a ∈ H, 有 aa−1 ∈ H ⇒ e ∈ H,e 在 H 中,它显然 是 H 的单位元。 . . . 2 ∀b ∈ H,有 e, b ∈ H,得 eb−1 ∈ H,即 b−1 ∈ H。H 中 的元有逆元。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  102. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H,有 ab−1 ∈ H ⇒ H 是子群 . . . . . . . . . . 1 ∀a, a ∈ H, 有 aa−1 ∈ H ⇒ e ∈ H,e 在 H 中,它显然 是 H 的单位元。 . . . 2 ∀b ∈ H,有 e, b ∈ H,得 eb−1 ∈ H,即 b−1 ∈ H。H 中 的元有逆元。 . . . 3 ∀a, b ∈ H ⇒ a, b−1 ∈ H 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  103. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H,有 ab−1 ∈ H ⇒ H 是子群 . . . . . . . . . . 1 ∀a, a ∈ H, 有 aa−1 ∈ H ⇒ e ∈ H,e 在 H 中,它显然 是 H 的单位元。 . . . 2 ∀b ∈ H,有 e, b ∈ H,得 eb−1 ∈ H,即 b−1 ∈ H。H 中 的元有逆元。 . . . 3 ∀a, b ∈ H ⇒ a, b−1 ∈ H ⇒ a(b−1)−1 ∈ H 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  104. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H,有 ab−1 ∈ H ⇒ H 是子群 . . . . . . . . . . 1 ∀a, a ∈ H, 有 aa−1 ∈ H ⇒ e ∈ H,e 在 H 中,它显然 是 H 的单位元。 . . . 2 ∀b ∈ H,有 e, b ∈ H,得 eb−1 ∈ H,即 b−1 ∈ H。H 中 的元有逆元。 . . . 3 ∀a, b ∈ H ⇒ a, b−1 ∈ H ⇒ a(b−1)−1 ∈ H,即 ab ∈ H。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  105. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H,有 ab−1 ∈ H ⇒ H 是子群 . . . . . . . . . . 1 ∀a, a ∈ H, 有 aa−1 ∈ H ⇒ e ∈ H,e 在 H 中,它显然 是 H 的单位元。 . . . 2 ∀b ∈ H,有 e, b ∈ H,得 eb−1 ∈ H,即 b−1 ∈ H。H 中 的元有逆元。 . . . 3 ∀a, b ∈ H ⇒ a, b−1 ∈ H ⇒ a(b−1)−1 ∈ H,即 ab ∈ H。H 的乘法满足 封闭性。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  106. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . . . . . . . 在子群的三个等价条件中,第二个条件 ab−1 ∈ G 需要的验证 工作最少,也最常用. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  107. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  108. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . . . . 1 (Z, +) 是 (R, +) 的一个子群. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  109. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . . . . 1 (Z, +) 是 (R, +) 的一个子群. . . . 2 (R, +) 是 (C, +) 的一个子群. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  110. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . . . . 1 (Z, +) 是 (R, +) 的一个子群. . . . 2 (R, +) 是 (C, +) 的一个子群. . . . 3 令 mZ 表示 Z 中全体 m 的倍数的集合,则 (mZ, +) 是 (Z, +) 的子群. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  111. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 是一个群,{Hi | i ∈ I} 是 G 的一个子群簇,则 ∪i∈IHi 也是 G 的子群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  112. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 是一个群,{Hi | i ∈ I} 是 G 的一个子群簇,则 ∪i∈IHi 也是 G 的子群。 . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  113. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 是一个群,{Hi | i ∈ I} 是 G 的一个子群簇,则 ∪i∈IHi 也是 G 的子群。 . . . . . . . . . . 1 有限个的情形,递归。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  114. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 是一个群,{Hi | i ∈ I} 是 G 的一个子群簇,则 ∪i∈IHi 也是 G 的子群。 . . . . . . . . . . 1 有限个的情形,递归。 . . . 2 无限个的情形,直接验证。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  115. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ,(G, +) 是群。令 H = { [0], [2], [4], [6], [8], [10] } ⊆ G, 试证明 H 是 G 的子群。 + [0] [2] [4] [6] [8] [10] [0] 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  116. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ,(G, +) 是群。令 H = { [0], [2], [4], [6], [8], [10] } ⊆ G, 试证明 H 是 G 的子群。 + [0] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [0] [2] [4] [6] [8] [10] [2] 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  117. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ,(G, +) 是群。令 H = { [0], [2], [4], [6], [8], [10] } ⊆ G, 试证明 H 是 G 的子群。 + [0] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [0] [2] [4] [6] [8] [10] [2] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [4] 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  118. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ,(G, +) 是群。令 H = { [0], [2], [4], [6], [8], [10] } ⊆ G, 试证明 H 是 G 的子群。 + [0] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [0] [2] [4] [6] [8] [10] [2] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [4] [4] [6] [8] [10] [0] [2] [6] 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  119. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ,(G, +) 是群。令 H = { [0], [2], [4], [6], [8], [10] } ⊆ G, 试证明 H 是 G 的子群。 + [0] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [0] [2] [4] [6] [8] [10] [2] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [4] [4] [6] [8] [10] [0] [2] [6] [6] [8] [10] [0] [2] [4] [8] 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  120. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ,(G, +) 是群。令 H = { [0], [2], [4], [6], [8], [10] } ⊆ G, 试证明 H 是 G 的子群。 + [0] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [0] [2] [4] [6] [8] [10] [2] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [4] [4] [6] [8] [10] [0] [2] [6] [6] [8] [10] [0] [2] [4] [8] [8] [10] [0] [2] [4] [6] [10] 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  121. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ,(G, +) 是群。令 H = { [0], [2], [4], [6], [8], [10] } ⊆ G, 试证明 H 是 G 的子群。 + [0] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [0] [2] [4] [6] [8] [10] [2] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [4] [4] [6] [8] [10] [0] [2] [6] [6] [8] [10] [0] [2] [4] [8] [8] [10] [0] [2] [4] [6] [10] [10] [0] [2] [4] [6] [8] 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  122. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ,(G, +) 是群。令 H = { [0], [2], [4], [6], [8], [10] } ⊆ G, 试证明 H 是 G 的子群。 + [0] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [0] [2] [4] [6] [8] [10] [2] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [4] [4] [6] [8] [10] [0] [2] [6] [6] [8] [10] [0] [2] [4] [8] [8] [10] [0] [2] [4] [6] [10] [10] [0] [2] [4] [6] [8] . . . 1 列出加法表; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  123. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ,(G, +) 是群。令 H = { [0], [2], [4], [6], [8], [10] } ⊆ G, 试证明 H 是 G 的子群。 + [0] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [0] [2] [4] [6] [8] [10] [2] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [4] [4] [6] [8] [10] [0] [2] [6] [6] [8] [10] [0] [2] [4] [8] [8] [10] [0] [2] [4] [6] [10] [10] [0] [2] [4] [6] [8] . . . 1 列出加法表; . . . 2 满足封闭性; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  124. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ,(G, +) 是群。令 H = { [0], [2], [4], [6], [8], [10] } ⊆ G, 试证明 H 是 G 的子群。 + [0] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [0] [2] [4] [6] [8] [10] [2] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [4] [4] [6] [8] [10] [0] [2] [6] [6] [8] [10] [0] [2] [4] [8] [8] [10] [0] [2] [4] [6] [10] [10] [0] [2] [4] [6] [8] . . . 1 列出加法表; . . . 2 满足封闭性; . . . 3 [0] 是单位元; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  125. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ,(G, +) 是群。令 H = { [0], [2], [4], [6], [8], [10] } ⊆ G, 试证明 H 是 G 的子群。 + [0] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [0] [2] [4] [6] [8] [10] [2] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [4] [4] [6] [8] [10] [0] [2] [6] [6] [8] [10] [0] [2] [4] [8] [8] [10] [0] [2] [4] [6] [10] [10] [0] [2] [4] [6] [8] . . . 1 列出加法表; . . . 2 满足封闭性; . . . 3 [0] 是单位元; . . . 4 每行每列都有单 位元 [0],所以每 个元素都有逆。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  126. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ,(G, +) 是群。令 H = { [0], [1], [2], [3], [4], [5] } ⊆ G, 试证明 H 不是 G 的子群。 + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  127. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ,(G, +) 是群。令 H = { [0], [1], [2], [3], [4], [5] } ⊆ G, 试证明 H 不是 G 的子群。 + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [1] 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  128. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ,(G, +) 是群。令 H = { [0], [1], [2], [3], [4], [5] } ⊆ G, 试证明 H 不是 G 的子群。 + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [2] 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  129. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ,(G, +) 是群。令 H = { [0], [1], [2], [3], [4], [5] } ⊆ G, 试证明 H 不是 G 的子群。 + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [3] 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  130. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ,(G, +) 是群。令 H = { [0], [1], [2], [3], [4], [5] } ⊆ G, 试证明 H 不是 G 的子群。 + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [3] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [4] 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  131. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ,(G, +) 是群。令 H = { [0], [1], [2], [3], [4], [5] } ⊆ G, 试证明 H 不是 G 的子群。 + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [3] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [4] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [5] 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  132. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ,(G, +) 是群。令 H = { [0], [1], [2], [3], [4], [5] } ⊆ G, 试证明 H 不是 G 的子群。 + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [3] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [4] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [5] [5] [6] [7] [8] [9] [10] 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  133. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ,(G, +) 是群。令 H = { [0], [1], [2], [3], [4], [5] } ⊆ G, 试证明 H 不是 G 的子群。 + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [3] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [4] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [5] [5] [6] [7] [8] [9] [10] . . . 1 列出加法表; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  134. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 代数运算与二元运算

