信息安全数学基础：第6章：群（上）

. . . . . . 群的定义群的乘法表变换群、置换群 .
. . . . . . 群（上）广州大学数学与信息科学学院 2007-05-20 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 群的定义群的乘法表变换群、置换群代数运算与二元运算
群的定义子群 . . . . . . . §6.1 群的定义广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . 群是从多种数学对象中提取出来的代数系统。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . 关于抽象 . . . . . . . 心智的活动，除了尽力产生各种简单的认识之外，主要表现在如下三个方面：广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . 关于抽象 . . . . . . . 心智的活动，除了尽力产生各种简单的认识之外，主要表现在如下三个方面： . . . 1 将若干简单认识组合为一个复合认识，由此产生出各种复杂的认识. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . 关于抽象 . . . . . . . 心智的活动，除了尽力产生各种简单的认识之外，主要表现在如下三个方面： . . . 1 将若干简单认识组合为一个复合认识，由此产生出各种复杂的认识. . . . 2 将两个认识放在一起对照，不管它们如何简单或者复杂，这样做时并不将它们合二为一。由此得到它们相互关系的认识. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . 关于抽象 . . . . . . . 心智的活动，除了尽力产生各种简单的认识之外，主要表现在如下三个方面： . . . 1 将若干简单认识组合为一个复合认识，由此产生出各种复杂的认识. . . . 2 将两个认识放在一起对照，不管它们如何简单或者复杂，这样做时并不将它们合二为一。由此得到它们相互关系的认识. . . . 3 将有关认识的与那些在实际中和它们同在的所有其他认识隔离开，这就是抽象，所有具有普遍性的认识都是这样得到的。 Jhon Locke, 有关人类理解的随笔(1690) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . 抽象的例子 . . . 1 有的原始语言，给彩虹中的每种颜色都起了个名称，却没有颜色的名称. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . 抽象的例子 . . . 1 有的原始语言，给彩虹中的每种颜色都起了个名称，却没有颜色的名称. . . . 2 在英语中，set 是个外来词，但却有广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . 抽象的例子 . . . 1 有的原始语言，给彩虹中的每种颜色都起了个名称，却没有颜色的名称. . . . 2 在英语中，set 是个外来词，但却有 flock—羊群广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . 抽象的例子 . . . 1 有的原始语言，给彩虹中的每种颜色都起了个名称，却没有颜色的名称. . . . 2 在英语中，set 是个外来词，但却有 flock—羊群 herd—兽群广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . 抽象的例子 . . . 1 有的原始语言，给彩虹中的每种颜色都起了个名称，却没有颜色的名称. . . . 2 在英语中，set 是个外来词，但却有 flock—羊群 herd—兽群 gang—一帮人广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . 抽象的例子 . . . 1 有的原始语言，给彩虹中的每种颜色都起了个名称，却没有颜色的名称. . . . 2 在英语中，set 是个外来词，但却有 flock—羊群 herd—兽群 gang—一帮人 . . . 3 哥伦比亚部落的 Thimshian 语言，有七组表示数的字：广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . 抽象的例子 . . . 1 有的原始语言，给彩虹中的每种颜色都起了个名称，却没有颜色的名称. . . . 2 在英语中，set 是个外来词，但却有 flock—羊群 herd—兽群 gang—一帮人 . . . 3 哥伦比亚部落的 Thimshian 语言，有七组表示数的字：一组用于扁平物件与动物; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . 抽象的例子 . . . 1 有的原始语言，给彩虹中的每种颜色都起了个名称，却没有颜色的名称. . . . 2 在英语中，set 是个外来词，但却有 flock—羊群 herd—兽群 gang—一帮人 . . . 3 哥伦比亚部落的 Thimshian 语言，有七组表示数的字：一组用于扁平物件与动物; 一组用于圆形物体及时间；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . 抽象的例子 . . . 1 有的原始语言，给彩虹中的每种颜色都起了个名称，却没有颜色的名称. . . . 2 在英语中，set 是个外来词，但却有 flock—羊群 herd—兽群 gang—一帮人 . . . 3 哥伦比亚部落的 Thimshian 语言，有七组表示数的字：一组用于扁平物件与动物; 一组用于圆形物体及时间；一组用于数人；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . 抽象的例子 . . . 1 有的原始语言，给彩虹中的每种颜色都起了个名称，却没有颜色的名称. . . . 2 在英语中，set 是个外来词，但却有 flock—羊群 herd—兽群 gang—一帮人 . . . 3 哥伦比亚部落的 Thimshian 语言，有七组表示数的字：一组用于扁平物件与动物; 一组用于圆形物体及时间；一组用于数人；一组用于长的物件及树木；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . 抽象的例子 . . . 1 有的原始语言，给彩虹中的每种颜色都起了个名称，却没有颜色的名称. . . . 2 在英语中，set 是个外来词，但却有 flock—羊群 herd—兽群 gang—一帮人 . . . 3 哥伦比亚部落的 Thimshian 语言，有七组表示数的字：一组用于扁平物件与动物; 一组用于圆形物体及时间；一组用于数人；一组用于长的物件及树木；一组用于独木舟；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . 抽象的例子 . . . 1 有的原始语言，给彩虹中的每种颜色都起了个名称，却没有颜色的名称. . . . 2 在英语中，set 是个外来词，但却有 flock—羊群 herd—兽群 gang—一帮人 . . . 3 哥伦比亚部落的 Thimshian 语言，有七组表示数的字：一组用于扁平物件与动物; 一组用于圆形物体及时间；一组用于数人；一组用于长的物件及树木；一组用于独木舟；一组用于度量；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . 抽象的例子 . . . 1 有的原始语言，给彩虹中的每种颜色都起了个名称，却没有颜色的名称. . . . 2 在英语中，set 是个外来词，但却有 flock—羊群 herd—兽群 gang—一帮人 . . . 3 哥伦比亚部落的 Thimshian 语言，有七组表示数的字：一组用于扁平物件与动物; 一组用于圆形物体及时间；一组用于数人；一组用于长的物件及树木；一组用于独木舟；一组用于度量；一组用于不指什么的事物的计数. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . 弄清楚一对农夫和一双日子中的‘对’ 和‘双’ 都不过是数字 2 的事例，是一种要求有许多世代才能达到的发现。罗素广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . 弄清楚一对农夫和一双日子中的‘对’ 和‘双’ 都不过是数字 2 的事例，是一种要求有许多世代才能达到的发现。罗素 . . . . . . . 正是计数，使今天的，而且因此也是原始人特有的关于“众多”的异质观念巩固下来，并且进化成同质而抽象的数的概念。只有有了这样的概念，才有可能有数学。托比亚斯·丹齐格广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . 进一步的抽象---近世代数 . . . . . . . 现在到了数学抽象中最关键的一步：让我们忘记这些符号所表示的对象。· · · · · · (数学家) 不应在这里止步，有许多操作可以应用与这些符号，而根本不必考虑它们到底代表着什么东西。 Hermann Weyl (思维的数学方式) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 (代数运算) . . . . . . . . A, B, 和 D 都是集合。一个 A × B 到 D 的映射叫做一个 A × B 到 D 的代数运算. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 (代数运算) . . . . . . . . A, B, 和 D 都是集合。一个 A × B 到 D 的映射叫做一个 A × B 到 D 的代数运算. . Example . . . . . . . . V 是有理数上的向量空间，Q 是有理数。设 v ∈ V, q ∈ Q，有 q · v ∈ V. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 (代数运算) . . . . . . . . A, B, 和 D 都是集合。一个 A × B 到 D 的映射叫做一个 A × B 到 D 的代数运算. . Example . . . . . . . . V 是有理数上的向量空间，Q 是有理数。设 v ∈ V, q ∈ Q，有 q · v ∈ V. 如果采用前缀记法，q · v 相当与 ·(q, v)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 (代数运算) . . . . . . . . A, B, 和 D 都是集合。一个 A × B 到 D 的映射叫做一个 A × B 到 D 的代数运算. . Example . . . . . . . . V 是有理数上的向量空间，Q 是有理数。设 v ∈ V, q ∈ Q，有 q · v ∈ V. 如果采用前缀记法，q · v 相当与 ·(q, v)。‘·’ 显然是一个映射： · Q × V → V 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 (代数运算) . . . . . . . . A, B, 和 D 都是集合。一个 A × B 到 D 的映射叫做一个 A × B 到 D 的代数运算. . Example . . . . . . . . V 是有理数上的向量空间，Q 是有理数。设 v ∈ V, q ∈ Q，有 q · v ∈ V. 如果采用前缀记法，q · v 相当与 ·(q, v)。‘·’ 显然是一个映射： · Q × V → V 所以 · 是 Q × V 到 V 上的一个代数运算. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 (二元运算) . . . . . . . . 如果 ◦ 是一个 A × A 到 A 的代数运算，我们就说集合 A 对于代数运算 ◦ 是封闭的，并称 ◦ 为 A 上的二元运算。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 (二元运算) . . . . . . . . 如果 ◦ 是一个 A × A 到 A 的代数运算，我们就说集合 A 对于代数运算 ◦ 是封闭的，并称 ◦ 为 A 上的二元运算。 . . . . . . . 对于二元运算，我们常采用中缀记法，即如果 a, b ∈ A，我们把 ◦(a, b) 记成 a ◦ b. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . 在 Z 上，“+” 是映射 + : Z × Z → Z. 即 “+” 是 Z 上的代数运算. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . 在 Z 上，“+” 是映射 + : Z × Z → Z. 即 “+” 是 Z 上的代数运算. 类似地，“×” 也是. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 (群) . . . . . . . . 设 G 是一个非空集合，且 ◦ 是 G 上的代数运算，如果它满足下面的条件: 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 (群) . . . . . . . . 设 G 是一个非空集合，且 ◦ 是 G 上的代数运算，如果它满足下面的条件: . . . 1 ∀a, b, c ∈ G，有 (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) —结合律广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 (群) . . . . . . . . 设 G 是一个非空集合，且 ◦ 是 G 上的代数运算，如果它满足下面的条件: . . . 1 ∀a, b, c ∈ G，有 (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) —结合律 . . . 2 ∃e ∈ G，对 ∀a ∈ G，有 a ◦ e = e ◦ a = a —有幺元广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 (群) . . . . . . . . 设 G 是一个非空集合，且 ◦ 是 G 上的代数运算，如果它满足下面的条件: . . . 1 ∀a, b, c ∈ G，有 (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) —结合律 . . . 2 ∃e ∈ G，对 ∀a ∈ G，有 a ◦ e = e ◦ a = a —有幺元 . . . 3 ∀a ∈ G, 在 G 中存在惟一一个 b，使得 —有逆元 a ◦ b = b ◦ a = e 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 (群) . . . . . . . . 设 G 是一个非空集合，且 ◦ 是 G 上的代数运算，如果它满足下面的条件: . . . 1 ∀a, b, c ∈ G，有 (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) —结合律 . . . 2 ∃e ∈ G，对 ∀a ∈ G，有 a ◦ e = e ◦ a = a —有幺元 . . . 