Algoritmos e a resolução de problemas

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1. LNCC UFRJ Algoritmos e a resolução de problemas Prof. Paulo R. G. Bordoni
2. A definição de Trefethen enfatiza o estudo de algoritmos para resolver problemas.
3. As transparências de 1 à 63 são dedicadas ao entendimento do conceito de problema.
4. Mestre, explique melhor o que é, que coisa é, um problema? Loirinha, esta é uma pergunta com resposta difícil. Vamos pedir ajuda ao Polya.
5. Como já dissemos, Polya dedicou-se a entender, explicar e ensinar a arte de resolver problemas.
6. A tradução do livro para o português é do Prof. da PUC-Rio, João Bosco Pitombeira. Vá à aba “Leituras adicionais” no site do Mestre e leia “How to solve it, G. Polya – Resumo” Vai ajudar vocês!
7. O texto começa assim:
8. Dados Resultados Problema Condição Mestre Polya nos ensinou que os ingredientes essenciais de um problema são os dados, a condição e os resultados.
9. Dados Resultados Problema Condição Galileu, dados e resultados são conjuntos de coisas, objetos, associados ao problema, não? Entretanto a condição é algo mais abstrato, difícil de especificar. Como isto pode ser feito?
10. Loirinha querida, os matemáticos amarram essas três entidades através do conceito abstrato de relação! Dados Resultados Problema Condição
11. Nunca imaginei que uma relação pudesse ser colocada em termos matemáticos! É, o amor é algo abstrato: amarra homens e mulheres, formando casais!
12. De fato, uma relação é uma entidade matemática abstrata que amarra dois conjuntos de coisas.
13. Dados dois conjuntos X e Y, uma relação entre X e Y é um subconjunto do produto cartesiano × de X e Y: ⊆ × E como a matemática define uma relação, Mestre?
14. × , R Assim, uma relação é (idêntica a) um gráfico (o seu). Simplesmente um subconjunto de × . Em outras palavras uma relação ⊆ × é um conjunto de pares ordenados (, ) ∈ × com ∈ e ∈ .
15. × , R E quando , ∈ escrevemos . Claramente poderão existir pares , ∈ × para os quais que , ∉ .
16. Muito claro Mestra um homem , uma mulher e . Ou
17. 1,3 × [1,2] 2 1 3 1 2 Vejam a relação ≥ em [1,3] × [1,2]: Escrevemos ≥ quando , ∈ ≥ . ,
18. −1,1 × [−1,1] 1 1 −1 −1 2 + 2 = 1 A circunferência de raio 1, centrada na origem, é a relação descrita por 2 + 2 = 1 em [−1,1] × [−1,1]:
19. × R () ℐ() O domínio () da relação R é o subconjunto de X definido por: = ∈ ∃ ∈ , ∈ } A imagem ℐ() da relação R é o subconjunto de Y definido por: ℐ = ∈ ∃ ∈ , ∈ }
20. × R () ℐ() Mestra, dada uma relação ⊂ × se ∈ () e ∈ ℐ() podemos garantir que ? Não Loirinha! Todos os pontos na região amarela do desenho satisfazem suas condições mas estão fora de R.
21. × R Situação proibida para funções. y z Funções constituem casos particulares de relações que satisfazem a exigência adicional: ⟹ = .
22. Funções descrevem relações de causa e efeito. Uma causa não pode possuir mais que um efeito. Efeito Outro efeito Causa
23. × f = () Face à ideia de descrever relações de causa e efeito, as funções são anotadas previlegiando a direção: : → com = ().
24. × f = () Também, por descrever relações de causa e efeito, para funções há a exigência adicional de serem definidas para todo elemento ∈ . Em outras palavras, se ⊂ × é uma função, então = . Entretanto não se exige que ℐ = . Por isto Y é denominado contradomínio.
25. −1,1 × [−1,1] 1 1 −1 −1 2 + 2 = 1 A relação 2 + 2 = 1 em [−1,1] × [−1,1] não define uma função. Entretanto, em [−1,1] × [0,1], ela define uma função.