    群的定义 子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ,(G, +) 是群。令 H = { [0], [1], [2], [3], [4], [5] } ⊆ G, 试证明 H 不是 G 的子群。 + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [3] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [4] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [5] [5] [6] [7] [8] [9] [10] . . . 1 列出加法表; . . . 2 不满足封闭性,红色 部分“越界”; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  135. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 .

    . . . . . . §6.2 群的乘法表 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  136. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 .

    . . . . . . ◦ a1 a2 a3 a4 a5 a1 a2 1 a1a2 a1a3 a1a4 a1a5 a2 a2a1 a2 2 a2a3 a2a4 a2a5 a3 a3a1 a3a2 a2 3 a3a4 a3a5 a4 a4a1 a4a2 a4a3 a2 4 a4a5 a5 a5a1 a5a2 a5a3 a5a4 a2 5 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  137. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 .

    . . . . . . ◦ a1 a2 a3 a4 a5 a1 a2 1 a1a2 a1a3 a1a4 a1a5 a2 a2a1 a2 2 a2a3 a2a4 a2a5 a3 a3a1 a3a2 a2 3 a3a4 a3a5 a4 a4a1 a4a2 a4a3 a2 4 a4a5 a5 a5a1 a5a2 a5a3 a5a4 a2 5 . . . . . . . . . . 1 每行,每列都包含所有元素 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  138. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 .

    . . . . . . ◦ a1 a2 a3 a4 a5 a1 a2 1 a1a2 a1a3 a1a4 a1a5 a2 a2a1 a2 2 a2a3 a2a4 a2a5 a3 a3a1 a3a2 a2 3 a3a4 a3a5 a4 a4a1 a4a2 a4a3 a2 4 a4a5 a5 a5a1 a5a2 a5a3 a5a4 a2 5 . . . . . . . . . . 1 每行,每列都包含所有元素 . . . 2 对应单位元的行列有什么特点? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  139. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 .

    . . . . . . ◦ a1 a2 a3 a4 a5 a1 a2 1 a1a2 a1a3 a1a4 a1a5 a2 a2a1 a2 2 a2a3 a2a4 a2a5 a3 a3a1 a3a2 a2 3 a3a4 a3a5 a4 a4a1 a4a2 a4a3 a2 4 a4a5 a5 a5a1 a5a2 a5a3 a5a4 a2 5 . . . . . . . . . . 1 每行,每列都包含所有元素 . . . 2 对应单位元的行列有什么特点? . . . 3 如何判断交换律是否成立? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  140. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 .

    Example . . . . . . . . G = {e, a, b},G 中元素的乘法定义为: ee = e, ea = ae = a, eb = be = b, aa = b, bb = a, ab = ba = e。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  141. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 .

    Example . . . . . . . . G = {e, a, b},G 中元素的乘法定义为: ee = e, ea = ae = a, eb = be = b, aa = b, bb = a, ab = ba = e。 · e a b e e a b a a b e b b e a 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  142. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 .

    Example . . . . . . . . G = {e, a, b},G 中元素的乘法定义为: ee = e, ea = ae = a, eb = be = b, aa = b, bb = a, ab = ba = e。 · e a b e e a b a a b e b b e a . . . 1 满足封闭性; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  143. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 .

    Example . . . . . . . . G = {e, a, b},G 中元素的乘法定义为: ee = e, ea = ae = a, eb = be = b, aa = b, bb = a, ab = ba = e。 · e a b e e a b a a b e b b e a . . . 1 满足封闭性; . . . 2 e 是单位元; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  144. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 .

    Example . . . . . . . . G = {e, a, b},G 中元素的乘法定义为: ee = e, ea = ae = a, eb = be = b, aa = b, bb = a, ab = ba = e。 · e a b e e a b a a b e b b e a . . . 1 满足封闭性; . . . 2 e 是单位元; . . . 3 每行每列都有 e,有逆; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  145. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 .

    Example . . . . . . . . G = {e, a, b},G 中元素的乘法定义为: ee = e, ea = ae = a, eb = be = b, aa = b, bb = a, ab = ba = e。 · e a b e e a b a a b e b b e a . . . 1 满足封闭性; . . . 2 e 是单位元; . . . 3 每行每列都有 e,有逆; . . . 4 表是对称的,这是个交换群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  146. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 .

    Example . . . . . . . . 考虑中心在原点,边与坐标轴平行的 正方形 ABCD,设 . . . 1 R 表示将正方形 ABCD 按逆时 针方向旋转 π 2 的变换; . . . 2 Tx, Ty, TAC, TBD 表示分别以 x 轴,y 轴,直线 AC 和 直 线 BD 为对称轴的反射变换, . . . 3 I 为恒等变换。 D4 = {I, R, R2, R3, Tx, Ty, TAC, TBD}, 则 D4 构成群吗? . . A . D . C . B . O . x . y 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  147. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 .

    . A . D . C . B . x . y · I R R2 R3 Tx Ty TAC TBD I I R R2 R3 Tx Ty TAC TBD R R R2 R3 I TAC TBD Ty Tx R2 R2 R3 I R Ty Tx TBD TAC R3 R3 I R R2 TBD TAC Tx Ty Tx Tx TBD Ty TAC I R2 R3 R Ty Ty TAC Tx TBD R2 I R R3 TAC TAC Tx TBD Ty R R3 I R2 TBD TBD Ty TAC Tx R3 R R2 I 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  148. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 .

    Example . . . . . . . . 设复数域上的 4 个二阶矩阵为 I, A = ( i 0 0 −i ) , B = ( 0 1 −1 0 ) , C = ( 0 i i 0 ) , 令 H = {±I, ±A, ±B, ±C},H 对矩阵乘法构成群吗? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  149. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 .

    Example . . . . . . . . 设复数域上的 4 个二阶矩阵为 I, A = ( i 0 0 −i ) , B = ( 0 1 −1 0 ) , C = ( 0 i i 0 ) , 令 H = {±I, ±A, ±B, ±C},H 对矩阵乘法构成群吗? . . . . . . . . . . 1 矩阵乘法满足结合律; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  150. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 .

    Example . . . . . . . . 设复数域上的 4 个二阶矩阵为 I, A = ( i 0 0 −i ) , B = ( 0 1 −1 0 ) , C = ( 0 i i 0 ) , 令 H = {±I, ±A, ±B, ±C},H 对矩阵乘法构成群吗? . . . . . . . . . . 1 矩阵乘法满足结合律; . . . 2 可以验证出 H 的乘法是封闭的; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  151. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 .

    Example . . . . . . . . 设复数域上的 4 个二阶矩阵为 I, A = ( i 0 0 −i ) , B = ( 0 1 −1 0 ) , C = ( 0 i i 0 ) , 令 H = {±I, ±A, ±B, ±C},H 对矩阵乘法构成群吗? . . . . . . . . . . 1 矩阵乘法满足结合律; . . . 2 可以验证出 H 的乘法是封闭的; . . . 3 I 是单位元; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  152. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 .

    Example . . . . . . . . 设复数域上的 4 个二阶矩阵为 I, A = ( i 0 0 −i ) , B = ( 0 1 −1 0 ) , C = ( 0 i i 0 ) , 令 H = {±I, ±A, ±B, ±C},H 对矩阵乘法构成群吗? . . . . . . . . . . 1 矩阵乘法满足结合律; . . . 2 可以验证出 H 的乘法是封闭的; . . . 3 I 是单位元; . . . 4 A−1 = A, B−1 = −B, C−1 = −C; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  153. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 .

