Zašto i kako modelirati kretanje meteoroida kroz Sunčev sistem [Vladimir Lukić, 2012]

Škola meteorske astronomije, Istraživačka stanica Petnica, 2012.

Transcript

1. Zasto i kako modelirati kretanje meteoroida kroz Suncev sistem?
2. Mudrost br. 1: Ne trebaju nam brzi racunari, vec brzi algoritmi. Mudrost br. 2: OSNOVNI zadatak numericke matematike nije nalazenje algoritma sa najmanjom greskom, vec nalazenje algoritma sa kontrolisanom greskom. Dve mudrosti:
3. Brzi algoritmi vs. brzi racunari Primer: Furijeova transformacija. 4D Furijeov transform sa 1000 elemenata po dimenziji. Moj desktop (_jako_ star & spor): - 'obican' FT: o(N^2) => reda (1000^2)4 = 10^24 operacija @ 4 GFLOPS = 10,000,000 godina!!! - 'brzi' FT: o(N*lnN) (3*1000)^4 @ 4 GFLOPS => 6 sati !!! Najbrzi racunar danas (31.07.2013): - 'obican' FT: o(N^2) @ 33.9 PFLOPS => 1 godina Moj telefon: - 'brzi' FT @ 8 MFLOPS => 3 meseca !!!
4. Greska kod stabilnog i nestabilnog algoritma: Akumuliranje greske dovodi do nepredvidivih posledica: Kontrolisana greska – stabilan i nestabilan algoritam: Da li je rezultat simulacije akumulacija greske ili fizicka perturbacija?
5. Centralna gravitaciona sila bez perturbacija – znamo resenja!!! - ako je interval dovoljno kratak da je ubrzanje (priblizno) konstantno => na svakom intervalu imamo kinematiku sa konstantnim ubrzanjem!
6. Eulerov method: - ni energija ni moment impulsa nisu odrzani!!!
7. Prediktor-korektor metod: -ako se ubrzanje menja, bolje je uzeti prosecno ubrzanje na segmentu (i, i+1) - ali mi NE ZNAMO a(i+1) - previdimo ubrzanje u ap(i+1) koristeci konstanto ubrzanje a(i) (Eulerovim metodom). - to predvidjeno ubrzanje korigujemo; - ubrzanje u a(i+1) je prosek izmedju predvidjenog ap(i+1) i pocetnog ubrzanja a(i)
8. Runge-Kutta metodi: -umesto da jednostavni uzmemo prosecnu vrednost, uzecemo neku vrstu usrednjene vrednosti u vise tacaka na intervalu. -konstante a, b, c …. su nepoznate. Nalazimo ih tako sto zahtevamo da funkcija ima odredjenu tacnost (stepena (x-x0)^n). -razvijamo x(n+1) i konstante kx1, kx2 .. u Taylorov red, i konstante nalazimo zahtevajuci da su clanovi istog stepena u (x(n+1) – x(n)) jednaki na dve strane prve jednacine. - izvodjenje je (relativno) komplikovano, ali je primena vrlo jednostavna.
9. Izvod u tacki = nagib tangente u toj tacki Taylorov razvoj – aproksimacija funkcije polinomom
10. Runge-Kutta metodi: Runge Kutta drugog reda (RK2): Runge-Kutta cetvrtod reda (RK4):
11. Promenljivi vremenski korak = usteda vremena: - uzmi dva metoda koji imaju istu tacnost - izracunaj promenu polozaja u n-tom koraku - kolika je razlika izmedju ta dva metoda (to je nasa procena greske). - ako je manja od trazene tacnosti=> OK, predji na sledecu korak - ako je veca => prepolovi korak i probaj ponovo. - mnogo veci koraci su moguci u afelu nego u perihelu. Kako cestica vise vremena provodi oko afela => znacajna usteda!!!
12. Primer 1: perturbacija Oortovog oblaka gravitacijom. -direktan problem – data je brzina i masa zvezde => kakva je raspodela orbita? -inverzni problem – iz posmatrane raspodele orbita naci brzinu i masu zvezde! - sta ako nije zvezda?
13. Primer 2: perturbacija nepravilnih cestica zracenjem Primer 2: perturbacija nepravilnih cestica zracenjem Hyperion: Agregat: Dve cestice: