(2026) Plus de 500 ans d'énigmes

Support d'une intervention grand public à la Fabrique de la Flèche dans le cadre du Festival Maths en Ville organisé par la compagnie Terraquée.

L'objectif est de présenter un aspect des mathématiques médiévales en se concentrant sur les énigmes/problèmes, leurs rôles structurant dans la société et de présenter quelques personnalités singulières (Alcuin, Gerbert d'Aurillac et Léonard de Pise).

Transcript

1. Plus de 500 ans d’énigmes Comment les maths ont façonné la société médiévale Roger Mansuy Maths en Ville 2026
2. Mickaël Launay, Le Monde, 17 février 2024
3. Récréations mathématiques, Édouard Lucas, Librairie Albert Banchard, 1892
4. Firri, pensant à sa revanche: Tu dois mener à travers la rivière un loup, un bouc et des choux à l’aide d’une petite barque ne pouvant contenir que l’un d’eux en telle manière que le loup ne puisse dévorer le bouc ni le bouc manger les choux. Annales Stadenses, Albert de Stade, milieu XIIIe siècle
5. Firri, pensant à sa revanche: Tu dois mener à travers la rivière un loup, un bouc et des choux à l’aide d’une petite barque ne pouvant contenir que l’un d’eux en telle manière que le loup ne puisse dévorer le bouc ni le bouc manger les choux. Tirri: Peuh, c’est là une poésie enfantine : Quelqu’enfant de cinq ans mena d’abord le bouc, Retourna, prit le loup, mais ramena le bouc Alors porta les choux, et revint pour le bouc. Annales Stadenses, Albert de Stade, milieu XIIIe siècle
6. 18) À propos d’un loup, d’une chèvre et d’un cageot de choux Un certain homme devait faire traverser un fleuve à un loup, une chèvre et à un cageot de choux, et il ne parvenait pas à trouver un autre bateau ni à transporter plus de deux d’entre eux. De fait, il lui avait été ordonné de les transporter tous de l’autre côté. Que dise, qui le peut, comment il a pu transporter les trois de l’autre côté. Solution : je mènerais d’abord la chèvre et je laisserais seuls le loup et le chou. Alors, ensuite, je viendrais et je transporterais le loup, et le loup déposé de l’autre côté, je reviendrais avec la chèvre et celle-ci laissée de ce côté, je transporterais le chou de l’autre côté, et de nouveau je reviendrais et, la chèvre embarquée je la porterais de l’autre côté. Ainsi fait, il y aurait un salutaire exercice à la rame et pas de lacération vorace. Propositiones ad acuendos juvenes, Alcuin, IXe siècle
7. Vie de Charlemagne, Henri-Léopold Lévy, Panthéon
8. Vie de Charlemagne, Henri-Léopold Lévy, Panthéon
9. Repères sur la vie d’Alcuin, Flaccus Albinus Alcuinus (c.735–804) • Éducation à l’école cathédrale d’York (auprès d’un disciple de Bède le vénérable); il est diacre. • Proche conseiller de Charlemagne à partir de 781, il gère l’école du Palais et participe à la vie de la cour, initie la Renaissance Carolingienne. • Auteur de Propositiones ad acuendos juvenes mais aussi d’autres textes littéraires ou religieux • Charlemagne le fait abbé de Saint-Martin de Tours en 796; il travaille au rayonnement culturel et intellectuel depuis cette abbaye où il meurt en 804. ”L’homme le plus savant de son temps” selon Eginhard
11. L’école du Palais (schola palatii), pour qui? pour quoi? Pour des jeunes du Palais, c’est-à-dire des gens n’ayant pas encore acquis un statut social (donc pas forcément jeunes): aristocrates, clercs, jeunes repérés pour leurs aptitudes.