26. Um problema direto é aquele em que os dados são elementos do conjunto ⊂ e, para cada ∈ (), a resposta é o elemento ∈ ℐ() tal que . ℐ() () , R Dado Resposta
27. Face à ideia de causa e efeito, os problemas diretos estão associados a funções. Sim, porque a ideia subjacente é: Para um valor ∈ , dado, calcular aquele ∈ ℐ() para o qual = ().
28. ℐ() () , R Y Um problema inverso é aquele em que os dados são elementos do conjunto e, para cada ∈ , a resposta é algum elemento ∈ () tal que . A incógnita é a resposta que buscamos. Resposta Dado
29. Problemas inversos normalmente são mais complexos, pois envolvem a descoberta da incógnita: ∈ tal que , para ∈ dado. Os problemas inversos estão associados a equações.
30. Resolver um problema inverso normalmente envolve a resolução de uma equação. A equação é uma descrição da condição.
31. Afinal Mestres: o que é uma equação?
32. Não precisa gritar Loirinha! Darei agora uma resposta mais ampla à sua pergunta Ela envolve três campos do conhecimento humano: Lógica, Linguagens e Matemática.
33. Falando em Lógica, olha metade de mim aí:
34. Silogismo: é uma forma de argumentação lógica que minha metade aristotélica desenvolveu.
35. Leibnitz e a Lógica:
36. Loirinha, um passo decisivo para responder tua pergunta é o Cálculo Proposicional.
37. O Cálculo Proposicional, apresentado por G. Boole em “The Laws of Thought”, (1854) é uma forma algébrica de lidar com a Lógica. Eis a Matemática se apresentando na Lógica!
38. Imagino o Cálculo Proposicional na Lógica como o equivalente ao Cálculo Diferencial e Integral I na Matemática. Boa comparação Cabelos de Fogo. Pensando assim, os silogismos de Aristóteles correspondem ao Pré-Cálculo!
39. Sim coleguinha, o mesmo das tabelas-verdade, mas com leis envolvendo proposições , , , … , os conectivos lógicos ∧,∨, →, ↔ e a negação ¬. Por exemplo uma das Leis de DeMorgan: ¬ ∨ ⟺ (¬ ∧ ¬) Cálculo proposicional ?! Eu trabalhei com tabelas-verdade, usando V para verdadeiro e F para falso.
40. Precisaremos ir além do Cálculo Proposicional, jovens. Precisaremos do Cálculo de Predicados. De tão sofisticado, o Cálculo de Predicados corresponde ao Cálculo Diferencial e Integral IV!
41. Frege revolucionou a lógica quando criou o que é conhecido hoje como “cálculo de predicados”. Seus primeiros resultados foram publicados em 1.879, no livro Begriffsschrift (Conceitografia).
42. Na sua Conceitografia, G. Frege, estabeleceu claramente conceitos como os de função e de variável lógica. A ideia de sentença aberta (), numa variável é dele. Ela não é nem verdadeira nem falsa. Porém quando substituímos por algum valor, podemos então decidir seu valor lógico. Por exemplo, se () ≡ ( 2 − 2 = 0 ) então é verdadeira para = 2.
43. Observem que no cálculo de predicados, entramos no interior das sentenças, transformando-as em proposições lógicas ao instanciarmos (i.é, atribuirmos algum valor) suas variáveis. As ideias de Frege permitiram o tratamento de questões lógicas impossíveis de serem representadas por meio do Cálculo Proposicional, de Boole.
44. Além de instanciar variáveis, uma outra forma de fazer isso é utilizando os quantificadores: Ao quantificarmos uma sentença aberta numa variável , nós a transformamos numa proposição. Então ela poderá assumir um dentre os dois valores lógicos V ou F. ∀, ∃, ()
45. Loirinha, eis a resposta ao seu grito de angústia: Uma equação é uma sentença aberta numa variável : ≡ [ () = 0 ] Valores de que tornam essa sentença verdadeira são raízes da equação = 0.
46. Um exemplo, por favor! Tão límpido quanto água: A equação 2 − 2 = 0 é a sentença aberta , na variável , definida por () ≡ (2 − 2 = 0).
