Números

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1. Números Prof. Paulo R. G. Bordoni UFRJ
2. Nesta aula vamos revisar alguns conceitos importantes sobre números. Basicamente vamos entender melhor a “reta real”.
3. O todo é maior que suas partes ? É evidente que sim, Filósofo! Confira no diagrama de Venn que desenhei ⊊ , B é uma parte própria de A ! Universo A B
4. E você concorda que o conjunto dos números pares é uma parte própria do conjunto ℕ dos naturais: ⊊ ℕ. Claro Galileu, além dos inteiros pares temos os ímpares !
5. Pois é, mas a função : ℕ → definida por = 2 é bijetora ! Nunca tinha pensado nisso Galileu ! E sendo bijetora é uma correspondência de um pra um, fiz até uma tabela: 0 ↔ 0 1 ↔ 2 2 ↔ 4 3 ↔ 6 4 ↔ 8 ... ... ...
6. Portanto a quantidade de números naturais e a de pares é absolutamente a mesma: para cada inteiro um, e apenas um, par ! 0 ↔ 0 1 ↔ 2 2 ↔ 4 3 ↔ 6 4 ↔ 8 ... ... ...
7. Georg Cantor, 1845-1918 Vamos ver o que G. Cantor ensinou ao mundo sobre conjuntos infinitos.
8. Ele começou com a definição de conjunto infinito: Um conjunto é infinito quando existe uma função biunívoca : → de X num subconjunto próprio Y de X.
9. Sim o conjunto ℕ dos naturais é um conjunto infinito enumerável. Acabamos de conferir isso com os naturais ℕ.
10. Os elementos dos conjuntos enumeráveis podem ser imaginados como as gotas d’água d’uma torneira. Um número (gota) após o outro, sem parar nunca ... Conjuntos que podem ser colocados em correspondência bijetora com os naturais ℕ são conjuntos contáveis ou enumeráveis.
11. O conjunto dos números inteiros ℤ é enumerável. Uma enumeração de ℤ é dada por = − 2 , para par + 1 2 , para ímpar 0 3 -1 2 -3 -2 1
12. O conjunto ℚ dos números racionais, ℚ = Τ , ∈ ℤ, ∈ ℕ∗ também é enumerável. Ah, mas não é mesmo, Mestra!
13. Muito simples, Loirinha! Uma fração f 2 não pode ser a seguinte de uma f 1 porque sempre posso colocar a média das duas entre elas: 3 = ( 1 + 2 )/2 Não vejo porquê Surfista, eles só envolvem inteiros e naturais! Explique sua ideia. f 1 f 2 f 3
14. Jovens, vou contar a ideia que o George Cantor teve para responder a pergunta. É tão bela que lembra “Jesus alegria dos homens” de J. S. Bach! Mestre, outro dia vi o nome dele num livro de meu pai: Gödel, Escher, Bach – Um entrelaçamento de Gênios Brilhantes. Meu pai gostou muito. O autor é famoso: Douglas R. Hofstadter.
15. Surfista, para apresentar a prova de Cantor, vamos considerar o conjunto dos números racionais positivos ℚ+ = { / | ∊ ℕ ∊ ℕ ∗ }. Note que a aplicação : ℕ × ℕ+ → ℚ+ definida por , ↦ / é biunívoca.
16. 1 0 2 3 5 4 0 1 2 3 5 4 (0,1), (1,1), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), ... (0,2), (1,2), (2,2), (3,2), (4,2), (5,2), ... (0,3), (1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), ... (0,4), (1,4), (2,4), (3,4), (4,4), (5,4), ... (0,5), (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), ... Este é um desenho do conjunto , ∈ ℕ ∈ ℕ+}
17. 1 0 2 3 5 4 0 1 2 3 5 4 0/1, 1/1, 2/1, 3/1, 4/1, 5/1, ... 0/2, 1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, ... 0/3, 1/3, 2/3, 3/3, 4/3, 5/3, ... 0/4, 1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 5/4, ... 0/5, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 5/5 ... A aplicação biunívoca Id, permite a visualização abaixo do conjunto ℚ+.