    Example . . . . . . . . 设复数域上的 4 个二阶矩阵为 I, A = ( i 0 0 −i ) , B = ( 0 1 −1 0 ) , C = ( 0 i i 0 ) , 令 H = {±I, ±A, ±B, ±C},H 对矩阵乘法构成群吗? . . . . . . . . . . 1 矩阵乘法满足结合律; . . . 2 可以验证出 H 的乘法是封闭的; . . . 3 I 是单位元; . . . 4 A−1 = A, B−1 = −B, C−1 = −C; 这个群称为四元数群,也称为 Hamilton 群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  154. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . . . . . . . §6.3 变换群、置换群 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  155. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . . . . . . . 本节给出一类重要的群—变换群,并给出著名的 Cayley 定理, 即 从代数的角度来看,任何一个群都是一个变换群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  156. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 . . . . . . . . 设 X 为非空集合,集合 X 到 X 的一对一变换称为双射 变 换,X 上全体双射变换集合记成 T(X)。如果 X 为有限集合, 则称 T(X) 中 的元素为 X 上的置换. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  157. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 . . . . . . . . 设 X 为非空集合,集合 X 到 X 的一对一变换称为双射 变 换,X 上全体双射变换集合记成 T(X)。如果 X 为有限集合, 则称 T(X) 中 的元素为 X 上的置换. . . . . . . . 在 T(X) 中引入一个二元运算 ◦。对任意的 α, β ∈ T(X), 定 义 α ◦ β 为变换 α 与 β 的复合, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  158. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 . . . . . . . . 设 X 为非空集合,集合 X 到 X 的一对一变换称为双射 变 换,X 上全体双射变换集合记成 T(X)。如果 X 为有限集合, 则称 T(X) 中 的元素为 X 上的置换. . . . . . . . 在 T(X) 中引入一个二元运算 ◦。对任意的 α, β ∈ T(X), 定 义 α ◦ β 为变换 α 与 β 的复合,即对任意 x ∈ X,有 α ◦ β(x) = α ( β(x) ) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  159. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 . . . . . . . . 设 X 为非空集合,集合 X 到 X 的一对一变换称为双射 变 换,X 上全体双射变换集合记成 T(X)。如果 X 为有限集合, 则称 T(X) 中 的元素为 X 上的置换. . . . . . . . 在 T(X) 中引入一个二元运算 ◦。对任意的 α, β ∈ T(X), 定 义 α ◦ β 为变换 α 与 β 的复合,即对任意 x ∈ X,有 α ◦ β(x) = α ( β(x) ) 我们把 α ◦ β 简记为 αβ. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  160. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 (变换群) . . . . . . . . 在前面定义的 ◦ 下,T(X) 构成一个群。我们称此群为变换群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  161. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 (变换群) . . . . . . . . 在前面定义的 ◦ 下,T(X) 构成一个群。我们称此群为变换群。 . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  162. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 (变换群) . . . . . . . . 在前面定义的 ◦ 下,T(X) 构成一个群。我们称此群为变换群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性—变换与变换复合仍是变换; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  163. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 (变换群) . . . . . . . . 在前面定义的 ◦ 下,T(X) 构成一个群。我们称此群为变换群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性—变换与变换复合仍是变换; . . . 2 结合律 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  164. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 (变换群) . . . . . . . . 在前面定义的 ◦ 下,T(X) 构成一个群。我们称此群为变换群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性—变换与变换复合仍是变换; . . . 2 结合律 设 α, β, γ ∈ T(X),对于任意 x ∈ X,有 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  165. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 (变换群) . . . . . . . . 在前面定义的 ◦ 下,T(X) 构成一个群。我们称此群为变换群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性—变换与变换复合仍是变换; . . . 2 结合律 设 α, β, γ ∈ T(X),对于任意 x ∈ X,有 (α ◦ β) ◦ γ(x) = α ( β(γ(x)) ) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  166. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 (变换群) . . . . . . . . 在前面定义的 ◦ 下,T(X) 构成一个群。我们称此群为变换群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性—变换与变换复合仍是变换; . . . 2 结合律 设 α, β, γ ∈ T(X),对于任意 x ∈ X,有 (α ◦ β) ◦ γ(x) = α ( β(γ(x)) ) α ◦ (β ◦ γ)(x) = α ( β(γ(x)) ) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  167. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 (变换群) . . . . . . . . 在前面定义的 ◦ 下,T(X) 构成一个群。我们称此群为变换群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性—变换与变换复合仍是变换; . . . 2 结合律 设 α, β, γ ∈ T(X),对于任意 x ∈ X,有 (α ◦ β) ◦ γ(x) = α ( β(γ(x)) ) α ◦ (β ◦ γ)(x) = α ( β(γ(x)) ) . . . 3 单位元—恒等变换; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  168. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 (变换群) . . . . . . . . 在前面定义的 ◦ 下,T(X) 构成一个群。我们称此群为变换群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性—变换与变换复合仍是变换; . . . 2 结合律 设 α, β, γ ∈ T(X),对于任意 x ∈ X,有 (α ◦ β) ◦ γ(x) = α ( β(γ(x)) ) α ◦ (β ◦ γ)(x) = α ( β(γ(x)) ) . . . 3 单位元—恒等变换; . . . 4 逆元—逆变换。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  169. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 . . . . . . . . 若 X 是有限集,则 T(X) 称为置换群。如果 |X| = n,则 T(X) 称为 n 元对称群,记为 Sn 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  170. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 . . . . . . . . 若 X 是有限集,则 T(X) 称为置换群。如果 |X| = n,则 T(X) 称为 n 元对称群,记为 Sn 。 . Example . . . . . . . . n 元对称群的大小是多少? 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  171. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 . . . . . . . . 若 X 是有限集,则 T(X) 称为置换群。如果 |X| = n,则 T(X) 称为 n 元对称群,记为 Sn 。 . Example . . . . . . . . n 元对称群的大小是多少? (大小为 n!) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  172. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 (置换的记号) . . . . . . . . . . . 1 设 X = {x1, x2, . . . , xn},不妨用 1, 2, . . . , n 来表示这 n 个 元素。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  173. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 (置换的记号) . . . . . . . . . . . 1 设 X = {x1, x2, . . . , xn},不妨用 1, 2, . . . , n 来表示这 n 个 元素。 . . . 2 若 σ ∈ T(X) = Sn 满足: σ(1) = i1, σ(2) = i2, . . . , σ(n) = in, 则此变换可以记为 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  174. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 (置换的记号) . . . . . . . . . . . 1 设 X = {x1, x2, . . . , xn},不妨用 1, 2, . . . , n 来表示这 n 个 元素。 . . . 2 若 σ ∈ T(X) = Sn 满足: σ(1) = i1, σ(2) = i2, . . . , σ(n) = in, 则此变换可以记为 ( 1 2 3 · · · n i1 i2 i3 · · · in ) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  175. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 写出 S3 的全部元素. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  176. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 写出 S3 的全部元素. . . . . . . . ( 1 2 3 1 2 3 ) , 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  177. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 写出 S3 的全部元素. . . . . . . . ( 1 2 3 1 2 3 ) , ( 1 2 3 1 3 2 ) , 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  178. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 写出 S3 的全部元素. . . . . . . . ( 1 2 3 1 2 3 ) , ( 1 2 3 1 3 2 ) , ( 1 2 3 2 1 3 ) , 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  179. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 写出 S3 的全部元素. . . . . . . . ( 1 2 3 1 2 3 ) , ( 1 2 3 1 3 2 ) , ( 1 2 3 2 1 3 ) , ( 1 2 3 2 3 1 ) , 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  180. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 写出 S3 的全部元素. . . . . . . . ( 1 2 3 1 2 3 ) , ( 1 2 3 1 3 2 ) , ( 1 2 3 2 1 3 ) , ( 1 2 3 2 3 1 ) , ( 1 2 3 3 1 2 ) , 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  181. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 写出 S3 的全部元素. . . . . . . . ( 1 2 3 1 2 3 ) , ( 1 2 3 1 3 2 ) , ( 1 2 3 2 1 3 ) , ( 1 2 3 2 3 1 ) , ( 1 2 3 3 1 2 ) , ( 1 2 3 3 2 1 ) 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  182. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 求 S3 中两元素 α = ( 1 2 3 2 3 1 ) , β = ( 1 2 3 1 3 2 ) 乘积。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  183. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 求 S3 中两元素 α = ( 1 2 3 2 3 1 ) , β = ( 1 2 3 1 3 2 ) 乘积。 . . . . . . . αβ(1) = 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  184. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 求 S3 中两元素 α = ( 1 2 3 2 3 1 ) , β = ( 1 2 3 1 3 2 ) 乘积。 . . . . . . . αβ(1) = α ( β(1) ) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  185. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 求 S3 中两元素 α = ( 1 2 3 2 3 1 ) , β = ( 1 2 3 1 3 2 ) 乘积。 . . . . . . . αβ(1) = α ( β(1) ) = α(1) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  186. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 求 S3 中两元素 α = ( 1 2 3 2 3 1 ) , β = ( 1 2 3 1 3 2 ) 乘积。 . . . . . . . αβ(1) = α ( β(1) ) = α(1) = 2 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  187. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 求 S3 中两元素 α = ( 1 2 3 2 3 1 ) , β = ( 1 2 3 1 3 2 ) 乘积。 . . . . . . . αβ(1) = α ( β(1) ) = α(1) = 2 αβ(2) = 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  188. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 求 S3 中两元素 α = ( 1 2 3 2 3 1 ) , β = ( 1 2 3 1 3 2 ) 乘积。 . . . . . . . αβ(1) = α ( β(1) ) = α(1) = 2 αβ(2) = α ( β(2) ) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  189. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 求 S3 中两元素 α = ( 1 2 3 2 3 1 ) , β = ( 1 2 3 1 3 2 ) 乘积。 . . . . . . . αβ(1) = α ( β(1) ) = α(1) = 2 αβ(2) = α ( β(2) ) = α(3) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  190. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 求 S3 中两元素 α = ( 1 2 3 2 3 1 ) , β = ( 1 2 3 1 3 2 ) 乘积。 . . . . . . . αβ(1) = α ( β(1) ) = α(1) = 2 αβ(2) = α ( β(2) ) = α(3) = 1 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  191. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 求 S3 中两元素 α = ( 1 2 3 2 3 1 ) , β = ( 1 2 3 1 3 2 ) 乘积。 . . . . . . . αβ(1) = α ( β(1) ) = α(1) = 2 αβ(2) = α ( β(2) ) = α(3) = 1 αβ(3) = 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  192. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 求 S3 中两元素 α = ( 1 2 3 2 3 1 ) , β = ( 1 2 3 1 3 2 ) 乘积。 . . . . . . . αβ(1) = α ( β(1) ) = α(1) = 2 αβ(2) = α ( β(2) ) = α(3) = 1 αβ(3) = α ( β(3) ) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  193. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 求 S3 中两元素 α = ( 1 2 3 2 3 1 ) , β = ( 1 2 3 1 3 2 ) 乘积。 . . . . . . . αβ(1) = α ( β(1) ) = α(1) = 2 αβ(2) = α ( β(2) ) = α(3) = 1 αβ(3) = α ( β(3) ) = α(2) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  194. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 求 S3 中两元素 α = ( 1 2 3 2 3 1 ) , β = ( 1 2 3 1 3 2 ) 乘积。 . . . . . . . αβ(1) = α ( β(1) ) = α(1) = 2 αβ(2) = α ( β(2) ) = α(3) = 1 αβ(3) = α ( β(3) ) = α(2) = 3 所以有 αβ = ( 1 2 3 2 1 3 ) , 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  195. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 求 S3 中两元素 α = ( 1 2 3 2 3 1 ) , β = ( 1 2 3 1 3 2 ) 乘积。 . . . . . . . αβ(1) = α ( β(1) ) = α(1) = 2 αβ(2) = α ( β(2) ) = α(3) = 1 αβ(3) = α ( β(3) ) = α(2) = 3 所以有 αβ = ( 1 2 3 2 1 3 ) , 类似地 βα = ( 1 2 3 3 2 1 ) . 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  196. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 (循环置换) . . . . . . . . 设 σ 是集合 {1, 2, . . . , n} 上的一个置换,若有一个子集合 {i1, . . . , ir} 存在, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  197. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 (循环置换) . . . . . . . . 设 σ 是集合 {1, 2, . . . , n} 上的一个置换,若有一个子集合 {i1, . . . , ir} 存在,使得 σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, · · · , σ(ir−1) = ir, σ(ir) = i1. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  198. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 (循环置换) . . . . . . . . 设 σ 是集合 {1, 2, . . . , n} 上的一个置换,若有一个子集合 {i1, . . . , ir} 存在,使得 σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, · · · , σ(ir−1) = ir, σ(ir) = i1. 此外 σ 保持其它元素不动。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  199. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 (循环置换) . . . . . . . . 设 σ 是集合 {1, 2, . . . , n} 上的一个置换,若有一个子集合 {i1, . . . , ir} 存在,使得 σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, · · · , σ(ir−1) = ir, σ(ir) = i1. 此外 σ 保持其它元素不动。则称 σ 是 {1, 2, . . . , n} 上的一个循 环置换, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  200. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 (循环置换) . . . . . . . . 设 σ 是集合 {1, 2, . . . , n} 上的一个置换,若有一个子集合 {i1, . . . , ir} 存在,使得 σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, · · · , σ(ir−1) = ir, σ(ir) = i1. 此外 σ 保持其它元素不动。则称 σ 是 {1, 2, . . . , n} 上的一个循 环置换,并将 σ 记为 (i1i2 . . . ir). 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  201. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 (循环置换) . . . . . . . . 设 σ 是集合 {1, 2, . . . , n} 上的一个置换,若有一个子集合 {i1, . . . , ir} 存在,使得 σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, · · · , σ(ir−1) = ir, σ(ir) = i1. 此外 σ 保持其它元素不动。则称 σ 是 {1, 2, . . . , n} 上的一个循 环置换,并将 σ 记为 (i1i2 . . . ir). . . . . . . . i1 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  202. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 (循环置换) . . . . . . . . 设 σ 是集合 {1, 2, . . . , n} 上的一个置换,若有一个子集合 {i1, . . . , ir} 存在,使得 σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, · · · , σ(ir−1) = ir, σ(ir) = i1. 此外 σ 保持其它元素不动。则称 σ 是 {1, 2, . . . , n} 上的一个循 环置换,并将 σ 记为 (i1i2 . . . ir). . . . . . . . i1 → i2 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  203. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 (循环置换) . . . . . . . . 设 σ 是集合 {1, 2, . . . , n} 上的一个置换,若有一个子集合 {i1, . . . , ir} 存在,使得 σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, · · · , σ(ir−1) = ir, σ(ir) = i1. 此外 σ 保持其它元素不动。则称 σ 是 {1, 2, . . . , n} 上的一个循 环置换,并将 σ 记为 (i1i2 . . . ir). . . . . . . . i1 → i2 → · · · → ir 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  204. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 (循环置换) . . . . . . . . 