3 ∀a ∈ G, 在 G 中存在惟一一个 b，使得 —有逆元 a ◦ b = b ◦ a = e 则称 G 对于 ◦ 构成一个群，记为 (G, ◦). 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 (群) . . . . . . . . 设 G 是一个非空集合，且 ◦ 是 G 上的代数运算，如果它满足下面的条件: . . . 1 ∀a, b, c ∈ G，有 (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) —结合律 . . . 2 ∃e ∈ G，对 ∀a ∈ G，有 a ◦ e = e ◦ a = a —有幺元 . . . 3 ∀a ∈ G, 在 G 中存在惟一一个 b，使得 —有逆元 a ◦ b = b ◦ a = e 则称 G 对于 ◦ 构成一个群，记为 (G, ◦). . . . . . . . 我们常把 a ◦ b 写成 ab. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . 群的例子 . Example . . . . . . . . . . . 1 (Z, +) 构成群吗？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . 群的例子 . Example . . . . . . . . . . . 1 (Z, +) 构成群吗？ . . . 2 (Z, ×) 构成群吗？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . 群的例子 . Example . . . . . . . . . . . 1 (Z, +) 构成群吗？ . . . 2 (Z, ×) 构成群吗？ . . . 3 (Zm, +) 构成群吗？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . 群的例子 . Example . . . . . . . . . . . 1 (Z, +) 构成群吗？ . . . 2 (Z, ×) 构成群吗？ . . . 3 (Zm, +) 构成群吗？ . . . 4 用 Z∗ m 表示 Zm 中与 m 互素的类的集合，则 (Z∗ m , ×) 构成群吗？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . 实数域 R 上的 n × n 可逆矩阵，关于矩阵的乘法构成群。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . 实数域 R 上的 n × n 可逆矩阵，关于矩阵的乘法构成群。这种群称为一般线性群，记为 GL(n, R). 它的运算是可交换的吗？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 . . . . . . . . 设 G 是群，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 . . . . . . . . 设 G 是群， . . . 1 G 中所含元素的个数称为 G 的阶,记为 |G|. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 . . . . . . . . 设 G 是群， . . . 1 G 中所含元素的个数称为 G 的阶,记为 |G|. . . . 2 当 |G| 是个有限数时，G 称为有限群，否则 G 称为无限群。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 . . . . . . . . 设 G 是群， . . . 1 G 中所含元素的个数称为 G 的阶,记为 |G|. . . . 2 当 |G| 是个有限数时，G 称为有限群，否则 G 称为无限群。 . . . . . . . 刚才的群的例子中，有那些是有限群，那些是无限群？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . 群中的方幂 . . . . . . . 设 G 为群，a ∈ G。由于群的乘法满足结合律，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . 群中的方幂 . . . . . . . 设 G 为群，a ∈ G。由于群的乘法满足结合律，所以 a · a · · · a 是有定义的。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . 群中的方幂 . . . . . . . 设 G 为群，a ∈ G。由于群的乘法满足结合律，所以 a · a · · · a 是有定义的。记为 an 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . 群中的方幂 . . . . . . . 设 G 为群，a ∈ G。由于群的乘法满足结合律，所以 a · a · · · a 是有定义的。记为 an 容易验证 anam = an+m, (am)n = amn 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 . . . . . . . . G 是群，a ∈ G，满足 an = e 的最小整数 n 称为元素 a 的阶，并记为 o(a)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 . . . . . . . . G 是群，a ∈ G，满足 an = e 的最小整数 n 称为元素 a 的阶，并记为 o(a)。如果这样的 n 不存在，则称 a 是无限阶的，记成 o(a) = ∞。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 . . . . . . . . G 是群，a ∈ G，满足 an = e 的最小整数 n 称为元素 a 的阶，并记为 o(a)。如果这样的 n 不存在，则称 a 是无限阶的，记成 o(a) = ∞。 . . . . . . . . . . 1 有限群的元素的阶都是有限的。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 . . . . . . . . G 是群，a ∈ G，满足 an = e 的最小整数 n 称为元素 a 的阶，并记为 o(a)。如果这样的 n 不存在，则称 a 是无限阶的，记成 o(a) = ∞。 . . . . . . . . . . 1 有限群的元素的阶都是有限的。 . . . 2 无限群的元素的阶可能是有限的，也可能是无限的。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 . . . . . . . . G 是群，a ∈ G，满足 an = e 的最小整数 n 称为元素 a 的阶，并记为 o(a)。如果这样的 n 不存在，则称 a 是无限阶的，记成 o(a) = ∞。 . . . . . . . . . . 1 有限群的元素的阶都是有限的。 . . . 2 无限群的元素的阶可能是有限的，也可能是无限的。 . . . 3 o 这个符号可以替代我们以前的符号 δm(a)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . . . . 1 群 (Z, +) 中 3 的阶？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . . . . 1 群 (Z, +) 中 3 的阶？ . . . 2 群 (Z4, +) 中 [2] 的阶？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . 交换性 . 定义 . . . . . . . . G 是群，如果 ∀a, b ∈ G，满足 ab = ba, 则称 G 是交换群。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . 交换性 . 定义 . . . . . . . . G 是群，如果 ∀a, b ∈ G，满足 ab = ba, 则称 G 是交换群。 . . . . . . . 前面给的例子中，那些是交换群，那些是非交换群？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 为群，a, b, c, d, x, y ∈ G，则 . . . 1 若 xa = xb，则 a = b —左消去律 . . . 2 若 ay = by，则 a = b —右消去律广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 为群，a, b, c, d, x, y ∈ G，则 . . . 1 若 xa = xb，则 a = b —左消去律 . . . 2 若 ay = by，则 a = b —右消去律 . . . . . . . 证明： . . . 1 xa = xb 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 为群，a, b, c, d, x, y ∈ G，则 . . . 1 若 xa = xb，则 a = b —左消去律 . . . 2 若 ay = by，则 a = b —右消去律 . . . . . . . 证明： . . . 1 xa = xb ⇒ x−1(xa) = x−1(xb) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 为群，a, b, c, d, x, y ∈ G，则 . . . 1 若 xa = xb，则 a = b —左消去律 . . . 2 若 ay = by，则 a = b —右消去律 . . . . . . . 证明： . . . 1 xa = xb ⇒ x−1(xa) = x−1(xb) ⇒ (x−1x)a = (x−1x)b 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 为群，a, b, c, d, x, y ∈ G，则 . . . 1 若 xa = xb，则 a = b —左消去律 . . . 2 若 ay = by，则 a = b —右消去律 . . . . . . . 证明： . . . 1 xa = xb ⇒ x−1(xa) = x−1(xb) ⇒ (x−1x)a = (x−1x)b ⇒ ea = eb 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 为群，a, b, c, d, x, y ∈ G，则 . . . 1 若 xa = xb，则 a = b —左消去律 . . . 2 若 ay = by，则 a = b —右消去律 . . . . . . . 证明： . . . 1 xa = xb ⇒ x−1(xa) = x−1(xb) ⇒ (x−1x)a = (x−1x)b ⇒ ea = eb ⇒ a = b 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 为群，a, b, c, d, x, y ∈ G，则 . . . 1 若 xa = xb，则 a = b —左消去律 . . . 2 若 ay = by，则 a = b —右消去律 . . . . . . . 证明： . . . 1 xa = xb ⇒ x−1(xa) = x−1(xb) ⇒ (x−1x)a = (x−1x)b ⇒ ea = eb ⇒ a = b . . . 2 类似 1。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 (子群) . . . . . . . . G 是一个群，H 是 G 的一个非空子集。如果 H 关于 G 的乘法也构成一个群，则称 H 为 G 的一个子群，记为 H G. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 (子群) . . . . . . . . G 是一个群，H 是 G 的一个非空子集。如果 H 关于 G 的乘法也构成一个群，则称 H 为 G 的一个子群，记为 H G. 当 H = G 时，称 H 为 G 的真子群。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 (子群) . . . . . . . . G 是一个群，H 是 G 的一个非空子集。如果 H 关于 G 的乘法也构成一个群，则称 H 为 G 的一个子群，记为 H G. 当 H = G 时，称 H 为 G 的真子群。 . . . . . . . 这意味着： . . . 1 G 的二元运算限制在 H 上，是 H 的二元运算. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 (子群) . . . . . . . . G 是一个群，H 是 G 的一个非空子集。如果 H 关于 G 的乘法也构成一个群，则称 H 为 G 的一个子群，记为 H G. 当 H = G 时，称 H 为 G 的真子群。 . . . . . . . 这意味着： . . . 1 G 的二元运算限制在 H 上，是 H 的二元运算. 设 a, b ∈ H，有广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 (子群) . . . . . . . . G 是一个群，H 是 G 的一个非空子集。如果 H 关于 G 的乘法也构成一个群，则称 H 为 G 的一个子群，记为 H G. 当 H = G 时，称 H 为 G 的真子群。 . . . . . . . 这意味着： . . . 1 G 的二元运算限制在 H 上，是 H 的二元运算. 设 a, b ∈ H，有 ◦(a, b) ∈ H, 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 (子群) . . . . . . . . G 是一个群，H 是 G 的一个非空子集。如果 H 关于 G 的乘法也构成一个群，则称 H 为 G 的一个子群，记为 H G. 当 H = G 时，称 H 为 G 的真子群。 . . . . . . . 这意味着： . . . 1 G 的二元运算限制在 H 上，是 H 的二元运算. 设 a, b ∈ H，有 ◦(a, b) ∈ H, or a ◦ b ∈ H 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 (子群) . . . . . . . . G 是一个群，H 是 G 的一个非空子集。如果 H 关于 G 的乘法也构成一个群，则称 H 为 G 的一个子群，记为 H G. 当 H = G 时，称 H 为 G 的真子群。 . . . . . . . 这意味着： . . . 1 G 的二元运算限制在 H 上，是 H 的二元运算. 设 a, b ∈ H，有 ◦(a, b) ∈ H, or a ◦ b ∈ H or ◦ (H × H) ⊂ H 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定义 (子群) . . . . . . . . G 是一个群，H 是 G 的一个非空子集。如果 H 关于 G 的乘法也构成一个群，则称 H 为 G 的一个子群，记为 H G. 当 H = G 时，称 H 为 G 的真子群。 . . . . . . . 这意味着： . . . 1 G 的二元运算限制在 H 上，是 H 的二元运算. 设 a, b ∈ H，有 ◦(a, b) ∈ H, or a ◦ b ∈ H or ◦ (H × H) ⊂ H . . . 