18. 1 0 2 3 5 4 0 1 2 3 5 4 Agora, Surfista, começando pelo ponto (0,1) passeie pela rota indicada por Cantor.
19. 0 1 2 3 4 Numerador Denominador 5 6 7 Etiquetando cada ponto visitado por: 0, 1, 2, 3, etc..., temos uma enumeração de ℚ+.
20. Exatamente Professor, acabamos de exibir a prova que os números racionais formam um conjunto enumerável. As características do infinito são estranhas para nós que somos finitos! Dizendo de outra forma Professora: A quantidade de números racionais e de números inteiros é a mesma!
21. 23 = 20 + 3 = 2 × 10 + 3 = = 2 × 10 + 3 × 1 = = 2 × 101 + 3 × 100 867 = 800 + 60 + 1 = = 8 × 100 + 6 × 10 + 7 × 1 = = 8 × 102 + 6 × 101 + 7 × 100 A notação decimal para números inteiros é posicional: Sim, observem que:
22. … 2 1 0 = = 0 ∗ 100 + 1 ∗ 101 + 2 ∗ 102 + … + ∗ 10 com ∊ { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } De forma geral:
23. Usando frações decimais,podemos estender a notação posicional dos inteiros para os racionais. É Loirinha – aqueles frações do tipo: 7/10, 3/100, 41/1.000, ... Frações decimais ?
24. Sim, pois: Τ 7 10 = 0,7, Τ 3 100 = 0,03, Τ 41 1000 = 0,041. 0,23 = 0,2 + 0,03 = = 2 10 + 3 100 = = 2 × 10−1 + 3 × 10−2 0,867 = 0,8 + 0,06 + 0,007 = = 8 10 + 6 100 + 7 1000 = = 8 × 10−1 + 6 × 10−2 + 7 × 10−3 Observem que:
25. 0, 1 2 3 … = 1 ∗ 10−1 + 2 ∗ 10−2 + 3 ∗ 10−3 + … + ∗ 10− com ∊ { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } Novamente, de forma geral:
26. Como a soma de racionais é um racional, podemos afirmar que: Toda representação decimal como essa corresponde a um número racional. Mas todo número racional tem uma representação como essa?
27. Muito boa pergunta, minha filha! Nem todos – lembre-se das dízimas periódicas! Para elas precisamos incluir na representação repetições infindáveis de grupos de dígitos após a vírgula. 2/11 = 0,181818 ... = 0,18 9/37 = 0,243243243 ... = 0,243 141/1111 = 0,126912691269 ... = 0,1269 1/3 = 0,333 ... = 0,3
28. As dízimas periódicas são números com infinitas casas decimais depois da vírgula ... irado! O infinito me assusta – o que é o infinito?
29. Pois é Surfista, mas existem outros números com infinitas casas decimais, por exemplo 2 = 1,414213562373095048 … É mesmo, um outro é = 3.14159265359 …
30. São os números irracionais, protagonistas de um novo tipo de infinito! Nosso próximo passo, nessa direção, será rever a representação decimal de um número real.
31. Sir Isaac Newton 1642 - 1726 Gottfried Wilhelm Leibnitz 1646 - 1716 Newton e Leibnitz são reconhecidos como os criadores do Cálculo Diferencial e Integral
32. Nas 1as linhas do Prefácio deste livro encontramos:
33. Neste livro, com título em inglês Infinitesimal (How a Dangereous Mathematical Theory Shaped the Modern World), Amir Alexander apresenta uma história detalhada do nascimento do Cálculo Diferencial e Integral.
34. Alguns dentre os gigantes são: • Na antiguidade: Demócrito (sec. V AC), Eudoxo e Arquimedes (250 AC) usaram infinitesimais para calcular áreas e volumes de corpos. • No século XVII: Kepler (1609-1615), Cavaliere (1635), Descartes (1637), Galileu (1638), Torricelli (1644), Wallis (1656) e Angeli (1658-68), buscaram no passado, desenvolveram e aplicaram o cálculo com infinitesimais. É de Newton a frase: Se enxerguei mais longe é porque me apoiei nos ombros de gigantes.
35. Democrito Eudoxo Arquimedes Kepler Cavalieri Galileu Torricelli Wallis Angeli Descartes
36. Processos limite e convergência Integrais Na modelagem científica dos fenômenos físicos, são essenciais conceitos do cálculo diferencial e integral (a Matemática do contínuo) como:
37. Na base de tudo isso está conceito de número real. O conjunto dos números reais é um contínuo! Eles preenchem um intervalo como um líquido preenche continuamente um copo graduado
38. Professora ... A água parece ser contínua, mas é formada de moléculas de H 2 O – dois átomos de hidrogênio mais um de oxigênio, numa ligação ... O que significa ser contínuo?
39. Pois é, Surfista, por trás de sua fala está a ideia que os reais são enumeráveis. Você acertou num ponto - os reais constituem um conjunto infinito, já que todo racional também é real. Entretanto, mesmo com microscópios eletrônicos, NÃO conseguimos ver um número real separado de outro.
40. Como o mel preenche os buracos no pão! Os irracionais completam os buracos deixados na reta pelos racionais.
41. A continuidade dos reais é a abstração maior da Matemática. Vou citar três gênios matemáticos do século XIX e como eles apresentaram sua forma de entender os números reais.
42. Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831 – 1916) Os números reais, a reta e os “cortes” de Dedekind.
43. Cortando a reta?
44. Karl Theodor Wilhelm Weierstrass 1815 – 1897 O número 2 é a sequência ( 1., 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142,... )
45. Augustin-Louis Cauchy 1789 – 1857 O conceito de limite com épisolons e deltas
46. Se os reais são infinitos e não conseguimos enumerá-los então só pode ser um novo infinito, maior que enumerável, já que todo racional é um real. É o que os Mestres estão afirmando Surfista. O infinito contínuo é maior que o infinito enumerável.
47. Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 1845 - 1918 Veremos a seguir mais uma contribuição do gênio da teoria dos conjuntos. Sua prova que os reais não são enumeráveis.
48. Professor, vamos assumir que, de fato, podemos enumerar os reais. Veremos que essa hipótese é tão absurda que conduz a uma contradição. E, portanto, só pode estar errada. Pois é, meus jovens, provaremos a seguir que é impossível contar os números reais.
49. 0 ↔ x 0 1 ↔ x 1 2 ↔ x 2 3 ↔ x 3 . . . . . . . Inteiros Reais Ok Professora. Assuma que a lista, abaixo dos meus pés, é uma enumeração de todos os números reais entre 0 e 1. Só p’rá confirmar, é uma lista completa: nenhum número real entre 0 e 1 fica fora dela!
50. X0 = 0,0 1 0 2 5 1 7 ... X1 = 0,2 3 3 4 4 4 5 ... X2 = 0,5 3 1 0 7 4 3 ... X3 = 0,2 3 4 9 2 1 0 ... X4 = 0,1 7 3 0 3 3 1 ... X5 = 0,2 4 5 7 9 2 3 ... X6 = 0,7 3 3 1 8 3 4 ... ........................ Sim Professora, como estamos assumindo que os reais em (0,1) são enumeráveis, minha lista contém todos eles! Veja a expressão decimal dos números reais da minha lista:
51. Ah, eu escreveria a lista de uma forma diferente. Além disso, não vi alguns números famosos como o π e o 2. Surfista, estamos tratando de números entre 0 e 1. Pense em Τ 4 ou Τ 2 2. De qualquer forma, como a lista do Professor é infinita, eles vão aparecer em alguma posição – talvez nas de número 79.891 e 1.001.237.455.