设 σ 是集合 {1, 2, . . . , n} 上的一个置换,若有一个子集合 {i1, . . . , ir} 存在,使得 σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, · · · , σ(ir−1) = ir, σ(ir) = i1. 此外 σ 保持其它元素不动。则称 σ 是 {1, 2, . . . , n} 上的一个循 环置换,并将 σ 记为 (i1i2 . . . ir). . . . . . . . i1 → i2 → · · · → ir → i1 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  205. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 . . . . . . . . . . . 1 设 σ = (i1i2 · · · ir) 是一个循环置换,则称 i1, i2, . . . , ir 在 σ 中,而其它元素不在 σ 中; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  206. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 . . . . . . . . . . . 1 设 σ = (i1i2 · · · ir) 是一个循环置换,则称 i1, i2, . . . , ir 在 σ 中,而其它元素不在 σ 中; . . . 2 若 τ = (k1k2 · · · ks) 也是一个循环置换,且 i1, · · · , ir 与 k1, · · · , kr 没有公共元素,则称 σ 与 τ 是不相交的。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  207. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 若循环置换 σ 和 τ 不相交,则 στ = τσ。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  208. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 若循环置换 σ 和 τ 不相交,则 στ = τσ。 . . . . . . . 考虑 στ 和 τσ 在元素 x 上的作用。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  209. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 若循环置换 σ 和 τ 不相交,则 στ = τσ。 . . . . . . . 考虑 στ 和 τσ 在元素 x 上的作用。 . . . 1 若 x 在 σ 中,则 x, σ(x) 在 σ 中,不在 τ 中; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  210. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 若循环置换 σ 和 τ 不相交,则 στ = τσ。 . . . . . . . 考虑 στ 和 τσ 在元素 x 上的作用。 . . . 1 若 x 在 σ 中,则 x, σ(x) 在 σ 中,不在 τ 中; τ(x) = x, τ(σ(x)) = σ(x) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  211. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 若循环置换 σ 和 τ 不相交,则 στ = τσ。 . . . . . . . 考虑 στ 和 τσ 在元素 x 上的作用。 . . . 1 若 x 在 σ 中,则 x, σ(x) 在 σ 中,不在 τ 中; τ(x) = x, τ(σ(x)) = σ(x) στ(x) = σ(τ(x)) = σ(x); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  212. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 若循环置换 σ 和 τ 不相交,则 στ = τσ。 . . . . . . . 考虑 στ 和 τσ 在元素 x 上的作用。 . . . 1 若 x 在 σ 中,则 x, σ(x) 在 σ 中,不在 τ 中; τ(x) = x, τ(σ(x)) = σ(x) στ(x) = σ(τ(x)) = σ(x); τσ(x) = τ(σ(x)) = σ(x)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  213. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 若循环置换 σ 和 τ 不相交,则 στ = τσ。 . . . . . . . 考虑 στ 和 τσ 在元素 x 上的作用。 . . . 1 若 x 在 σ 中,则 x, σ(x) 在 σ 中,不在 τ 中; τ(x) = x, τ(σ(x)) = σ(x) στ(x) = σ(τ(x)) = σ(x); τσ(x) = τ(σ(x)) = σ(x)。 . . . 2 若 x 在 τ 中,类似 1。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  214. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 若循环置换 σ 和 τ 不相交,则 στ = τσ。 . . . . . . . 考虑 στ 和 τσ 在元素 x 上的作用。 . . . 1 若 x 在 σ 中,则 x, σ(x) 在 σ 中,不在 τ 中; τ(x) = x, τ(σ(x)) = σ(x) στ(x) = σ(τ(x)) = σ(x); τσ(x) = τ(σ(x)) = σ(x)。 . . . 2 若 x 在 τ 中,类似 1。 . . . 3 若 x 不在 σ 及 τ 中,有 στ(x) = τσ(x) = x。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  215. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . f1 = (135), f2 = (247) ∈ S9 ,验证 f1f2 = f2f1 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  216. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . f1 = (135), f2 = (247) ∈ S9 ,验证 f1f2 = f2f1 。 . . . 1 如果 x 落在 {1, 3, 5} 中,则 f1f2(x) = 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  217. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . f1 = (135), f2 = (247) ∈ S9 ,验证 f1f2 = f2f1 。 . . . 1 如果 x 落在 {1, 3, 5} 中,则 f1f2(x) = f1 ( f2(x) ) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  218. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . f1 = (135), f2 = (247) ∈ S9 ,验证 f1f2 = f2f1 。 . . . 1 如果 x 落在 {1, 3, 5} 中,则 f1f2(x) = f1 ( f2(x) ) = f1(x) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  219. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . f1 = (135), f2 = (247) ∈ S9 ,验证 f1f2 = f2f1 。 . . . 1 如果 x 落在 {1, 3, 5} 中,则 f1f2(x) = f1 ( f2(x) ) = f1(x) f2f1(x) = f2 ( f1(x) ) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  220. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . f1 = (135), f2 = (247) ∈ S9 ,验证 f1f2 = f2f1 。 . . . 1 如果 x 落在 {1, 3, 5} 中,则 f1f2(x) = f1 ( f2(x) ) = f1(x) f2f1(x) = f2 ( f1(x) ) = f1(x) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  221. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . f1 = (135), f2 = (247) ∈ S9 ,验证 f1f2 = f2f1 。 . . . 1 如果 x 落在 {1, 3, 5} 中,则 f1f2(x) = f1 ( f2(x) ) = f1(x) f2f1(x) = f2 ( f1(x) ) = f1(x) . . . 2 若 x 落在 {2, 4, 7} 中,则 f1f2(x) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  222. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . f1 = (135), f2 = (247) ∈ S9 ,验证 f1f2 = f2f1 。 . . . 1 如果 x 落在 {1, 3, 5} 中,则 f1f2(x) = f1 ( f2(x) ) = f1(x) f2f1(x) = f2 ( f1(x) ) = f1(x) . . . 2 若 x 落在 {2, 4, 7} 中,则 f1f2(x) = f1 ( f2(x) ) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  223. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . f1 = (135), f2 = (247) ∈ S9 ,验证 f1f2 = f2f1 。 . . . 1 如果 x 落在 {1, 3, 5} 中,则 f1f2(x) = f1 ( f2(x) ) = f1(x) f2f1(x) = f2 ( f1(x) ) = f1(x) . . . 2 若 x 落在 {2, 4, 7} 中,则 f1f2(x) = f1 ( f2(x) ) = f2(x) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  224. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . f1 = (135), f2 = (247) ∈ S9 ,验证 f1f2 = f2f1 。 . . . 1 如果 x 落在 {1, 3, 5} 中,则 f1f2(x) = f1 ( f2(x) ) = f1(x) f2f1(x) = f2 ( f1(x) ) = f1(x) . . . 2 若 x 落在 {2, 4, 7} 中,则 f1f2(x) = f1 ( f2(x) ) = f2(x) f2f1(x) = f2(x) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  225. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . f1 = (135), f2 = (247) ∈ S9 ,验证 f1f2 = f2f1 。 . . . 1 如果 x 落在 {1, 3, 5} 中,则 f1f2(x) = f1 ( f2(x) ) = f1(x) f2f1(x) = f2 ( f1(x) ) = f1(x) . . . 2 若 x 落在 {2, 4, 7} 中,则 f1f2(x) = f1 ( f2(x) ) = f2(x) f2f1(x) = f2(x) . . . 3 若 x 落在 {6, 8, 9} 当中,则 f1f2(x) = f2f1(x) = x 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  226. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定理 . . . . . . . . Sn 中每一个置换都可以惟一地写成不相交的循环的乘积。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  227. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定理 . . . . . . . . Sn 中每一个置换都可以惟一地写成不相交的循环的乘积。 . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  228. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定理 . . . . . . . . Sn 中每一个置换都可以惟一地写成不相交的循环的乘积。 . . . . . . . . . . 1 设 σ ∈ Sn , 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  229. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定理 . . . . . . . . Sn 中每一个置换都可以惟一地写成不相交的循环的乘积。 . . . . . . . . . . 1 设 σ ∈ Sn , . . . 2 除去不动点外,总可以分解成若干个不相交的环,不妨设这 些环对应的循环变换为 τ1, τ2, . . . , τr , 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  230. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定理 . . . . . . . . Sn 中每一个置换都可以惟一地写成不相交的循环的乘积。 . . . . . . . . . . 1 设 σ ∈ Sn , . . . 2 除去不动点外,总可以分解成若干个不相交的环,不妨设这 些环对应的循环变换为 τ1, τ2, . . . , τr , . . . 3 容易验证 σ = τ1τ2 · · · τr . 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  231. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定理 . . . . . . . . Sn 中每一个置换都可以惟一地写成不相交的循环的乘积。 . . . . . . . . . . 1 设 σ ∈ Sn , . . . 2 除去不动点外,总可以分解成若干个不相交的环,不妨设这 些环对应的循环变换为 τ1, τ2, . . . , τr , . . . 3 容易验证 σ = τ1τ2 · · · τr . . . . . . . . σ 分解出若干个不相交的环,一旦某个元素落在这个环中,则 在 σ 的作用 下,永远也跑不出这个环。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  232. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成不 相交循环的乘积。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  233. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成不 相交循环的乘积。 . . . . . . . 1 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  234. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成不 相交循环的乘积。 . . . . . . . 1 → 5 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  235. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成不 相交循环的乘积。 . . . . . . . 1 → 5 → 4 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  236. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成不 相交循环的乘积。 . . . . . . . 1 → 5 → 4 → 2 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  237. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成不 相交循环的乘积。 . . . . . . . 1 → 5 → 4 → 2 → 8 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  238. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成不 相交循环的乘积。 . . . . . . . 1 → 5 → 4 → 2 → 8 → 1 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  239. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成不 相交循环的乘积。 . . . . . . . 1 → 5 → 4 → 2 → 8 → 1 (15428) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  240. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成不 相交循环的乘积。 . . . . . . . 1 → 5 → 4 → 2 → 8 → 1 (15428). 7 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  241. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成不 相交循环的乘积。 . . . . . . . 1 → 5 → 4 → 2 → 8 → 1 (15428). 7 → 9 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  242. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成不 相交循环的乘积。 . . . . . . . 1 → 5 → 4 → 2 → 8 → 1 (15428). 7 → 9 → 10 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  243. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成不 相交循环的乘积。 . . . . . . . 1 → 5 → 4 → 2 → 8 → 1 (15428). 7 → 9 → 10 → 7, 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  244. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成不 相交循环的乘积。 . . . . . . . 1 → 5 → 4 → 2 → 8 → 1 (15428). 7 → 9 → 10 → 7, (79 10). 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  245. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成不 相交循环的乘积。 . . . . . . . 1 → 5 → 4 → 2 → 8 → 1 (15428). 7 → 9 → 10 → 7, (79 10). τ = (15428)(79 10) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  246. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 . . . . . . . . 只含有两个元素的置换又称为对换。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  247. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 任一置换可表示为若干个对换的乘积。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  248. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 任一置换可表示为若干个对换的乘积。 . . . . . . . . . . 1 每个循环都可以写成若干个对换的乘积; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  249. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 任一置换可表示为若干个对换的乘积。 . . . . . . . . . . 1 每个循环都可以写成若干个对换的乘积; . . . 2 当 r 大于 2 时,(12 · · · r) = (1r) · · · (13)(12); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  250. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 任一置换可表示为若干个对换的乘积。 . . . . . . . . . . 1 每个循环都可以写成若干个对换的乘积; . . . 2 当 r 大于 2 时,(12 · · · r) = (1r) · · · (13)(12); 比如: (12345) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  251. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 任一置换可表示为若干个对换的乘积。 . . . . . . . . . . 1 每个循环都可以写成若干个对换的乘积; . . . 2 当 r 大于 2 时,(12 · · · r) = (1r) · · · (13)(12); 比如: (12345) = (15)(1234) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  252. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 任一置换可表示为若干个对换的乘积。 . . . . . . . . . . 1 每个循环都可以写成若干个对换的乘积; . . . 2 当 r 大于 2 时,(12 · · · r) = (1r) · · · (13)(12); 比如: (12345) = (15)(1234) = (15)(14)(123) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  253. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 任一置换可表示为若干个对换的乘积。 . . . . . . . . . . 1 每个循环都可以写成若干个对换的乘积; . . . 2 当 r 大于 2 时,(12 · · · r) = (1r) · · · (13)(12); 比如: (12345) = (15)(1234) = (15)(14)(123) = (15)(14)(13)(12) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  254. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成对 换的乘积. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  255. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成对 换的乘积. . . . . . . . τ = (15428)(79 10) = (18)(12)(14)(15)(7 10)(79) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  256. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 (同态) . . . . . . . . . . . 1 设 G1, G2 是两个群, 若存在一个从 G1 到 G2 的映 射 f,使得 f(ab) = f(a)f(b) 对任意的 a, b ∈ G1 均成立, 则称 f 为从 G1 到 G2 的同态映射, 称 G1 在 G2 中的像为 G1 的同态像; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  257. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 (同态) . . . . . . . . . . . 1 设 G1, G2 是两个群, 若存在一个从 G1 到 G2 的映 射 f,使得 f(ab) = f(a)f(b) 对任意的 a, b ∈ G1 均成立, 则称 f 为从 G1 到 G2 的同态映射, 称 G1 在 G2 中的像为 G1 的同态像; . . . 2 如果 f 是满的,则称 G1 与 G2 同态,记为 G1 ∼ G2. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  258. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定义 . . . . . . . . 如果 f 是双射,那么称 f 是从 G1 到 G2 的一个同构映射,这 时也称 G1 与 G2 同构,记为 G1 G2. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  259. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . . . . . . . 同态和同构都是对某个映射而言的。两个群同构的含义是—在某 种意义下,这两个群是相同的东西。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  260. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . . . . . . . 同态和同构都是对某个映射而言的。两个群同构的含义是—在某 种意义下,这两个群是相同的东西。 . Example . . . . . . . . (Z, +) 与 (Zm, +) 在映射 f : x → [x] 形成同态。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  261. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . (R, +) 与 (R, ×) 在映射 f : x → ex 形成同态。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  262. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . (R, +) 与 (R, ×) 在映射 f : x → ex 形成同态。 . . . . . . . f(x + y) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  263. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . (R, +) 与 (R, ×) 在映射 f : x → ex 形成同态。 . . . . . . . f(x + y) = ex+y 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  264. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . (R, +) 与 (R, ×) 在映射 f : x → ex 形成同态。 . . . . . . . f(x + y) = ex+y = ex · ey 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  265. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . (R, +) 与 (R, ×) 在映射 f : x → ex 形成同态。 . . . . . . . f(x + y) = ex+y = ex · ey = f(x) · f(y) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  266. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . (Zm, +) 与 (C, ×) 在映射 f : [x] → e2πxi m 形成同态。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  267. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 G 是一个群,对于任意 a ∈ G,定义 τa 为 G 上的变换 τa : x → ax. 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  268. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 G 是一个群,对于任意 a ∈ G,定义 τa 为 G 上的变换 τa : x → ax. τa 是 G 上的一一变换。 集合 L(G) = {τa : ∀a ∈ G} 在变换 的复合下构成群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  269. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 G 是一个群,对于任意 a ∈ G,定义 τa 为 G 上的变换 τa : x → ax. τa 是 G 上的一一变换。 集合 L(G) = {τa : ∀a ∈ G} 在变换 的复合下构成群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性: τa τb (x) = 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  270. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 G 是一个群,对于任意 a ∈ G,定义 τa 为 G 上的变换 τa : x → ax. τa 是 G 上的一一变换。 集合 L(G) = {τa : ∀a ∈ G} 在变换 的复合下构成群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性: τa τb (x) = τa ( τ(b)(x) ) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  271. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 G 是一个群,对于任意 a ∈ G,定义 τa 为 G 上的变换 τa : x → ax. τa 是 G 上的一一变换。 集合 L(G) = {τa : ∀a ∈ G} 在变换 的复合下构成群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性: τa τb (x) = τa ( τ(b)(x) ) = τ(a)(bx) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  272. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 G 是一个群,对于任意 a ∈ G,定义 τa 为 G 上的变换 τa : x → ax. τa 是 G 上的一一变换。 集合 L(G) = {τa : ∀a ∈ G} 在变换 的复合下构成群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性: τa τb (x) = τa ( τ(b)(x) ) = τ(a)(bx) = a(bx) 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  273. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 G 是一个群,对于任意 a ∈ G,定义 τa 为 G 上的变换 τa : x → ax. τa 是 G 上的一一变换。 集合 L(G) = {τa : ∀a ∈ G} 在变换 的复合下构成群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性: τa τb (x) = τa ( τ(b)(x) ) = τ(a)(bx) = a(bx) = (ab)x 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  274. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 G 是一个群,对于任意 a ∈ G,定义 τa 为 G 上的变换 τa : x → ax. τa 是 G 上的一一变换。 集合 L(G) = {τa : ∀a ∈ G} 在变换 的复合下构成群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性: τa τb (x) = τa ( τ(b)(x) ) = τ(a)(bx) = a(bx) = (ab)x = τab (x); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  275. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 G 是一个群,对于任意 a ∈ G,定义 τa 为 G 上的变换 τa : x → ax. τa 是 G 上的一一变换。 集合 L(G) = {τa : ∀a ∈ G} 在变换 的复合下构成群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性: τa τb (x) = τa ( τ(b)(x) ) = τ(a)(bx) = a(bx) = (ab)x = τab (x); . . . 2 单位元:τe ; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  276. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 G 是一个群,对于任意 a ∈ G,定义 τa 为 G 上的变换 τa : x → ax. τa 是 G 上的一一变换。 集合 L(G) = {τa : ∀a ∈ G} 在变换 的复合下构成群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性: τa τb (x) = τa ( τ(b)(x) ) = τ(a)(bx) = a(bx) = (ab)x = τab (x); . . . 2 单位元:τe ; . . . 3 逆元:τaτa−1 = τaa−1 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  277. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 G 是一个群,对于任意 a ∈ G,定义 τa 为 G 上的变换 τa : x → ax. τa 是 G 上的一一变换。 集合 L(G) = {τa : ∀a ∈ G} 在变换 的复合下构成群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性: τa τb (x) = τa ( τ(b)(x) ) = τ(a)(bx) = a(bx) = (ab)x = τab (x); . . . 2 单位元:τe ; . . . 3 逆元:τaτa−1 = τaa−1 = τe 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  278. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 G 是一个群,对于任意 a ∈ G,定义 τa 为 G 上的变换 τa : x → ax. τa 是 G 上的一一变换。 集合 L(G) = {τa : ∀a ∈ G} 在变换 的复合下构成群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性: τa τb (x) = τa ( τ(b)(x) ) = τ(a)(bx) = a(bx) = (ab)x = τab (x); . . . 2 单位元:τe ; . . . 3 逆元:τaτa−1 = τaa−1 = τe = τa−1 τa 。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  279. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 继续前面的例子,定义 G 到 L(G) 的映射 f, 使得 f(a) = τa f 是 G 到 L 的同构。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  280. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 继续前面的例子,定义 G 到 L(G) 的映射 f, 使得 f(a) = τa f 是 G 到 L 的同构。 . . . . . . . . . . 1 f 是个同态: 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  281. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 继续前面的例子,定义 G 到 L(G) 的映射 f, 使得 f(a) = τa f 是 G 到 L 的同构。 . . . . . . . . . . 1 f 是个同态:τaτb = τab ; 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  282. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 继续前面的例子,定义 G 到 L(G) 的映射 f, 使得 f(a) = τa f 是 G 到 L 的同构。 . . . . . . . . . . 1 f 是个同态:τaτb = τab ; . . . 2 f 是个单射: 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  283. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 继续前面的例子,定义 G 到 L(G) 的映射 f, 使得 f(a) = τa f 是 G 到 L 的同构。 . . . . . . . . . . 1 f 是个同态:τaτb = τab ; . . . 2 f 是个单射:若 a = b,则 τa(e) = τb(e); 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  284. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . Example . . . . . . . . 继续前面的例子,定义 G 到 L(G) 的映射 f, 使得 f(a) = τa f 是 G 到 L 的同构。 . . . . . . . . . . 1 f 是个同态:τaτb = τab ; . . . 2 f 是个单射:若 a = b,则 τa(e) = τb(e); . . . 3 f 显然是个满射。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  285. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定理 (Cayley 定理) . . . . . . . . 每个群都与某一个变换群同构。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  286. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定理 (Cayley 定理) . . . . . . . . 每个群都与某一个变换群同构。 . . . . . . . 由前面的例子知道:G ∼ = L(G)。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  287. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定理 (Cayley 定理) . . . . . . . . 每个群都与某一个变换群同构。 . . . . . . . 由前面的例子知道:G ∼ = L(G)。 G L(G) a τa a · b = ab τaτb = τab e 是单位 τe 是单位 a 的逆元是 a−1 τa 的逆元是 τa−1 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  288. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 . 定理 (Cayley 定理) . . . . . . . . 每个群都与某一个变换群同构。 . . . . . . . 由前面的例子知道:G ∼ = L(G)。 G L(G) a τa a · b = ab τaτb = τab e 是单位 τe 是单位 a 的逆元是 a−1 τa 的逆元是 τa−1 这个定理很重要,它表明,任何一个抽象的群实际上都可以看成 一个具体的群。 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》
  289. . . . . . . 群的定义 群的乘法表 变换群、置换群 变换群

    记号 循环置换 对换 同态、同构 本节完,谢谢! 磊张 印晓 广州大学数学与信息科学学院 裴定一、徐详 《信息安全数学基础》