2 H 在 ◦ 下构成一个群广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 为群，H 是 G 的非空子集，则下列条件等价广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 为群，H 是 G 的非空子集，则下列条件等价 . . . 1 H 是 G 的子群; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 为群，H 是 G 的非空子集，则下列条件等价 . . . 1 H 是 G 的子群; . . . 2 ∀a, b ∈ H，有 ab ∈ H, b−1 ∈ H；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 为群，H 是 G 的非空子集，则下列条件等价 . . . 1 H 是 G 的子群; . . . 2 ∀a, b ∈ H，有 ab ∈ H, b−1 ∈ H； . . . 3 ∀a, b ∈ H，有 ab−1 ∈ H。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . H 是 G 的子群 =⇒ ∀a, b ∈ H，有 ab ∈ H, b−1 ∈ H 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . H 是 G 的子群 =⇒ ∀a, b ∈ H，有 ab ∈ H, b−1 ∈ H . . . . . . . . . . 1 ∀a, b ∈ H，由于子群的封闭性，显然有 ab ∈ H; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . H 是 G 的子群 =⇒ ∀a, b ∈ H，有 ab ∈ H, b−1 ∈ H . . . . . . . . . . 1 ∀a, b ∈ H，由于子群的封闭性，显然有 ab ∈ H; . . . 2 H 中的 e 就是 G 中的 e，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . H 是 G 的子群 =⇒ ∀a, b ∈ H，有 ab ∈ H, b−1 ∈ H . . . . . . . . . . 1 ∀a, b ∈ H，由于子群的封闭性，显然有 ab ∈ H; . . . 2 H 中的 e 就是 G 中的 e，这是因为，对任意 a ∈ H, 有 e a = ea ⇒ e = e 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . H 是 G 的子群 =⇒ ∀a, b ∈ H，有 ab ∈ H, b−1 ∈ H . . . . . . . . . . 1 ∀a, b ∈ H，由于子群的封闭性，显然有 ab ∈ H; . . . 2 H 中的 e 就是 G 中的 e，这是因为，对任意 a ∈ H, 有 e a = ea ⇒ e = e . . . 3 设 b 在 H 中的逆为 b ，有广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . H 是 G 的子群 =⇒ ∀a, b ∈ H，有 ab ∈ H, b−1 ∈ H . . . . . . . . . . 1 ∀a, b ∈ H，由于子群的封闭性，显然有 ab ∈ H; . . . 2 H 中的 e 就是 G 中的 e，这是因为，对任意 a ∈ H, 有 e a = ea ⇒ e = e . . . 3 设 b 在 H 中的逆为 b ，有 bb = e ⇒ b−1bb = b−1e 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . H 是 G 的子群 =⇒ ∀a, b ∈ H，有 ab ∈ H, b−1 ∈ H . . . . . . . . . . 1 ∀a, b ∈ H，由于子群的封闭性，显然有 ab ∈ H; . . . 2 H 中的 e 就是 G 中的 e，这是因为，对任意 a ∈ H, 有 e a = ea ⇒ e = e . . . 3 设 b 在 H 中的逆为 b ，有 bb = e ⇒ b−1bb = b−1e ⇒ b = b−1 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H，有 ab ∈ H, b−1 ∈ H =⇒ ∀a, b ∈ H，有 ab−1 ∈ H. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H，有 ab ∈ H, b−1 ∈ H =⇒ ∀a, b ∈ H，有 ab−1 ∈ H. . . . . . . . . . . 1 已知 ∀x, y ∈ H, 有 y−1 ∈ H，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H，有 ab ∈ H, b−1 ∈ H =⇒ ∀a, b ∈ H，有 ab−1 ∈ H. . . . . . . . . . . 1 已知 ∀x, y ∈ H, 有 y−1 ∈ H，所以 ∀a, b ∈ H，有 b−1 ∈ H。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H，有 ab ∈ H, b−1 ∈ H =⇒ ∀a, b ∈ H，有 ab−1 ∈ H. . . . . . . . . . . 1 已知 ∀x, y ∈ H, 有 y−1 ∈ H，所以 ∀a, b ∈ H，有 b−1 ∈ H。 . . . 2 已知 ∀x, y ∈ H，有 xy ∈ H，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H，有 ab ∈ H, b−1 ∈ H =⇒ ∀a, b ∈ H，有 ab−1 ∈ H. . . . . . . . . . . 1 已知 ∀x, y ∈ H, 有 y−1 ∈ H，所以 ∀a, b ∈ H，有 b−1 ∈ H。 . . . 2 已知 ∀x, y ∈ H，有 xy ∈ H，现知 ∀a, b ∈ H 有 a, b−1 ∈ H，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H，有 ab ∈ H, b−1 ∈ H =⇒ ∀a, b ∈ H，有 ab−1 ∈ H. . . . . . . . . . . 1 已知 ∀x, y ∈ H, 有 y−1 ∈ H，所以 ∀a, b ∈ H，有 b−1 ∈ H。 . . . 2 已知 ∀x, y ∈ H，有 xy ∈ H，现知 ∀a, b ∈ H 有 a, b−1 ∈ H，所以有 ab−1 ∈ H。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H，有 ab−1 ∈ H ⇒ H 是子群广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H，有 ab−1 ∈ H ⇒ H 是子群 . . . . . . . . . . 1 ∀a, a ∈ H, 有 aa−1 ∈ H 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H，有 ab−1 ∈ H ⇒ H 是子群 . . . . . . . . . . 1 ∀a, a ∈ H, 有 aa−1 ∈ H ⇒ e ∈ H，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H，有 ab−1 ∈ H ⇒ H 是子群 . . . . . . . . . . 1 ∀a, a ∈ H, 有 aa−1 ∈ H ⇒ e ∈ H，e 在 H 中，它显然是 H 的单位元。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H，有 ab−1 ∈ H ⇒ H 是子群 . . . . . . . . . . 1 ∀a, a ∈ H, 有 aa−1 ∈ H ⇒ e ∈ H，e 在 H 中，它显然是 H 的单位元。 . . . 2 ∀b ∈ H，有 e, b ∈ H，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H，有 ab−1 ∈ H ⇒ H 是子群 . . . . . . . . . . 1 ∀a, a ∈ H, 有 aa−1 ∈ H ⇒ e ∈ H，e 在 H 中，它显然是 H 的单位元。 . . . 2 ∀b ∈ H，有 e, b ∈ H，得 eb−1 ∈ H，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H，有 ab−1 ∈ H ⇒ H 是子群 . . . . . . . . . . 1 ∀a, a ∈ H, 有 aa−1 ∈ H ⇒ e ∈ H，e 在 H 中，它显然是 H 的单位元。 . . . 2 ∀b ∈ H，有 e, b ∈ H，得 eb−1 ∈ H，即 b−1 ∈ H。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H，有 ab−1 ∈ H ⇒ H 是子群 . . . . . . . . . . 1 ∀a, a ∈ H, 有 aa−1 ∈ H ⇒ e ∈ H，e 在 H 中，它显然是 H 的单位元。 . . . 2 ∀b ∈ H，有 e, b ∈ H，得 eb−1 ∈ H，即 b−1 ∈ H。H 中的元有逆元。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H，有 ab−1 ∈ H ⇒ H 是子群 . . . . . . . . . . 1 ∀a, a ∈ H, 有 aa−1 ∈ H ⇒ e ∈ H，e 在 H 中，它显然是 H 的单位元。 . . . 2 ∀b ∈ H，有 e, b ∈ H，得 eb−1 ∈ H，即 b−1 ∈ H。H 中的元有逆元。 . . . 3 ∀a, b ∈ H ⇒ a, b−1 ∈ H 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H，有 ab−1 ∈ H ⇒ H 是子群 . . . . . . . . . . 1 ∀a, a ∈ H, 有 aa−1 ∈ H ⇒ e ∈ H，e 在 H 中，它显然是 H 的单位元。 . . . 2 ∀b ∈ H，有 e, b ∈ H，得 eb−1 ∈ H，即 b−1 ∈ H。H 中的元有逆元。 . . . 3 ∀a, b ∈ H ⇒ a, b−1 ∈ H ⇒ a(b−1)−1 ∈ H 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H，有 ab−1 ∈ H ⇒ H 是子群 . . . . . . . . . . 1 ∀a, a ∈ H, 有 aa−1 ∈ H ⇒ e ∈ H，e 在 H 中，它显然是 H 的单位元。 . . . 2 ∀b ∈ H，有 e, b ∈ H，得 eb−1 ∈ H，即 b−1 ∈ H。H 中的元有逆元。 . . . 3 ∀a, b ∈ H ⇒ a, b−1 ∈ H ⇒ a(b−1)−1 ∈ H，即 ab ∈ H。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . ∀a, b ∈ H，有 ab−1 ∈ H ⇒ H 是子群 . . . . . . . . . . 1 ∀a, a ∈ H, 有 aa−1 ∈ H ⇒ e ∈ H，e 在 H 中，它显然是 H 的单位元。 . . . 2 ∀b ∈ H，有 e, b ∈ H，得 eb−1 ∈ H，即 b−1 ∈ H。H 中的元有逆元。 . . . 3 ∀a, b ∈ H ⇒ a, b−1 ∈ H ⇒ a(b−1)−1 ∈ H，即 ab ∈ H。H 的乘法满足封闭性。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . . . . . . . 在子群的三个等价条件中，第二个条件 ab−1 ∈ G 需要的验证工作最少，也最常用. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . . . . 1 (Z, +) 是 (R, +) 的一个子群. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . . . . 1 (Z, +) 是 (R, +) 的一个子群. . . . 2 (R, +) 是 (C, +) 的一个子群. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . . . . 1 (Z, +) 是 (R, +) 的一个子群. . . . 2 (R, +) 是 (C, +) 的一个子群. . . . 3 令 mZ 表示 Z 中全体 m 的倍数的集合，则 (mZ, +) 是 (Z, +) 的子群. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 是一个群，{Hi | i ∈ I} 是 G 的一个子群簇，则 ∪i∈IHi 也是 G 的子群。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 是一个群，{Hi | i ∈ I} 是 G 的一个子群簇，则 ∪i∈IHi 也是 G 的子群。 . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 是一个群，{Hi | i ∈ I} 是 G 的一个子群簇，则 ∪i∈IHi 也是 G 的子群。 . . . . . . . . . . 1 有限个的情形，递归。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . 定理 . . . . . . . . 设 G 是一个群，{Hi | i ∈ I} 是 G 的一个子群簇，则 ∪i∈IHi 也是 G 的子群。 . . . . . . . . . . 1 有限个的情形，递归。 . . . 2 无限个的情形，直接验证。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ，(G, +) 是群。令 H = { [0], [2], [4], [6], [8], [10] } ⊆ G, 试证明 H 是 G 的子群。 + [0] [2] [4] [6] [8] [10] [0] 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ，(G, +) 是群。令 H = { [0], [2], [4], [6], [8], [10] } ⊆ G, 试证明 H 是 G 的子群。 + [0] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [0] [2] [4] [6] [8] [10] [2] 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ，(G, +) 是群。令 H = { [0], [2], [4], [6], [8], [10] } ⊆ G, 试证明 H 是 G 的子群。 + [0] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [0] [2] [4] [6] [8] [10] [2] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [4] 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ，(G, +) 是群。