12. L’école du Palais (schola palatii), pour qui? pour quoi? Pour des jeunes du Palais, c’est-à-dire des gens n’ayant pas encore acquis un statut social (donc pas forcément jeunes): aristocrates, clercs, jeunes repérés pour leurs aptitudes. Des objectifs variés: • Donner une formation intellectuelle généraliste • Transmettre des savoirs spécifiques • Jauger les aptitudes de chacun pour la société et l’empire • Sélectionner les futurs ”cadres”
13. (42) A propos d’une échelle qui avait cent barreaux Il y a une échelle qui a 100 barreaux. Sur le premier barreau se tenait une colombe, sur le deuxième, deux, sur le troisième, trois, sur le quatrième, 4, sur le cinquième, 5. Ainsi sur chaque barreau jusqu’au centième. Que dise, qui le peut, combien il y eut de colombes en tout. Solution: Tu les compteras ainsi: du premier barreau, sur lequel se tient une colombe, prends-la et ajoute-lui les 99 qui se trouvent sur le quatre-vingtdix-neuvième, et elles seront 100. Ainsi, le deuxième et le quatre-vingt-dix- huitième. et tu en découvriras de même 100. Ainsi pour chacun des barreaux, compte ensemble dans cet ordre un des plus élevés et un autre des plus bas, découvriras toujours 100 par deux barreaux. Or, le cinquantième et tu en barreau est esseulé et ne trouve pas de paire.De façon semblable, le centième restera isolé. Joins ensemble tous les barreaux, et tu trouveras 5050 colombes.
14. (30) À propos d’une basilique Il y a une basilique, qui compte en longueur 240 pieds et en largeur 120. Or, des dalles y sont disposées, dyes dalles qui comptent en longueur 23 onces, soit un pied et 11 onces, et en largeur 12 onces soit un pied. Que dise qui le veut, combien il est nécessaire d’y disposer de dalles.
15. (14) À propos d’un boeuf Un boeuf qui laboure toute la journée, combien de traces laisse-t-il dans le dernier sillon?
16. (11) À propos d’un père et de son fils, et d’une veuve et de sa fille Si un père et son fils se marient avec une veuve et sa fille, ainsi, de façon à ce que le fils soit joint à la mère, le père à la fille, dis, je le demande, par quelle relation de parenté les fils qui seront procréés seront liés.
18. Organisation des arts libéraux Trivium grammaire dialectique rhétorique Quadrivium arithmétique géométrie musique astronomie d’après Boèce (480–524) et Bède le Vénérable (672/673–735)
19. Laurent de La Hyre
21. Portrait du Pape Sylvestre II, Jean Tahan, Aurillac
22. Portrait du Pape Sylvestre II, Jean Tahan, Aurillac
24. Fresque de Gerbert, Gábor Szinte, église de Saint-Simon
25. Repères sur la vie de Gerbert d’Aurillac (c.945–1003) • Éducation à l’abbaye Saint-Géraud d’Aurillac. • Voyage en 967 en Catalogne, études au monastère de Ripoll et auprès de l’évêque de Vic. • En 972, il est nommé à la direction de l’école cathédrale de Reims par l’archevêque Adalbéron. Grande implication dans le renouvellement de l’enseignement du Quadrivium. • En 982, il devient abbé de Bobbio... mais repart rapidement à Reims. • Il devient secrétaire d’Adalbéron, d’Hugues Capet... • En 991, il devient archevêque de Reims contre l’avis du pape... qui l’excommunie. • En 999, l’empereur Otton III du Saint-Empire nomme Gerbert comme pape sous le nom de Sylvestre II.
26. Historiarum Libri Quatuor, Richer de Reims
27. Liber Abaci, Bernelin de Paris
28. Codex Vigilanus ou Codex Albeldensis, 976
29. Monument à Léonard de Pise, Giovanni Paganucci, Camposanto di Pisa
30. Repères sur la vie de Léonard de Pise (c.1170-c.1250) • Fils de marchand, son éducation se fait essentiellement à Béjaïa où il apprend la comptabilité. • Voyage autour de la Méditerranée pour le compte de son père. • Auteur de livres mathématiques: Liber abaci (1202), Practica Geometriae (1220), Liber quadratum (1225) et Flos (1225). Il introduit les chiffres arabes en occident.
31. Repères sur la vie de Léonard de Pise (c.1170-c.1250) dit Fibonacci • Fils de marchand, son éducation se fait essentiellement à Béjaïa où il apprend la comptabilité. • Voyage autour de la Méditerranée pour le compte de son père. • Auteur de livres mathématiques: Liber abaci (1202), Practica Geometriae (1220), Liber quadratum (1225) et Flos (1225). Il introduit les chiffres arabes en occident. • Le surnom Fibonacci est crée en 1828 (par Guglielmo Libri).