47. No caso dessa sentença () a afirmação ∃, () é verdadeira, ao passo que ∀, é falsa. Claro Mestre, ∃, () é verdadeira tanto para = 2 como para = − 2. Entretanto ∀, é falsa. Por exemplo, para = 1 temos 2 − 2 = −1 logo (1) é falsa.
48. Detesto pedantismo Mestre, prefiro falar: “As raízes da equação = 0 são ...” Eu também! Portanto 2 e − 2 são raízes da equação 2 − 2 = 0.
49. Agora vou encerrar essa digressão lógica, e retornar aos problemas e relações. Mais sobre lógica no apêndice 1.
50. Meditei sobre o assunto e concluí que problemas e relações são a mesma coisa. Apenas vestem roupas diferentes, como Super Homem e Clark Kent. Concordo Loirinha. E nas HQ da Marvel Comics há muitas outra identificações: • Homem de Ferro e Tony Stark; • Batman e Bruce Wayne; • Homem Aranha e Peter B. Parker; • ...
51. A diferença é que o conceito de relação é como se fosse uma foto do todo e o de problema junta uma pergunta à foto. Que clareza! Você foi lá no fundo dos conceitos, Cabelos de Fogo!
52. E também poderão existir mais do que um elemento ∈ cumprindo a condição. A equação possui mais de uma solução. Um problema inverso (equação) pode não ter solução! É quando não existe nenhum elemento ∈ cumprindo a condição.
53. É, e lembrando que não existe ∈ ℝ tal que 2 = −1, temos um problema (equação) sem nenhuma solução. É mesmo Filósofo, o problema (equação): Obter ∈ ℝ tal que 2 = 1, possui duas soluções: = ±1 .
54. A lista é grande e depende do problema. Por ex.: • No caso de equações polinomiais pode ser o conjunto das soluções pode ser o ℝ dos números reais ou o ℂ dos complexos. • No caso dos sistemas de equações lineares a incógnitas reais, o conjunto ℝ. Ou ℂ para incógnitas complexas. Mestre, cite alguns outros problemas inversos importantes.
55. Outros exemplos: • Sistemas de equações não-lineares; • Equações matriciais; • Equações diferenciais ordinárias (EDO’s) e problemas de valor inicial; • EDO’s e os problemas de valor de contorno; • Equações diferenciais parciais e problemas de valor de contorno (eqs. elípticas). • Equações diferenciais parciais e problemas de valor inicial (eq. de calor e eq. da onda); • Cálculo de autovalores e os correspondentes autovetores;
56. R −1 = Dada uma relação ⊂ × a relação inversa −1 de R é definida por: −1 = , ∈ × (, ) ∈ } Para relações ⊂ ℝ2, a relação inversa −1 é o reflexo de R no espelho = .
57. Y X −1 Lembro que um problema inverso pode ser transformado num direto através da relação inversa. A inversa de uma função nem sempre é função. Pensem em () = 2
58. A inversa de ↦ = 2 é ↦ = , mas só para ≥ 0. Sim, Surfista. Ela fornece a solução para o problema inverso: dado ≥ 0, qual é o valor de ∈ ℝ para o qual 2 = .
59. E como o Mestre falou, o gráfico de ↦ é a imagem no espelho ↦ do gráfico de ↦ 2. Fiz o gráfico das duas e também da reta = . Notem que a escala do eixo-y é o dobro da escala do eixo-x.
60. Sempre tendo todos os cuidados com relação a domínio, contradomínio e imagem, como fez o Surfista. Dados Incógnita Problema Condição A solução de um problema inverso associado a uma relação R (ou uma função f ) é sempre dada pela relação inversa −1 (ou pela função inversa −1).
61. Dados Incógnita Problema Condição Entretanto, computacionalmente, usar a inversa pode ser muito ruim. Entretanto, COMPUTACIONALMENTE...
62. Dados Incógnita Problema Condição Sim Loirinha, considere o problema inverso: Obter, quando possível, um vetor tal que = , para A e b dados. Ruim, Sherlock?
63. Bahh! Estudamos em Álgebra Linear que a solução é dada por = −1, quando a matriz A é inversível. Claro colega, pois nesse caso teremos: = −1 = −1 = =
64. Pois é sabichão, mas computacionalmente não é assim que procedemos! Mais adiante no curso vamos analisar esse problema e você entenderá por quê.
65. • Problemas: • Polya e a resolução de problemas, • Dados, condição, resultados. • Relações: • Gráficos ou relações, • A identificação de um problema a uma relação, • Funções descrevem relações de causa e efeito, • Tipos básicos de problemas: • Problemas diretos e funções, • Funções e problemas inversos – equações. Eis um resumo do que vimos até agora:
66. A definição deTrefethen de Análise Numérica envolve o estudo de algoritmos para resolver problemas.
67. Algo como uma receita de bolo. Um algoritmo é um procedimento passo-a-passo para efetuar cálculos. Uma sequência finita de instruções para resolver um problema Algoritmos são como programas de computador? Mestra, o que é mesmo um algoritmo?
68. Sim, uma descrição passo a passo do que fazer – um algoritmo! Dados Resultados Problema Condição Obter resultados partindo de dados e cumprindo uma condição envolve um roteiro do que fazer, não?
69. Loirinha, chamo sua atenção para um “detalhe”: A formalização do conceito de algoritmo é anterior ao ENIAC - o 1º computador digital.
70. Loirinha e Surfista, assinalei as 1ªs aplicações que utilizaram ENIAC...
71. Surfistas e Loirinhas, leiam mais sobre o Projeto Manhattan e aplicações bélicas da ciência e tecnologia no apêndice 1 que incluí ao final deste conjunto de transparências.
72. A IBM e os sete anões Expressão cunhada lá pela metade da década de 1960, descrevendo como a IBM dominava o negócio de computadores. Em 1965 a IBM detinha 65,3 % do mercado. Os sete anões, Burroughs, Sperry Rand (anteriormente Remington Rand) , Control Data , Honeywell , General Electric, RCA e NCR, dividiam o resto. Dez anos depois:
73. Veja Loirinha, o que achei na internet sobre algoritmos:
74. Ele aparece como a Proposição II do Livro VII dos “Elementos”, de Euclides, 300 aC. O algoritmo de Euclides, para calcular o mdc (máximo divisor comum) de dois números inteiros, é um dos mais antigos que se tem notícia na história da humanidade.
75. O algoritmo se baseia na ideia que para > , então , = , − . Por exemplo, 7,4 = 4,3 = 3,1 = 1,2 = 1,1 = 1
76. . Início Repetir até que = Esse algoritmo é um processo repetitivo: Se < Passo 1 Substituir − Passo 2 = = Então
77. Por exemplo, se = (, ) então podemos simplificar a fração Τ , escrevendo = ∙ ∙ = . Mestres, qual a utilidade em achar o (, ) de dois números A e B ?
78. Portanto, se , = 1 então Τ já está na sua forma mais simples! É mesmo, 357 255 = 49 35 = 21 15 = 7 5
79. Vocês tem 3 minutos para acabar! O 1º ganha uma bala. Loirinhas, Surfistas e Cabelos de Fogo: 1. Escolham dois números A e B, com 3 dígitos cada um. 2. Calculem o (, ).
80. 1. Blá, blá, blá ... 2. ... 3. ... No 4º ano do Ginásio aprendi a extrair a raiz quadrada, , de um número da seguinte forma: Loirinhas, Surfistas e Cabelos de Fogo, descubram esse algoritmo na web e calculem para alguns valores de .
81. Qual a utilidade em executar passo-a- passo, tais instruções, Tio? Posso usar a calculadora do meu celular para obter a raiz quadrada de um número! E como será que uma calculadora faz isto, Surfista?
82. Tio, o Surfista tem razão, esses dois exercícios não acrescentam nada. Constituem apenas um treinamento! Quando vou utilizá-los? Cabelos de fogo vou mostrar a resposta a essa questão, apresentada por um colega meu. Um professor.
83. Interlúdio (intervalo comercial) para apresentar a resposta do Prof. Jordan Ellenberg
84. Mestre, a reclamação de meus colegas é mundial. Basta ler a Introdução do livro do seu colega para confirmar!
85. Vejam Mestres, o Prof. Ellenberg está nos dando total razão!
86. É... As universidades estão cheias de Ph-deuses mentirosos. É mais cômodo ficar com o estabelecido por Aristóteles e não contestar o poder da Igreja e de igrejinhas... É Mestre, seu colega acabou de dizer que essa resposta é mentirosa!
87. Nosso Mestre já mandou um aluno fazer musculação para o cérebro. Não vou entrar nessa!
88. Musculação para o cérebro. Algo do tipo alongar neurônios?! Também não gostei dessa nova resposta.
89. Caros alunos, aqui começa a verdadeira resposta, do Prof. Ellenberg.
90. Sim, mas afinal, qual é a resposta? Pense no título marcado do parágrafo, Loirinha. Na realidade o livro todo é a melhor resposta. Leia-o!
91. Após este intervalo comercial vou mergulhar mais fundo no conceito de algoritmo!
92. Essa pergunta é uma das mais difíceis que a humanidade já se fez! A resposta só foi dada na década de 30 do século passado. Sim Mestre o que é, de fato, um algoritmo?
93. Loirinha: David Berlinski, responde tua pergunta através de uma viajem fantástica pelo interior de algoritmo! as ideias, a lógica subjacente, os homens, as máquinas digitais, ... Sim ele navega pela história, pelas ideias, pela lógica subjacente, os homens envolvidos, as máquinas digitais, ...
94. Nas palavras do lógico: um algoritmo é um método finito, escrito em um vocabulário simbólico fixo, regido por instruções precisas, que se movem em passos discretos, 1, 2, 3, ..., cuja execução não requer insight, esperteza, intuição, inteligência ou clareza e lucidez, e que mais cedo ou mais tarde chega a um fim. Antecedendo ao capítulo I, destacado numa página, lemos:
95. Mestres, sugiro o garrote para todos os alunos que deixarem de ler este livro! Não exagere Torquinho, a Inquisição acabou a séculos, mas prometo pensar em reprová-los
96. Os autores foram Church, Turing, Gödel e Post. No capítulo 11, “O pavão da razão”, Berlinski recorda que foram dadas quatro definições distintas, mas equivalentes para algoritmo.
97. A mais intuitiva é a de Turing, que descrita através de uma máquina imaginária – hoje referida como “a máquina universal de Turing”. Máquina (abstrata) porque recorre à mecanização de procedimentos.
98. Z A B Fita Cabeçote Estados {0, 1} Símbolos A arquitetura dela envolve:
99. Z A B Fita Cabeçote Estados {0, 1} Símbolos Quadrado atual O cabeçote pode: 1. Ler o símbolo escrito sobre o quadrado atual; 2. Mover-se do quadrado atual para o seguinte ou para o anterior ou ainda ficar parado; 3. Escrever ou apagar um símbolo no quadrado atual.
100. Allan M Turing 1912-1954 Este é artigo onde Turing apresenta sua forma de entender algoritmos. Ela passou a ser referida como “Máquina de Turing”, por envolver uma descrição mecânica de um algoritmo.
101. http://www.angustech.com.br/2011/05/alan-turing-o-pai-da-ciencia-da.html Surfista, neste vídeo você descobrirá mais sobre A. Turing e a Máquina de Turing
102. Como já dissemos, existem 4 definições, equivalentes, de computabilidade. No livro abaixo, os autores, Profs. de Computação da USP, explicam tudo de forma acessível.
103. Vamos refinar o que já vimos na Wikipedia sobre algoritmos.
104. × f = () Não confundam função com uma expressão que permite calculá-la. Podem haver diversas. Por exemplo = ( − 1)2 e = 2 − 2 + 1.
105. Nada a ver, ( − 1)2 = 2 − 2 + 1, é uma identidade! Apressadinho! Do lado esquerdo 2 operações elementares, do lado direito 4. O dobro!
106. Pois é Surfista, você está cansado de saber que ( − 1)3= 3 − 32 + 3 − 1. Claro, Mestre, a igualdade é pela expansão do binômio de Newton!