52. Cantor disse: “Considere os dígitos da diagonal”. X0 = 0,0 1 0 2 5 1 7 ... X1 = 0,2 3 3 4 4 4 5 ... X2 = 0,5 3 1 0 7 4 3 ... X3 = 0,2 3 4 9 2 1 0 ... X4 = 0,1 7 3 0 3 3 1 ... X5 = 0,2 4 5 7 9 2 3 ... X6 = 0,7 3 3 1 8 3 4 ... ........................ Quais?
53. X0 = 0,0 1 0 2 5 1 7 ... X1 = 0,2 3 3 4 4 4 5 ... X2 = 0,5 3 1 0 7 4 3 ... X3 = 0,2 3 4 9 2 1 0 ... X4 = 0,1 7 3 0 3 3 1 ... X5 = 0,2 4 5 7 9 2 3 ... X6 = 0,7 3 3 1 8 3 4 ... ........................ Os que eu acabei de pintar de vermelho ....
54. X0 = 0,0 1 0 2 5 1 7 ... X1 = 0,2 3 3 4 4 4 5 ... X2 = 0,5 3 1 0 7 4 3 ... X3 = 0,2 3 4 9 2 1 0 ... X4 = 0,1 7 3 0 3 3 1 ... X5 = 0,2 4 5 7 9 2 3 ... X6 = 0,7 3 3 1 8 3 4 ... ........................ 0 por 1 em x0 3 por 4 em x1 1 por 2 em x2 9 por 0 em x3 3 por 4 em x4 2 por 3 em x5 4 por 5 em x6 E assim por diante ... Em seguida o golpe do gênio: “Crie um número xD a partir da sequência diagonal, com as trocas:”
55. Em x0 : 0 por 1 → xD ≠ x0 Em x1 : 3 por 4 → xD ≠ x1 Em x2 : 1 por 2 → xD ≠ x2 Em x3 : 9 por 8 → xD ≠ x3 Em x4 : 3 por 4 → xD ≠ x4 Em x5 : 2 por 3 → xD ≠ x5 Em x6 : 4 por 5 → xD ≠ x6 E assim por diante ... E depois afirmou: “Esse número xD = 0, 1 4 2 0 3 5 ... , é diferente de todos os que estão na lista”. É verdade Mestre. Mas e daí?
56. Claro! Mas a lista tinha todos, temos uma contradição! Em outras palavras, o número, xD = 0, 1 4 2 0 3 5 ... não está na lista.
57. Assim, está provada a existência de uma nova categoria de infinitude: a continuidade, maior que a enumerabilidade. Pois é, meus jovens, acabamos de ver a prova, feita pelo Cantor, de que é impossível contar os números reais. Ficou conhecida como argumento diagonal de Cantor.
58. O conjunto D é o dos dígitos, ⋯ 1 0 é a parte inteira de y e 1 ⋯ ⋯ a parte fracionária de y. Qualquer número ∈ ℝ pode ser representado na forma decimal = ± ⋯ 1 0 . 1 ⋯ ⋯, com , ∈ = 0,1,2, ⋯ , 9 . Sabemos que:
59. ⋯ 1 0 = = 10 + ⋯ + 1 101 + 0 100 = ෍ =0 10 Lembrem-se, trata-se de uma taquigrafia. A parte inteira de y é uma soma:
60. Sim, porque além das dízimas periódicas como 0.333..., existem os irracionais, como 2 = 1.414213 … , = 3.141592 … , = 2.718281 … . E a parte fracionária, 0. 1 ⋯ ⋯ pode não terminar.
61. 0. 1 ⋯ ⋯ = = 1 /101+ ⋯ + /10 + ⋯ = lim →∞ ෍ =1 10− = lim →∞ ෍ =1 10− A parte fracionária não é, necessariamente, uma soma. Trata-se de uma série - o limite de uma sequência de somas parciais (*): (*) – Eventualmente existe ∈ ℕ tal que = 0 para > – então temos um racional.
62. Em outras palavras, os ... ao final de = ± ⋯ 1 0 . 1 ⋯ … escondem um Curso de Cálculo! Ahá !!!!! Sempre desconfiei que havia gato na tuba ...