令 H = { [0], [2], [4], [6], [8], [10] } ⊆ G, 试证明 H 是 G 的子群。 + [0] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [0] [2] [4] [6] [8] [10] [2] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [4] [4] [6] [8] [10] [0] [2] [6] 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ，(G, +) 是群。令 H = { [0], [2], [4], [6], [8], [10] } ⊆ G, 试证明 H 是 G 的子群。 + [0] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [0] [2] [4] [6] [8] [10] [2] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [4] [4] [6] [8] [10] [0] [2] [6] [6] [8] [10] [0] [2] [4] [8] 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ，(G, +) 是群。令 H = { [0], [2], [4], [6], [8], [10] } ⊆ G, 试证明 H 是 G 的子群。 + [0] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [0] [2] [4] [6] [8] [10] [2] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [4] [4] [6] [8] [10] [0] [2] [6] [6] [8] [10] [0] [2] [4] [8] [8] [10] [0] [2] [4] [6] [10] 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ，(G, +) 是群。令 H = { [0], [2], [4], [6], [8], [10] } ⊆ G, 试证明 H 是 G 的子群。 + [0] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [0] [2] [4] [6] [8] [10] [2] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [4] [4] [6] [8] [10] [0] [2] [6] [6] [8] [10] [0] [2] [4] [8] [8] [10] [0] [2] [4] [6] [10] [10] [0] [2] [4] [6] [8] 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ，(G, +) 是群。令 H = { [0], [2], [4], [6], [8], [10] } ⊆ G, 试证明 H 是 G 的子群。 + [0] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [0] [2] [4] [6] [8] [10] [2] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [4] [4] [6] [8] [10] [0] [2] [6] [6] [8] [10] [0] [2] [4] [8] [8] [10] [0] [2] [4] [6] [10] [10] [0] [2] [4] [6] [8] . . . 1 列出加法表；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ，(G, +) 是群。令 H = { [0], [2], [4], [6], [8], [10] } ⊆ G, 试证明 H 是 G 的子群。 + [0] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [0] [2] [4] [6] [8] [10] [2] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [4] [4] [6] [8] [10] [0] [2] [6] [6] [8] [10] [0] [2] [4] [8] [8] [10] [0] [2] [4] [6] [10] [10] [0] [2] [4] [6] [8] . . . 1 列出加法表； . . . 2 满足封闭性；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ，(G, +) 是群。令 H = { [0], [2], [4], [6], [8], [10] } ⊆ G, 试证明 H 是 G 的子群。 + [0] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [0] [2] [4] [6] [8] [10] [2] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [4] [4] [6] [8] [10] [0] [2] [6] [6] [8] [10] [0] [2] [4] [8] [8] [10] [0] [2] [4] [6] [10] [10] [0] [2] [4] [6] [8] . . . 1 列出加法表； . . . 2 满足封闭性； . . . 3 [0] 是单位元；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ，(G, +) 是群。令 H = { [0], [2], [4], [6], [8], [10] } ⊆ G, 试证明 H 是 G 的子群。 + [0] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [0] [2] [4] [6] [8] [10] [2] [2] [4] [6] [8] [10] [0] [4] [4] [6] [8] [10] [0] [2] [6] [6] [8] [10] [0] [2] [4] [8] [8] [10] [0] [2] [4] [6] [10] [10] [0] [2] [4] [6] [8] . . . 1 列出加法表； . . . 2 满足封闭性； . . . 3 [0] 是单位元； . . . 4 每行每列都有单位元 [0]，所以每个元素都有逆。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ，(G, +) 是群。令 H = { [0], [1], [2], [3], [4], [5] } ⊆ G, 试证明 H 不是 G 的子群。 + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ，(G, +) 是群。令 H = { [0], [1], [2], [3], [4], [5] } ⊆ G, 试证明 H 不是 G 的子群。 + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [1] 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ，(G, +) 是群。令 H = { [0], [1], [2], [3], [4], [5] } ⊆ G, 试证明 H 不是 G 的子群。 + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [2] 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ，(G, +) 是群。令 H = { [0], [1], [2], [3], [4], [5] } ⊆ G, 试证明 H 不是 G 的子群。 + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [3] 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ，(G, +) 是群。令 H = { [0], [1], [2], [3], [4], [5] } ⊆ G, 试证明 H 不是 G 的子群。 + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [3] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [4] 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ，(G, +) 是群。令 H = { [0], [1], [2], [3], [4], [5] } ⊆ G, 试证明 H 不是 G 的子群。 + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [3] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [4] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [5] 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ，(G, +) 是群。令 H = { [0], [1], [2], [3], [4], [5] } ⊆ G, 试证明 H 不是 G 的子群。 + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [3] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [4] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [5] [5] [6] [7] [8] [9] [10] 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ，(G, +) 是群。令 H = { [0], [1], [2], [3], [4], [5] } ⊆ G, 试证明 H 不是 G 的子群。 + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [3] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [4] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [5] [5] [6] [7] [8] [9] [10] . . . 1 列出加法表；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

群的定义子群 . Example . . . . . . . . 设 G = Z12 = { [0], [1], . . . , [11] } ，(G, +) 是群。令 H = { [0], [1], [2], [3], [4], [5] } ⊆ G, 试证明 H 不是 G 的子群。 + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [2] [3] [4] [5] [6] [2] [3] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [4] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [5] [5] [6] [7] [8] [9] [10] . . . 1 列出加法表； . . . 2 不满足封闭性，红色部分“越界”；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . §6.2 群的乘法表广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . ◦ a1 a2 a3 a4 a5 a1 a2 1 a1a2 a1a3 a1a4 a1a5 a2 a2a1 a2 2 a2a3 a2a4 a2a5 a3 a3a1 a3a2 a2 3 a3a4 a3a5 a4 a4a1 a4a2 a4a3 a2 4 a4a5 a5 a5a1 a5a2 a5a3 a5a4 a2 5 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . ◦ a1 a2 a3 a4 a5 a1 a2 1 a1a2 a1a3 a1a4 a1a5 a2 a2a1 a2 2 a2a3 a2a4 a2a5 a3 a3a1 a3a2 a2 3 a3a4 a3a5 a4 a4a1 a4a2 a4a3 a2 4 a4a5 a5 a5a1 a5a2 a5a3 a5a4 a2 5 . . . . . . . . . . 1 每行，每列都包含所有元素广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . ◦ a1 a2 a3 a4 a5 a1 a2 1 a1a2 a1a3 a1a4 a1a5 a2 a2a1 a2 2 a2a3 a2a4 a2a5 a3 a3a1 a3a2 a2 3 a3a4 a3a5 a4 a4a1 a4a2 a4a3 a2 4 a4a5 a5 a5a1 a5a2 a5a3 a5a4 a2 5 . . . . . . . . . . 1 每行，每列都包含所有元素 . . . 2 对应单位元的行列有什么特点？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . ◦ a1 a2 a3 a4 a5 a1 a2 1 a1a2 a1a3 a1a4 a1a5 a2 a2a1 a2 2 a2a3 a2a4 a2a5 a3 a3a1 a3a2 a2 3 a3a4 a3a5 a4 a4a1 a4a2 a4a3 a2 4 a4a5 a5 a5a1 a5a2 a5a3 a5a4 a2 5 . . . . . . . . . . 1 每行，每列都包含所有元素 . . . 2 对应单位元的行列有什么特点？ . . . 3 如何判断交换律是否成立？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . G = {e, a, b}，G 中元素的乘法定义为： ee = e, ea = ae = a, eb = be = b, aa = b, bb = a, ab = ba = e。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . G = {e, a, b}，G 中元素的乘法定义为： ee = e, ea = ae = a, eb = be = b, aa = b, bb = a, ab = ba = e。 · e a b e e a b a a b e b b e a 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . G = {e, a, b}，G 中元素的乘法定义为： ee = e, ea = ae = a, eb = be = b, aa = b, bb = a, ab = ba = e。 · e a b e e a b a a b e b b e a . . . 1 满足封闭性; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . G = {e, a, b}，G 中元素的乘法定义为： ee = e, ea = ae = a, eb = be = b, aa = b, bb = a, ab = ba = e。 · e a b e e a b a a b e b b e a . . . 1 满足封闭性; . . . 2 e 是单位元; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . G = {e, a, b}，G 中元素的乘法定义为： ee = e, ea = ae = a, eb = be = b, aa = b, bb = a, ab = ba = e。 · e a b e e a b a a b e b b e a . . . 1 满足封闭性; . . . 2 e 是单位元; . . . 3 每行每列都有 e，有逆; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . G = {e, a, b}，G 中元素的乘法定义为： ee = e, ea = ae = a, eb = be = b, aa = b, bb = a, ab = ba = e。 · e a b e e a b a a b e b b e a . . . 1 满足封闭性; . . . 2 e 是单位元; . . . 3 每行每列都有 e，有逆; . . . 4 表是对称的，这是个交换群。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 考虑中心在原点，边与坐标轴平行的正方形 ABCD，设 . . . 1 R 表示将正方形 ABCD 按逆时针方向旋转 π 2 的变换； . . . 2 Tx, Ty, TAC, TBD 表示分别以 x 轴，y 轴，直线 AC 和直线 BD 为对称轴的反射变换， . . . 3 I 为恒等变换。 D4 = {I, R, R2, R3, Tx, Ty, TAC, TBD}，则 D4 构成群吗？ . . A . D . C . B . O . x . y 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. A . D . C . B . x . y · I R R2 R3 Tx Ty TAC TBD I I R R2 R3 Tx Ty TAC TBD R R R2 R3 I TAC TBD Ty Tx R2 R2 R3 I R Ty Tx TBD TAC R3 R3 I R R2 TBD TAC Tx Ty Tx Tx TBD Ty TAC I R2 R3 R Ty Ty TAC Tx TBD R2 I R R3 TAC TAC Tx TBD Ty R R3 I R2 TBD TBD Ty TAC Tx R3 R R2 I 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设复数域上的 4 个二阶矩阵为 I, A = ( i 0 0 −i ) , B = ( 0 1 −1 0 ) , C = ( 0 i i 0 ) , 令 H = {±I, ±A, ±B, ±C}，H 对矩阵乘法构成群吗？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设复数域上的 4 个二阶矩阵为 I, A = ( i 0 0 −i ) , B = ( 0 1 −1 0 ) , C = ( 0 i i 0 ) , 令 H = {±I, ±A, ±B, ±C}，H 对矩阵乘法构成群吗？ . . . . . . . . . . 1 矩阵乘法满足结合律；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设复数域上的 4 个二阶矩阵为 I, A = ( i 0 0 −i ) , B = ( 0 1 −1 0 ) , C = ( 0 i i 0 ) , 令 H = {±I, ±A, ±B, ±C}，H 对矩阵乘法构成群吗？ . . . . . . . . . . 1 矩阵乘法满足结合律； . . . 2 可以验证出 H 的乘法是封闭的; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设复数域上的 4 个二阶矩阵为 I, A = ( i 0 0 −i ) , B = ( 0 1 −1 0 ) , C = ( 0 i i 0 ) , 令 H = {±I, ±A, ±B, ±C}，H 对矩阵乘法构成群吗？ . . . . . . . . . . 1 矩阵乘法满足结合律； . . . 2 可以验证出 H 的乘法是封闭的; . . . 3 I 是单位元；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设复数域上的 4 个二阶矩阵为 I, A = ( i 0 0 −i ) , B = ( 0 1 −1 0 ) , C = ( 0 i i 0 ) , 令 H = {±I, ±A, ±B, ±C}，H 对矩阵乘法构成群吗？ . . . . . . . . . . 1 矩阵乘法满足结合律； . . . 2 可以验证出 H 的乘法是封闭的; . . . 3 I 是单位元； . . . 4 A−1 = A, B−1 = −B, C−1 = −C; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 设复数域上的 4 个二阶矩阵为 I, A = ( i 0 0 −i ) , B = ( 0 1 −1 0 ) , C = ( 0 i i 0 ) , 令 H = {±I, ±A, ±B, ±C}，H 对矩阵乘法构成群吗？ . . . . . . . . . . 1 矩阵乘法满足结合律； . . . 2 可以验证出 H 的乘法是封闭的; . . . 3 I 是单位元； . . . 4 A−1 = A, B−1 = −B, C−1 = −C; 这个群称为四元数群，也称为 Hamilton 群。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 群的定义群的乘法表变换群、置换群变换群
记号循环置换对换同态、同构 . . . . . . . §6.3 变换群、置换群广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . . . . . . . 本节给出一类重要的群—变换群，并给出著名的 Cayley 定理，即从代数的角度来看，任何一个群都是一个变换群。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 . . . . . . . . 设 X 为非空集合，集合 X 到 X 的一对一变换称为双射变换，X 上全体双射变换集合记成 T(X)。如果 X 为有限集合，则称 T(X) 中的元素为 X 上的置换. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 . . . . . . . . 设 X 为非空集合，集合 X 到 X 的一对一变换称为双射变换，X 上全体双射变换集合记成 T(X)。如果 X 为有限集合，则称 T(X) 中的元素为 X 上的置换. . . . . . . . 在 T(X) 中引入一个二元运算 ◦。对任意的 α, β ∈ T(X)，定义 α ◦ β 为变换 α 与 β 的复合，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 . . . . . . . . 设 X 为非空集合，集合 X 到 X 的一对一变换称为双射变换，X 上全体双射变换集合记成 T(X)。如果 X 为有限集合，则称 T(X) 中的元素为 X 上的置换. . . . . . . . 在 T(X) 中引入一个二元运算 ◦。对任意的 α, β ∈ T(X)，定义 α ◦ β 为变换 α 与 β 的复合，即对任意 x ∈ X，有 α ◦ β(x) = α ( β(x) ) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 . . . . . . . . 设 X 为非空集合，集合 X 到 X 的一对一变换称为双射变换，X 上全体双射变换集合记成 T(X)。如果 X 为有限集合，则称 T(X) 中的元素为 X 上的置换. . . . . . . . 在 T(X) 中引入一个二元运算 ◦。对任意的 α, β ∈ T(X)，定义 α ◦ β 为变换 α 与 β 的复合，即对任意 x ∈ X，有 α ◦ β(x) = α ( β(x) ) 我们把 α ◦ β 简记为 αβ. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 (变换群) . . . . . . . . 在前面定义的 ◦ 下，T(X) 构成一个群。我们称此群为变换群。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 (变换群) . . . . . . . . 在前面定义的 ◦ 下，T(X) 构成一个群。我们称此群为变换群。 . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 (变换群) . . . . . . . . 在前面定义的 ◦ 下，T(X) 构成一个群。我们称此群为变换群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性—变换与变换复合仍是变换；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 (变换群) . . . . . . . . 在前面定义的 ◦ 下，T(X) 构成一个群。我们称此群为变换群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性—变换与变换复合仍是变换； . . . 2 结合律广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 (变换群) . . . . . . . . 在前面定义的 ◦ 下，T(X) 构成一个群。我们称此群为变换群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性—变换与变换复合仍是变换； . . . 2 结合律设 α, β, γ ∈ T(X)，对于任意 x ∈ X，有广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 (变换群) . . . . . . . . 在前面定义的 ◦ 下，T(X) 构成一个群。我们称此群为变换群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性—变换与变换复合仍是变换； . . . 2 结合律设 α, β, γ ∈ T(X)，对于任意 x ∈ X，有 (α ◦ β) ◦ γ(x) = α ( β(γ(x)) ) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 (变换群) . . . . . . . . 在前面定义的 ◦ 下，T(X) 构成一个群。我们称此群为变换群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性—变换与变换复合仍是变换； . . . 2 结合律设 α, β, γ ∈ T(X)，对于任意 x ∈ X，有 (α ◦ β) ◦ γ(x) = α ( β(γ(x)) ) α ◦ (β ◦ γ)(x) = α ( β(γ(x)) ) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 (变换群) . . . . . . . . 在前面定义的 ◦ 下，T(X) 构成一个群。我们称此群为变换群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性—变换与变换复合仍是变换； . . . 2 结合律设 α, β, γ ∈ T(X)，对于任意 x ∈ X，有 (α ◦ β) ◦ γ(x) = α ( β(γ(x)) ) α ◦ (β ◦ γ)(x) = α ( β(γ(x)) ) . . . 3 单位元—恒等变换；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 (变换群) . . . . . . . . 在前面定义的 ◦ 下，T(X) 构成一个群。我们称此群为变换群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性—变换与变换复合仍是变换； . . . 2 结合律设 α, β, γ ∈ T(X)，对于任意 x ∈ X，有 (α ◦ β) ◦ γ(x) = α ( β(γ(x)) ) α ◦ (β ◦ γ)(x) = α ( β(γ(x)) ) . . . 3 单位元—恒等变换； . . . 4 逆元—逆变换。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 . . . . . . . . 若 X 是有限集，则 T(X) 称为置换群。如果 |X| = n，则 T(X) 称为 n 元对称群，记为 Sn 。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 . . . . . . . . 若 X 是有限集，则 T(X) 称为置换群。如果 |X| = n，则 T(X) 称为 n 元对称群，记为 Sn 。 . Example . . . . . . . . n 元对称群的大小是多少？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 . . . . . . . . 若 X 是有限集，则 T(X) 称为置换群。如果 |X| = n，则 T(X) 称为 n 元对称群，记为 Sn 。 . Example . . . . . . . . n 元对称群的大小是多少？ (大小为 n!) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 (置换的记号) . . . . . . . . . . . 1 设 X = {x1, x2, . . . , xn}，不妨用 1, 2, . . . , n 来表示这 n 个元素。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 (置换的记号) . . . . . . . . . . . 1 设 X = {x1, x2, . . . , xn}，不妨用 1, 2, . . . , n 来表示这 n 个元素。 . . . 2 若 σ ∈ T(X) = Sn 满足： σ(1) = i1, σ(2) = i2, . . . , σ(n) = in, 则此变换可以记为广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 (置换的记号) . . . . . . . . . . . 1 设 X = {x1, x2, . . . , xn}，不妨用 1, 2, . . . , n 来表示这 n 个元素。 . . . 2 若 σ ∈ T(X) = Sn 满足： σ(1) = i1, σ(2) = i2, . . . , σ(n) = in, 则此变换可以记为 ( 1 2 3 · · · n i1 i2 i3 · · · in ) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 写出 S3 的全部元素. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 写出 S3 的全部元素. . . . . . . . ( 1 2 3 1 2 3 ) , 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 写出 S3 的全部元素. . . . . . . . ( 1 2 3 1 2 3 ) , ( 1 2 3 1 3 2 ) , 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 写出 S3 的全部元素. . . . . . . . ( 1 2 3 1 2 3 ) , ( 1 2 3 1 3 2 ) , ( 1 2 3 2 1 3 ) , 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 写出 S3 的全部元素. . . . . . . . ( 1 2 3 1 2 3 ) , ( 1 2 3 1 3 2 ) , ( 1 2 3 2 1 3 ) , ( 1 2 3 2 3 1 ) , 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 写出 S3 的全部元素. . . . . . . . ( 1 2 3 1 2 3 ) , ( 1 2 3 1 3 2 ) , ( 1 2 3 2 1 3 ) , ( 1 2 3 2 3 1 ) , ( 1 2 3 3 1 2 ) , 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 写出 S3 的全部元素. . . . . . . . ( 1 2 3 1 2 3 ) , ( 1 2 3 1 3 2 ) , ( 1 2 3 2 1 3 ) , ( 1 2 3 2 3 1 ) , ( 1 2 3 3 1 2 ) , ( 1 2 3 3 2 1 ) 。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 求 S3 中两元素 α = ( 1 2 3 2 3 1 ) , β = ( 1 2 3 1 3 2 ) 乘积。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 求 S3 中两元素 α = ( 1 2 3 2 3 1 ) , β = ( 1 2 3 1 3 2 ) 乘积。 . . . . . . . αβ(1) = 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 求 S3 中两元素 α = ( 1 2 3 2 3 1 ) , β = ( 1 2 3 1 3 2 ) 乘积。 . . . . . . . αβ(1) = α ( β(1) ) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 求 S3 中两元素 α = ( 1 2 3 2 3 1 ) , β = ( 1 2 3 1 3 2 ) 乘积。 . . . . . . . αβ(1) = α ( β(1) ) = α(1) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 求 S3 中两元素 α = ( 1 2 3 2 3 1 ) , β = ( 1 2 3 1 3 2 ) 乘积。 . . . . . . . αβ(1) = α ( β(1) ) = α(1) = 2 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 求 S3 中两元素 α = ( 1 2 3 2 3 1 ) , β = ( 1 2 3 1 3 2 ) 乘积。 . . . . . . . αβ(1) = α ( β(1) ) = α(1) = 2 αβ(2) = 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 求 S3 中两元素 α = ( 1 2 3 2 3 1 ) , β = ( 1 2 3 1 3 2 ) 乘积。 . . . . . . . αβ(1) = α ( β(1) ) = α(1) = 2 αβ(2) = α ( β(2) ) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 求 S3 中两元素 α = ( 1 2 3 2 3 1 ) , β = ( 1 2 3 1 3 2 ) 乘积。 . . . . . . . αβ(1) = α ( β(1) ) = α(1) = 2 αβ(2) = α ( β(2) ) = α(3) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 求 S3 中两元素 α = ( 1 2 3 2 3 1 ) , β = ( 1 2 3 1 3 2 ) 乘积。 . . . . . . . αβ(1) = α ( β(1) ) = α(1) = 2 αβ(2) = α ( β(2) ) = α(3) = 1 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 求 S3 中两元素 α = ( 1 2 3 2 3 1 ) , β = ( 1 2 3 1 3 2 ) 乘积。 . . . . . . . αβ(1) = α ( β(1) ) = α(1) = 2 αβ(2) = α ( β(2) ) = α(3) = 1 αβ(3) = 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 求 S3 中两元素 α = ( 1 2 3 2 3 1 ) , β = ( 1 2 3 1 3 2 ) 乘积。 . . . . . . . αβ(1) = α ( β(1) ) = α(1) = 2 αβ(2) = α ( β(2) ) = α(3) = 1 αβ(3) = α ( β(3) ) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 求 S3 中两元素 α = ( 1 2 3 2 3 1 ) , β = ( 1 2 3 1 3 2 ) 乘积。 . . . . . . . αβ(1) = α ( β(1) ) = α(1) = 2 αβ(2) = α ( β(2) ) = α(3) = 1 αβ(3) = α ( β(3) ) = α(2) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 求 S3 中两元素 α = ( 1 2 3 2 3 1 ) , β = ( 1 2 3 1 3 2 ) 乘积。 . . . . . . . αβ(1) = α ( β(1) ) = α(1) = 2 αβ(2) = α ( β(2) ) = α(3) = 1 αβ(3) = α ( β(3) ) = α(2) = 3 所以有 αβ = ( 1 2 3 2 1 3 ) , 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 求 S3 中两元素 α = ( 1 2 3 2 3 1 ) , β = ( 1 2 3 1 3 2 ) 乘积。 . . . . . . . αβ(1) = α ( β(1) ) = α(1) = 2 αβ(2) = α ( β(2) ) = α(3) = 1 αβ(3) = α ( β(3) ) = α(2) = 3 所以有 αβ = ( 1 2 3 2 1 3 ) , 类似地 βα = ( 1 2 3 3 2 1 ) . 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 (循环置换) . . . . . . . . 设 σ 是集合 {1, 2, . . . , n} 上的一个置换，若有一个子集合 {i1, . . . , ir} 存在，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 (循环置换) . . . . . . . . 设 σ 是集合 {1, 2, . . . , n} 上的一个置换，若有一个子集合 {i1, . . . , ir} 存在，使得 σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, · · · , σ(ir−1) = ir, σ(ir) = i1. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 (循环置换) . . . . . . . . 设 σ 是集合 {1, 2, . . . , n} 上的一个置换，若有一个子集合 {i1, . . . , ir} 存在，使得 σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, · · · , σ(ir−1) = ir, σ(ir) = i1. 此外 σ 保持其它元素不动。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 (循环置换) . . . . . . . . 设 σ 是集合 {1, 2, . . . , n} 上的一个置换，若有一个子集合 {i1, . . . , ir} 存在，使得 σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, · · · , σ(ir−1) = ir, σ(ir) = i1. 此外 σ 保持其它元素不动。则称 σ 是 {1, 2, . . . , n} 上的一个循环置换，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 (循环置换) . . . . . . . . 设 σ 是集合 {1, 2, . . . , n} 上的一个置换，若有一个子集合 {i1, . . . , ir} 存在，使得 σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, · · · , σ(ir−1) = ir, σ(ir) = i1. 此外 σ 保持其它元素不动。则称 σ 是 {1, 2, . . . , n} 上的一个循环置换，并将 σ 记为 (i1i2 . . . ir). 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 (循环置换) . . . . . . . . 设 σ 是集合 {1, 2, . . . , n} 上的一个置换，若有一个子集合 {i1, . . . , ir} 存在，使得 σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, · · · , σ(ir−1) = ir, σ(ir) = i1. 此外 σ 保持其它元素不动。则称 σ 是 {1, 2, . . . , n} 上的一个循环置换，并将 σ 记为 (i1i2 . . . ir). . . . . . . . i1 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 (循环置换) . . . . . . . . 设 σ 是集合 {1, 2, . . . , n} 上的一个置换，若有一个子集合 {i1, . . . , ir} 存在，使得 σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, · · · , σ(ir−1) = ir, σ(ir) = i1. 此外 σ 保持其它元素不动。则称 σ 是 {1, 2, . . . , n} 上的一个循环置换，并将 σ 记为 (i1i2 . . . ir). . . . . . . . i1 → i2 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 (循环置换) . . . . . . . . 设 σ 是集合 {1, 2, . . . , n} 上的一个置换，若有一个子集合 {i1, . . . , ir} 存在，使得 σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, · · · , σ(ir−1) = ir, σ(ir) = i1. 此外 σ 保持其它元素不动。则称 σ 是 {1, 2, . . . , n} 上的一个循环置换，并将 σ 记为 (i1i2 . . . ir). . . . . . . . i1 → i2 → · · · → ir 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 (循环置换) . . . . . . . . 设 σ 是集合 {1, 2, . . . , n} 上的一个置换，若有一个子集合 {i1, . . . , ir} 存在，使得 σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, · · · , σ(ir−1) = ir, σ(ir) = i1. 此外 σ 保持其它元素不动。则称 σ 是 {1, 2, . . . , n} 上的一个循环置换，并将 σ 记为 (i1i2 . . . ir). . . . . . . . i1 → i2 → · · · → ir → i1 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 . . . . . . . . . . . 1 设 σ = (i1i2 · · · ir) 是一个循环置换，则称 i1, i2, . . . , ir 在 σ 中，而其它元素不在 σ 中；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 . . . . . . . . . . . 1 设 σ = (i1i2 · · · ir) 是一个循环置换，则称 i1, i2, . . . , ir 在 σ 中，而其它元素不在 σ 中； . . . 2 若 τ = (k1k2 · · · ks) 也是一个循环置换，且 i1, · · · , ir 与 k1, · · · , kr 没有公共元素，则称 σ 与 τ 是不相交的。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 若循环置换 σ 和 τ 不相交，则 στ = τσ。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 若循环置换 σ 和 τ 不相交，则 στ = τσ。 . . . . . . . 考虑 στ 和 τσ 在元素 x 上的作用。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 若循环置换 σ 和 τ 不相交，则 στ = τσ。 . . . . . . . 考虑 στ 和 τσ 在元素 x 上的作用。 . . . 1 若 x 在 σ 中，则 x, σ(x) 在 σ 中，不在 τ 中；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 若循环置换 σ 和 τ 不相交，则 στ = τσ。 . . . . . . . 考虑 στ 和 τσ 在元素 x 上的作用。 . . . 