107. 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 - - - - - - - 1 1 1 - - - - - - 2 1 2 1 - - - - - 3 1 3 3 1 - - - 4 1 4 6 4 1 - - 5 1 5 10 10 5 1 - 6 1 6 15 20 15 6 1 7 - - - É, no 2º grau você deve ter visto que os coeficientes do binômio de Newton podem ser calculados, por recorrência, pelo esquema indicado abaixo. Sim, Mestra e com ele obtenho: ( + )3 = 3 + 32 + 32 + 3
108. Surfista, você verá que a fala do Galileu “Não confundam ...“ faz sentido. O valor = () de uma função : → pode ser calculado de diversas formas. Cada uma estabelece um algoritmo para calcular y em ∈ .
109. f Y f1 X fn Y1 X2 Xn Yn-1 Qualquer função computável : → é computada através de uma sucessão finita de operações elementares. Incluindo as do IEEE 754. Diagramaticamente:
110. Então, Loirinha: Um algoritmo é, essencialmente, uma descrição dessa cadeia finita de funções elementares (incluindo aí comparações, e decisões lógicas) para computar uma outra função. Esta ideia independe do IEEE 754. Um algoritmo nada mais é que uma composição de operações elementares ∘ ⋅⋅⋅ ∘ 2 ∘ 1 = que computam uma função f associada ao problema.
111. No estudo de algoritmos, o 1º aspecto a considerar é o quantidade de operações elementares utilizadas pelo algoritmo.
112. Quando dois algoritmos resolvem o mesmo problema, em princípio devemos escolher o mais rápido. Se é o tempo para efetuar a operação e para efetuar a operação deveremos comparar σ =1 ( ) com σ =1 ( ) .
113. Mas outros tempos computacionais devem ser considerados para decidir. Por exemplo, o tempo gasto para buscar dados em armazenamento secundário (do HD para a RAM). A menor delas deve fornecer o algoritmo mais rápido.
114. A notação “big “ é uma forma de estimar o número de operações envolvidas num algoritmo. No cap. 3, Algorithm Analysis, do livro acima, o tema é exposto com clareza. É um dos tópicos mais importantes no estudo de algoritmos.
115. Surfista, no 2º grau você aprendeu a utilizar o algoritmo de Briot-Rufini-Horner? Aprendi sim, Mestre. Só não entendi prá que serve!
116. Um exemplo típico de analfabetismo funcional... É o algoritmo mais rápido para calcular o valor de uma função polinomial num ponto = 0 .
117. 1 4 -7 3 -5 - 2×1 2×6 2×5 2×13 1 2+4 12-7 10+3 26-5 2 x + Surfista, deu certinho, 2 = 21 ! Mas eu lembro que, para calcular o valor da polinomial = 4 + 43 − 72 + 3 − 5, em = 2 usávamos o seguinte esquema:
118. 2 x O algoritmo é extendido, da mesma forma, para calcular o valor das derivadas 1ª, 2ª, ... da polinomial num ponto = 0 . Vejam: 1 4 -7 3 -5 - 2 12 10 26 1 6 5 13 21 - 2 16 42 1 8 21 55 - 2 20 1 10 41 2 x 2 x (2) (2) 2(2)
119. Certo Loirinha, e no caso geral de = 4 4 + 3 3 + 2 2 + 1 + 0 os cálculos ficam {[(4 0 + 3 )0 + 2 ]0 + 1 }0 + 0 Deu 21 porque as contas do esquema foram as seguintes: 1 × 2 + 4 × 2 − 7 × 2 + 3 × 2 − 5
120. A descrição, passo a passo do esquema (algoritmo) usado é a seguinte: Entre com os coeficientes 4 , 3 , 2 , 1 , 0 da polinomial e com 0 . 1º passo Defina 4 = 4 2º passo Para = 3,2,1,0 calcule = +1 0 + 3º passo
121. • 4 = 4 • 3 = 4 0 + 3 • 2 = 3 0 + 2 • 1 = 2 0 + 1 • 0 = 1 0 + 0 Confira Surfista que os cálculos efetuados com o algoritmo foram os dessa caixinha. Vai ser mais rápido! No cálculo direto são 10 multiplicações e 4 adições e o Briot precisa só de 4 adições e 4 multiplicações.