63. O aspecto mais básico da matemática do contínuo Sim Filósofo, o Mestre acabou de denunciar a continuidade dos números reais, via limites.
64. Esse é o motivo básico de não discutir números reais no 2º grau. A discussão da representação decimal de um número real cabe num curso de cálculo, após o conceito de limite!
65. Para unicidade da representação = ± ⋯ 1 0 . 1 ⋯ ⋯, na parte fracionária são proibidas cadeias infinitas de 9’s, tipo 2.425999 … Ah, eu aprendi a somar PGs no 2º grau: 0.000999 … = 0.001.
66. Bem, cientistas e engenheiros perceberam que seria vantajoso escrever números sob a forma de ponto flutuante: = 0 . 1 ⋯ ⋯ ∗ 10
67. ... 0002374.0 x 10-2 000237.40 x 10-1 00023.740 x 10-0 0002.3740 x 10+1 00.237400 x 10+2 0.0237400 x 10+3 ... 23.74 = Look at the floating point Ponto-flutuante porque Na base 10, multiplicar por uma potência de 10 resulta em deslocar (flutuar) o separador decimal ao longo da representação decimal do número.
68. 23.74 , 0.001, 3.141592, 1.4142135623730951 Sim Querida! Mas quero ver você escrever a constante de Avogadro, 6.02214179(30)×1023 mol-1 em ponto-fixo! Mas a notação de ponto-fixo é mais fácil!
69. Qualquer número real y ≠ 0 pode ser representado de forma única como = 0 . 1 ⋯ ⋯ ∗ 10 y 0 ≠ 0 Isto é chamado de normalização. Detalhe: se 0 ≠ 0 essa representação é única!
70. = 0 . 1 ⋯ ⋯ ∗ 10 y 0 ≠ 0 A forma normal de um número real ≠ 0 é:
71. O fator de normalização 10 é a potência de 10 que, ao multiplicar o número, o coloca na forma normal (i;é, com sua parte inteira com apenas um dígito, diferente de zero). Vejam alguns exemplos: 345.123 = 3.45123 × 102, 0.000783 = 7.83 × 10−4, 1535 = 1.535 × 103.
72. No sistema métrico decimal o fator de escala é 10: • 1 m = 100 cm = 1.000 mm • 1 km = 1.000 m Assim: • 3 m = 3∗102 cm = 3∗103 mm • 5,2 km = 5,2∗103 m = 5,2 ∗106 mm
73. Réguas, trenas, microscópios! Nas medições reais de engenharia e física, os ... (as séries infinitas) são inviáveis! = 0 . 1 ⋯ ∗ 10, com 0 < 0 < 10. Sem os ...
74. Sim, numa régua comum você consegue precisão de cerca de 1/2 milímetro, Surfista. Com microscópios, algumas casas a mais.
75. = 0 . 1 ⋯ ∗ 10, com 0 < 0 < 10. Sem os ... Reforçando a fala do Sherlock: A prática (leia as Engenharias) força-nos a trabalhar com representações finitas!
76. y = ±y 0 . y 1 ... y k ∗ 10 exp Sinal Expoente Fração Fator de escala Emoldurei a foto da representação dos números, e apontei suas quatro caraterísticas fundamentais:
77. De fato Mestra: uma fração, um número racional, pois o número de casas decimais é finito. y = ±y 0 . y 1 ... y k ∗ 10 exp Fração
78. Na próxima aula, vamos voltar a este quadro!
79. • Cantor e a definição de conjunto infinito, • Conjuntos enumeráveis: ℕ e ℤ, • Os racionais, ℚ, formam um conjunto enumerável, • Dedekind, Weierstrass e Cauchy, • A prova diagonal de Cantor que os reais, ℝ, não são enumeráveis – o contínuo, • Números reais como limites de somas – séries. Eis um resumo do que vimos nestas transparências:
80. Tchau! Até a próxima.