1 若 x 在 σ 中，则 x, σ(x) 在 σ 中，不在 τ 中； τ(x) = x, τ(σ(x)) = σ(x) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 若循环置换 σ 和 τ 不相交，则 στ = τσ。 . . . . . . . 考虑 στ 和 τσ 在元素 x 上的作用。 . . . 1 若 x 在 σ 中，则 x, σ(x) 在 σ 中，不在 τ 中； τ(x) = x, τ(σ(x)) = σ(x) στ(x) = σ(τ(x)) = σ(x); 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 若循环置换 σ 和 τ 不相交，则 στ = τσ。 . . . . . . . 考虑 στ 和 τσ 在元素 x 上的作用。 . . . 1 若 x 在 σ 中，则 x, σ(x) 在 σ 中，不在 τ 中； τ(x) = x, τ(σ(x)) = σ(x) στ(x) = σ(τ(x)) = σ(x); τσ(x) = τ(σ(x)) = σ(x)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 若循环置换 σ 和 τ 不相交，则 στ = τσ。 . . . . . . . 考虑 στ 和 τσ 在元素 x 上的作用。 . . . 1 若 x 在 σ 中，则 x, σ(x) 在 σ 中，不在 τ 中； τ(x) = x, τ(σ(x)) = σ(x) στ(x) = σ(τ(x)) = σ(x); τσ(x) = τ(σ(x)) = σ(x)。 . . . 2 若 x 在 τ 中，类似 1。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 若循环置换 σ 和 τ 不相交，则 στ = τσ。 . . . . . . . 考虑 στ 和 τσ 在元素 x 上的作用。 . . . 1 若 x 在 σ 中，则 x, σ(x) 在 σ 中，不在 τ 中； τ(x) = x, τ(σ(x)) = σ(x) στ(x) = σ(τ(x)) = σ(x); τσ(x) = τ(σ(x)) = σ(x)。 . . . 2 若 x 在 τ 中，类似 1。 . . . 3 若 x 不在 σ 及 τ 中，有 στ(x) = τσ(x) = x。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . f1 = (135), f2 = (247) ∈ S9 ，验证 f1f2 = f2f1 。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . f1 = (135), f2 = (247) ∈ S9 ，验证 f1f2 = f2f1 。 . . . 1 如果 x 落在 {1, 3, 5} 中，则 f1f2(x) = 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . f1 = (135), f2 = (247) ∈ S9 ，验证 f1f2 = f2f1 。 . . . 1 如果 x 落在 {1, 3, 5} 中，则 f1f2(x) = f1 ( f2(x) ) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . f1 = (135), f2 = (247) ∈ S9 ，验证 f1f2 = f2f1 。 . . . 1 如果 x 落在 {1, 3, 5} 中，则 f1f2(x) = f1 ( f2(x) ) = f1(x) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . f1 = (135), f2 = (247) ∈ S9 ，验证 f1f2 = f2f1 。 . . . 1 如果 x 落在 {1, 3, 5} 中，则 f1f2(x) = f1 ( f2(x) ) = f1(x) f2f1(x) = f2 ( f1(x) ) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . f1 = (135), f2 = (247) ∈ S9 ，验证 f1f2 = f2f1 。 . . . 1 如果 x 落在 {1, 3, 5} 中，则 f1f2(x) = f1 ( f2(x) ) = f1(x) f2f1(x) = f2 ( f1(x) ) = f1(x) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . f1 = (135), f2 = (247) ∈ S9 ，验证 f1f2 = f2f1 。 . . . 1 如果 x 落在 {1, 3, 5} 中，则 f1f2(x) = f1 ( f2(x) ) = f1(x) f2f1(x) = f2 ( f1(x) ) = f1(x) . . . 2 若 x 落在 {2, 4, 7} 中，则 f1f2(x) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . f1 = (135), f2 = (247) ∈ S9 ，验证 f1f2 = f2f1 。 . . . 1 如果 x 落在 {1, 3, 5} 中，则 f1f2(x) = f1 ( f2(x) ) = f1(x) f2f1(x) = f2 ( f1(x) ) = f1(x) . . . 2 若 x 落在 {2, 4, 7} 中，则 f1f2(x) = f1 ( f2(x) ) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . f1 = (135), f2 = (247) ∈ S9 ，验证 f1f2 = f2f1 。 . . . 1 如果 x 落在 {1, 3, 5} 中，则 f1f2(x) = f1 ( f2(x) ) = f1(x) f2f1(x) = f2 ( f1(x) ) = f1(x) . . . 2 若 x 落在 {2, 4, 7} 中，则 f1f2(x) = f1 ( f2(x) ) = f2(x) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . f1 = (135), f2 = (247) ∈ S9 ，验证 f1f2 = f2f1 。 . . . 1 如果 x 落在 {1, 3, 5} 中，则 f1f2(x) = f1 ( f2(x) ) = f1(x) f2f1(x) = f2 ( f1(x) ) = f1(x) . . . 2 若 x 落在 {2, 4, 7} 中，则 f1f2(x) = f1 ( f2(x) ) = f2(x) f2f1(x) = f2(x) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . f1 = (135), f2 = (247) ∈ S9 ，验证 f1f2 = f2f1 。 . . . 1 如果 x 落在 {1, 3, 5} 中，则 f1f2(x) = f1 ( f2(x) ) = f1(x) f2f1(x) = f2 ( f1(x) ) = f1(x) . . . 2 若 x 落在 {2, 4, 7} 中，则 f1f2(x) = f1 ( f2(x) ) = f2(x) f2f1(x) = f2(x) . . . 3 若 x 落在 {6, 8, 9} 当中，则 f1f2(x) = f2f1(x) = x 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定理 . . . . . . . . Sn 中每一个置换都可以惟一地写成不相交的循环的乘积。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定理 . . . . . . . . Sn 中每一个置换都可以惟一地写成不相交的循环的乘积。 . . . . . . . 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定理 . . . . . . . . Sn 中每一个置换都可以惟一地写成不相交的循环的乘积。 . . . . . . . . . . 1 设 σ ∈ Sn , 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定理 . . . . . . . . Sn 中每一个置换都可以惟一地写成不相交的循环的乘积。 . . . . . . . . . . 1 设 σ ∈ Sn , . . . 2 除去不动点外，总可以分解成若干个不相交的环，不妨设这些环对应的循环变换为 τ1, τ2, . . . , τr , 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定理 . . . . . . . . Sn 中每一个置换都可以惟一地写成不相交的循环的乘积。 . . . . . . . . . . 1 设 σ ∈ Sn , . . . 2 除去不动点外，总可以分解成若干个不相交的环，不妨设这些环对应的循环变换为 τ1, τ2, . . . , τr , . . . 3 容易验证 σ = τ1τ2 · · · τr . 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定理 . . . . . . . . Sn 中每一个置换都可以惟一地写成不相交的循环的乘积。 . . . . . . . . . . 1 设 σ ∈ Sn , . . . 2 除去不动点外，总可以分解成若干个不相交的环，不妨设这些环对应的循环变换为 τ1, τ2, . . . , τr , . . . 3 容易验证 σ = τ1τ2 · · · τr . . . . . . . . σ 分解出若干个不相交的环，一旦某个元素落在这个环中，则在 σ 的作用下，永远也跑不出这个环。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成不相交循环的乘积。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成不相交循环的乘积。 . . . . . . . 1 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成不相交循环的乘积。 . . . . . . . 1 → 5 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成不相交循环的乘积。 . . . . . . . 1 → 5 → 4 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成不相交循环的乘积。 . . . . . . . 1 → 5 → 4 → 2 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成不相交循环的乘积。 . . . . . . . 1 → 5 → 4 → 2 → 8 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成不相交循环的乘积。 . . . . . . . 1 → 5 → 4 → 2 → 8 → 1 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成不相交循环的乘积。 . . . . . . . 1 → 5 → 4 → 2 → 8 → 1 (15428) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成不相交循环的乘积。 . . . . . . . 1 → 5 → 4 → 2 → 8 → 1 (15428). 7 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成不相交循环的乘积。 . . . . . . . 1 → 5 → 4 → 2 → 8 → 1 (15428). 7 → 9 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成不相交循环的乘积。 . . . . . . . 1 → 5 → 4 → 2 → 8 → 1 (15428). 7 → 9 → 10 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成不相交循环的乘积。 . . . . . . . 1 → 5 → 4 → 2 → 8 → 1 (15428). 7 → 9 → 10 → 7, 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成不相交循环的乘积。 . . . . . . . 1 → 5 → 4 → 2 → 8 → 1 (15428). 7 → 9 → 10 → 7, (79 10). 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成不相交循环的乘积。 . . . . . . . 1 → 5 → 4 → 2 → 8 → 1 (15428). 7 → 9 → 10 → 7, (79 10). τ = (15428)(79 10) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 . . . . . . . . 只含有两个元素的置换又称为对换。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 任一置换可表示为若干个对换的乘积。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 任一置换可表示为若干个对换的乘积。 . . . . . . . . . . 1 每个循环都可以写成若干个对换的乘积; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 任一置换可表示为若干个对换的乘积。 . . . . . . . . . . 1 每个循环都可以写成若干个对换的乘积; . . . 2 当 r 大于 2 时，(12 · · · r) = (1r) · · · (13)(12); 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 任一置换可表示为若干个对换的乘积。 . . . . . . . . . . 1 每个循环都可以写成若干个对换的乘积; . . . 2 当 r 大于 2 时，(12 · · · r) = (1r) · · · (13)(12); 比如： (12345) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 任一置换可表示为若干个对换的乘积。 . . . . . . . . . . 1 每个循环都可以写成若干个对换的乘积; . . . 2 当 r 大于 2 时，(12 · · · r) = (1r) · · · (13)(12); 比如： (12345) = (15)(1234) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 任一置换可表示为若干个对换的乘积。 . . . . . . . . . . 1 每个循环都可以写成若干个对换的乘积; . . . 2 当 r 大于 2 时，(12 · · · r) = (1r) · · · (13)(12); 比如： (12345) = (15)(1234) = (15)(14)(123) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定理 . . . . . . . . 