122. Marquei no código a implementação do algoritmo de Horner para a polinomial () e sua derivada ().
123. Aqui apenas geramos os gráficos.
124. Uma execução do programa.
125. O texto pode ser baixado do endereço: web.mit.edu/16.070/www/lecture/big_o.pdf Loirinhas, Surfistas e Cabelos de Fogo, leiam o texto “Big O notation” e façam a tarefa que o Tio vai mandar.
126. Além desse texto em pdf, leiam também o cap. 3 do livro acima. Em seguida: 1. Façam um resumo do texto em pdf. 2. Apresentem um resumo das seções 3.1, 3.2 e 3.3 do livro. 3. O algoritmo de Briot-Rufini-Horner é (? ? ) ?
127. Mestres, e as condições de entrega, etc, etc? Exatamente as mesmas do primeiro exercício, passado na aula anterior.
128. • Prelúdio: algoritmos de forma ingênua: • Algoritmos e a resolução de problemas, • Exemplos: o algoritmo de Euclides e o da raiz quadrada. • Interlúdio 1: quando vou usar isto? • Algoritmos - mergulho em profundidade: • Um livro fantástico sobre algoritmos; • A máquina de Turing; • Um algoritmo é uma composição de funções elementares; • Vários algoritmos resolvem um mesmo problema; • O algoritmo de Briot-Rufini-Horner; • Tarefa para casa 2: A notação “big ” para medir algoritmos; • Apêndice 1: Mais um pouco sobre lógica matemática; • Apêndice 2: Crimes de guerra e a Operação Lava-jato. Eis um resumo do que vimos sobre algoritmos:
129. Tchau, até a próxima aula!
130. Promessa é dívida. O complemento que referi sobre lógica matemática.
131. O Mestre falou em três campos do conhecimento humano: Lógica, Linguagens e Matemática. Eis a Linguagem se apresentando na Lógica:
132. A Pedra de Roseta Pinturas em cavernas Caracteres cuneiformes Falar e escrever, com regras e significados, é o que distingue o “bicho homem” dos demais animais.
133. Frege e Cantor foram contemporâneos – o formalismo de Frege envolve a Teoria dos Conjuntos, posta em bases firmes por Cantor! Além do trabalho desses gênios do final do século XIX, a contribuição de Bertrand Russell e Alfred N. Whitehead foi fundamental para o formalismo da Lógica Matemática.
134. Fui lá na Stanford buscar mais detalhes:
135. Repetindo o texto, Whitehead e Russel forma os criadores do Logicismo: a tese de que a Matemática pode ser reduzida à Lógica.
136. Fiz uma lista, mesmo correndo o risco de esquecer alguns: • David Hilbert, • Alonzo Church, • Stephen Cole Kleene, • Allan M. Turing, • Alfred Tarski, • Rudolf Carnap e o “Círculo de Viena”, • Ludwig Wittgenstein • Kurt F. Gödel • Ernst F. F. Zermelo • Abrahm H. Fraenkel Mas esta estória não para aí. No primeiro terço do século XX muitos outros personagens se envolveram na fundamentação da Lógica Matemática!
137. Gödel e seus teoremas da incompletude!
138. A axiomatização da Teoria dos Conjuntos:
139. Os axiomas de ZFC:
140. Os axiomas de ZFC:
141. A Mestra prometeu que falaríamos mais sobre aplicações (bélicas) do ENIAC.
142. 1 2 3 4 5 6 7 8 Courtesy of Michael John Muuss 1. J. P. Eckert 2. J. G Brainerd 3. S. Feltman 4. H. H. Goldstine 5. J.W. Mauchly 6. H. Pender 7. Gen. G. M. Barnes 8. Cor. P. N. Gillon John von Neumann Personagens envolvidos n ENIAC:
143. U.S. Army Photo", number 163-12-62 Uma foto das 4 primeiras “computadoras” do ENIAC.
144. • Início do projeto – 1942 • Iniciou atividades – 1946 • Local - Moore School of Electrical Engineering – Un. da Pensilvânia • Idealizadores - J. P. Eckert e John Mauchly • Tamanho – 5,50 por 24,40 metros • Consumo – 150 Kw/h • 17.468 válvulas eletrônicas • 70.000 resistências • 10.000 capacitores • 1.500 relés • 6.000 comutadores manuais Alguns dados sobre o ENIAC:
145. Loirinha e Surfista, assinalei as 1ªs aplicações que utilizaram ENIAC...
146. Computações balísticas! Aliás o Projeto Manhattan não foi o da bomba atômica? Sim, meu jovem as 1ªs aplicações foram para a guerra! Para a matança!
147. Vocês poderão ler mais sobre o Projeto Manhattan buscando na web. Em particular em ciencia.hsw.uol.com.br/projeto-manhattan.htm vocês poderão ler 5 pgs. sobre o assunto.
148. 06/08/1945 09/08/1945 Mortos: Hiroshima: 90.000–166.000 Nagasaki: 39.000–80.00
149. Pensem nas crianças Mudas telepáticas Pensem nas meninas Cegas inexatas Pensem nas mulheres Rotas alteradas Pensem nas feridas Como rosas cálidas Mas oh não se esqueçam Da rosa da rosa Da rosa de Hiroxima A rosa hereditária A rosa radioativa Estúpida e inválida A rosa com cirrose A antirrosa atômica Sem cor sem perfume Sem rosa sem nada A “Rosa de Hiroshima”, poema de Vinícius de Moraes, expressando seu horror, logo após o atentado terrorista.
150. Senhor Henry Truman, então Presidente dos Estados Unidos, essa matança ficará eternamente associada a seu nome. É como você será sempre lembrado!
151. Pelo menos 350 mortos ... Em 26/03/1937 a cidade de Guernica na Espanha, foi bombardeada pela Luftwaffe por ordem do seu ditador General Franco.
152. Guernica Pablo Picasso imortalizou o grito de dor em sua tela Guernica.
153. Mostrarei apenas mais alguns crimes horrorosos de guerra... Eles não devem ser esquecidos jamais!
154. A menina, gritando de dor na guerra do Vietnan. As Torres Gêmeas de New York em 11 de setembro!
155. O massacre de judeus pelos nazistas no holocausto!
156. O bombardeio de Dresden na Alemanha, pela Inglaterra e Estados Unidos, de 13 à 15 de fevereiro de 1945. Mais de 22.700 mortos. Anjo da morte?
157. E a parceria das empreiteiras e políticos criminosos da Operação Lava-Jato mataram quantos brasileiros? Holocausto difícil de ver! Pensem nos hospitais e escolas que deixaram de ser construídos e equipados com a fortuna roubada. Quantos pacientes e crianças morreram porque deixaram de ser atendidos?
158. Acho uma boa ideia, sair das informações veiculadas por uma mídia comprometida. Fui buscar na Web algumas informações sobre o processo de impeachement de Dilma Roussef!
159. Votaram 513 deputados federais, com a seguinte distribuição por estado da União. Exceto 2 que faltaram por problemas de saúde, todos votaram em 17/04/2016 no processo de impeachment.
160. • Dos 513 deputados com direito a voto na sessão deste domingo, ao menos 299 acumulam 1.131 “ocorrências judiciais”, segundo informações disponíveis no Excelências até a tarde de sexta-feira, 15 de abril, e no STF, até 30 de março. Desse grupo, 191 deles têm mais de um inquérito ou processo e 76 já foram condenados. As informações a seguir foram obtidas em: http://revistapiaui.estadao.com.br/lupa/2016 /04/17/votacao-do-impeachment-no- plenario-da-camara/ Links
161. Ao todo 41 páginas detalhando as ocorrências (ou não) na Justiça e/ou nos Tribunais de Contas deputado por deputado.
162. Pois é, o processo acabou ontem, 31/08/2016, e Dilma não é mais Presidente. Mas fica a reflexão e vejam a seguir algumas opiniões internacionais.
164. Tchau, até a próxima aula mesmo!