32. Liber Abaci, Biblioteca Nazionale Centrale of Florence
33. Liber Abaci, Biblioteca Nazionale Centrale of Florence
34. Liber Abaci, Biblioteca Nazionale Centrale of Florence
35. Liber Abaci, Biblioteca Nazionale Centrale of Florence
36. Quelqu’un plaça une paire de lapins dans un endroit clos de tous côtés afin de savoir combien de descendants cette seule paire engendrerait en une année. Or, il est dans leur nature de mettre au monde une nouvelle paire chaque mois, et les lapins ont des descendants deux mois après leur naissance. Combien de paires de lapins sont engendrées en une année par une seule paire?
37. Quelqu’un plaça une paire de lapins dans un endroit clos de tous côtés afin de savoir combien de descendants cette seule paire engendrerait en une année. Or, il est dans leur nature de mettre au monde une nouvelle paire chaque mois, et les lapins ont des descendants deux mois après leur naissance. Combien de paires de lapins sont engendrées en une année par une seule paire? ↬ 377 paires
38. Liber Abaci, Biblioteca Nazionale Centrale of Florence
39. Un lion est dans un puits dont la profondeur est de 50 palmes. Il monte quotidiennement de 1/7 d’une palme, et descend de 1/9. On demande en combien de jours il sortira du puits.
40. Un lion est dans un puits dont la profondeur est de 50 palmes. Il monte quotidiennement de 1/7 d’une palme, et descend de 1/9. On demande en combien de jours il sortira du puits. ↬ 1575 jours
41. C’est une citerne qui a quatre ouvertures. Par la première, elle se vide en 1 jour; par la seconde, en 2; par la troisième, en 3; par la quatrième, en 4. On cherche à savoir en combien de temps elle sera vidée si les quatre ouvertures précédentes sont ouvertes en même temps.
42. C’est une citerne qui a quatre ouvertures. Par la première, elle se vide en 1 jour; par la seconde, en 2; par la troisième, en 3; par la quatrième, en 4. On cherche à savoir en combien de temps elle sera vidée si les quatre ouvertures précédentes sont ouvertes en même temps. ↬ 12/25 jours
43. Le Liber Abaci, pour qui? pour quoi? Surtout pour des marchands (mais aussi destiné aux savants).
44. Le Liber Abaci, pour qui? pour quoi? Surtout pour des marchands (mais aussi destiné aux savants). • Pas des exercices de modélisation • Former aux techniques de résolution comme les fausses positions • Introduire les chiffres et leurs manipulations (dont la multiplication par jalousie)
45. D’autres types d’énigmes, plus tardives, concernent davantage les questions autour du droit, des problèmes d’héritages. Voici deux exemples atypiques...
46. Maevius vendit à Titius une vache portante sous la clause que si elle accouchait d’une génisse, Titius payerait quarante, si d’un veau quarante-cinq. Sur le prix de la vache ils convinrent qu’il serait le triple de la génisse, et le double du veau. Le temps venu, la vache accoucha de jumeaux, mâle et femelle. On demande combien Titius devait à Maevius. Logistica quae & Arithmetica vulgò dicitur, Jean Buteo (1560)
47. Un marchand parachevant le cours de cette vie fragile et calamiteuse, laisse 1200 fl. à sa femme grosse, à telle condition, que si Dieu la fait mère d’une fille, celle-ci aurait 300 fl. et la mere la reste. Mais si elle enfante un fils, la mere aurait 300 fl. et le fils le surplus. Advint après le décès du testateur que la veuve accoucha d’un fils, d’une fille et d’un hermaphrodite ou d’une androgyne. Comment satisfaire à la volonté dudit testateur? De l’arithmétique, Elcie Edouard Leon Mellema (1586)
48. Conclusion Les énigmes ont eu, tout au long du Moyen-âge, un intérêt pédagogique pour des publics différents souvent avec des objectifs de former ou sélectionner des personnes pour exercer des responsabilités. • Des marchands et des comptables • Des clercs ou de futures autorités religieuses • Des administrateurs et des hommes politiques • Des acteurs du droit et de la justice • Des savants