任一置换可表示为若干个对换的乘积。 . . . . . . . . . . 1 每个循环都可以写成若干个对换的乘积; . . . 2 当 r 大于 2 时，(12 · · · r) = (1r) · · · (13)(12); 比如： (12345) = (15)(1234) = (15)(14)(123) = (15)(14)(13)(12) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成对换的乘积. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 τ = ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 8 3 2 4 6 9 1 10 7 ) 。把 τ 分解成对换的乘积. . . . . . . . τ = (15428)(79 10) = (18)(12)(14)(15)(7 10)(79) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 (同态) . . . . . . . . . . . 1 设 G1, G2 是两个群，若存在一个从 G1 到 G2 的映射 f，使得 f(ab) = f(a)f(b) 对任意的 a, b ∈ G1 均成立，则称 f 为从 G1 到 G2 的同态映射, 称 G1 在 G2 中的像为 G1 的同态像；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 (同态) . . . . . . . . . . . 1 设 G1, G2 是两个群，若存在一个从 G1 到 G2 的映射 f，使得 f(ab) = f(a)f(b) 对任意的 a, b ∈ G1 均成立，则称 f 为从 G1 到 G2 的同态映射, 称 G1 在 G2 中的像为 G1 的同态像； . . . 2 如果 f 是满的，则称 G1 与 G2 同态，记为 G1 ∼ G2. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定义 . . . . . . . . 如果 f 是双射，那么称 f 是从 G1 到 G2 的一个同构映射，这时也称 G1 与 G2 同构，记为 G1 G2. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . . . . . . . 同态和同构都是对某个映射而言的。两个群同构的含义是—在某种意义下，这两个群是相同的东西。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . . . . . . . 同态和同构都是对某个映射而言的。两个群同构的含义是—在某种意义下，这两个群是相同的东西。 . Example . . . . . . . . (Z, +) 与 (Zm, +) 在映射 f : x → [x] 形成同态。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . (R, +) 与 (R, ×) 在映射 f : x → ex 形成同态。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . (R, +) 与 (R, ×) 在映射 f : x → ex 形成同态。 . . . . . . . f(x + y) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . (R, +) 与 (R, ×) 在映射 f : x → ex 形成同态。 . . . . . . . f(x + y) = ex+y 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . (R, +) 与 (R, ×) 在映射 f : x → ex 形成同态。 . . . . . . . f(x + y) = ex+y = ex · ey 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . (R, +) 与 (R, ×) 在映射 f : x → ex 形成同态。 . . . . . . . f(x + y) = ex+y = ex · ey = f(x) · f(y) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . (Zm, +) 与 (C, ×) 在映射 f : [x] → e2πxi m 形成同态。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 G 是一个群，对于任意 a ∈ G，定义 τa 为 G 上的变换 τa : x → ax. 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 G 是一个群，对于任意 a ∈ G，定义 τa 为 G 上的变换 τa : x → ax. τa 是 G 上的一一变换。集合 L(G) = {τa : ∀a ∈ G} 在变换的复合下构成群。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 G 是一个群，对于任意 a ∈ G，定义 τa 为 G 上的变换 τa : x → ax. τa 是 G 上的一一变换。集合 L(G) = {τa : ∀a ∈ G} 在变换的复合下构成群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性： τa τb (x) = 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 G 是一个群，对于任意 a ∈ G，定义 τa 为 G 上的变换 τa : x → ax. τa 是 G 上的一一变换。集合 L(G) = {τa : ∀a ∈ G} 在变换的复合下构成群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性： τa τb (x) = τa ( τ(b)(x) ) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 G 是一个群，对于任意 a ∈ G，定义 τa 为 G 上的变换 τa : x → ax. τa 是 G 上的一一变换。集合 L(G) = {τa : ∀a ∈ G} 在变换的复合下构成群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性： τa τb (x) = τa ( τ(b)(x) ) = τ(a)(bx) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 G 是一个群，对于任意 a ∈ G，定义 τa 为 G 上的变换 τa : x → ax. τa 是 G 上的一一变换。集合 L(G) = {τa : ∀a ∈ G} 在变换的复合下构成群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性： τa τb (x) = τa ( τ(b)(x) ) = τ(a)(bx) = a(bx) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 G 是一个群，对于任意 a ∈ G，定义 τa 为 G 上的变换 τa : x → ax. τa 是 G 上的一一变换。集合 L(G) = {τa : ∀a ∈ G} 在变换的复合下构成群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性： τa τb (x) = τa ( τ(b)(x) ) = τ(a)(bx) = a(bx) = (ab)x 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 G 是一个群，对于任意 a ∈ G，定义 τa 为 G 上的变换 τa : x → ax. τa 是 G 上的一一变换。集合 L(G) = {τa : ∀a ∈ G} 在变换的复合下构成群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性： τa τb (x) = τa ( τ(b)(x) ) = τ(a)(bx) = a(bx) = (ab)x = τab (x); 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 G 是一个群，对于任意 a ∈ G，定义 τa 为 G 上的变换 τa : x → ax. τa 是 G 上的一一变换。集合 L(G) = {τa : ∀a ∈ G} 在变换的复合下构成群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性： τa τb (x) = τa ( τ(b)(x) ) = τ(a)(bx) = a(bx) = (ab)x = τab (x); . . . 2 单位元：τe ；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 G 是一个群，对于任意 a ∈ G，定义 τa 为 G 上的变换 τa : x → ax. τa 是 G 上的一一变换。集合 L(G) = {τa : ∀a ∈ G} 在变换的复合下构成群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性： τa τb (x) = τa ( τ(b)(x) ) = τ(a)(bx) = a(bx) = (ab)x = τab (x); . . . 2 单位元：τe ； . . . 3 逆元：τaτa−1 = τaa−1 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 G 是一个群，对于任意 a ∈ G，定义 τa 为 G 上的变换 τa : x → ax. τa 是 G 上的一一变换。集合 L(G) = {τa : ∀a ∈ G} 在变换的复合下构成群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性： τa τb (x) = τa ( τ(b)(x) ) = τ(a)(bx) = a(bx) = (ab)x = τab (x); . . . 2 单位元：τe ； . . . 3 逆元：τaτa−1 = τaa−1 = τe 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 设 G 是一个群，对于任意 a ∈ G，定义 τa 为 G 上的变换 τa : x → ax. τa 是 G 上的一一变换。集合 L(G) = {τa : ∀a ∈ G} 在变换的复合下构成群。 . . . . . . . . . . 1 封闭性： τa τb (x) = τa ( τ(b)(x) ) = τ(a)(bx) = a(bx) = (ab)x = τab (x); . . . 2 单位元：τe ； . . . 3 逆元：τaτa−1 = τaa−1 = τe = τa−1 τa 。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 继续前面的例子，定义 G 到 L(G) 的映射 f, 使得 f(a) = τa f 是 G 到 L 的同构。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 继续前面的例子，定义 G 到 L(G) 的映射 f, 使得 f(a) = τa f 是 G 到 L 的同构。 . . . . . . . . . . 1 f 是个同态：广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 继续前面的例子，定义 G 到 L(G) 的映射 f, 使得 f(a) = τa f 是 G 到 L 的同构。 . . . . . . . . . . 1 f 是个同态：τaτb = τab ；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 继续前面的例子，定义 G 到 L(G) 的映射 f, 使得 f(a) = τa f 是 G 到 L 的同构。 . . . . . . . . . . 1 f 是个同态：τaτb = τab ； . . . 2 f 是个单射：广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 继续前面的例子，定义 G 到 L(G) 的映射 f, 使得 f(a) = τa f 是 G 到 L 的同构。 . . . . . . . . . . 1 f 是个同态：τaτb = τab ； . . . 2 f 是个单射：若 a = b，则 τa(e) = τb(e)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . Example . . . . . . . . 继续前面的例子，定义 G 到 L(G) 的映射 f, 使得 f(a) = τa f 是 G 到 L 的同构。 . . . . . . . . . . 1 f 是个同态：τaτb = τab ； . . . 2 f 是个单射：若 a = b，则 τa(e) = τb(e)； . . . 3 f 显然是个满射。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定理 (Cayley 定理) . . . . . . . . 每个群都与某一个变换群同构。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定理 (Cayley 定理) . . . . . . . . 每个群都与某一个变换群同构。 . . . . . . . 由前面的例子知道：G ∼ = L(G)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定理 (Cayley 定理) . . . . . . . . 每个群都与某一个变换群同构。 . . . . . . . 由前面的例子知道：G ∼ = L(G)。 G L(G) a τa a · b = ab τaτb = τab e 是单位 τe 是单位 a 的逆元是 a−1 τa 的逆元是 τa−1 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构 . 定理 (Cayley 定理) . . . . . . . . 每个群都与某一个变换群同构。 . . . . . . . 由前面的例子知道：G ∼ = L(G)。 G L(G) a τa a · b = ab τaτb = τab e 是单位 τe 是单位 a 的逆元是 a−1 τa 的逆元是 τa−1 这个定理很重要，它表明，任何一个抽象的群实际上都可以看成一个具体的群。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

记号循环置换对换同态、同构本节完，谢谢！磊张印晓广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

信息安全数学基础：第6章：群（上）

信息安全数学基础：第6章：群（上）

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