信息安全数学基础：第8章：域（下）

. . . . . . 代数扩张二次域多项式的分裂域 .
. . . . . . 域（下）广州大学数学与信息科学学院 November 18, 2009 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 代数扩张二次域多项式的分裂域有限扩张
代数扩张 . . . . . . . §8.4 代数扩张广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . . . . . . . 若 E 是 F 的扩域，则 E 可以自然地看成 F 上的向量空间。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . . . . . . . 若 E 是 F 的扩域，则 E 可以自然地看成 F 上的向量空间。 . . F . E 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . . . . . . . 若 E 是 F 的扩域，则 E 可以自然地看成 F 上的向量空间。 . . F . E . . . 1 F 是域，看成 “系数”；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . . . . . . . 若 E 是 F 的扩域，则 E 可以自然地看成 F 上的向量空间。 . . F . E . . . 1 F 是域，看成 “系数”； . . . 2 E 看成 “空间”；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . . . . . . . 若 E 是 F 的扩域，则 E 可以自然地看成 F 上的向量空间。 . . F . E . . . 1 F 是域，看成 “系数”； . . . 2 E 看成 “空间”； . . . 3 F × E 是个向量空间。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . . . . . . . 若 E 是 F 的扩域，则 E 可以自然地看成 F 上的向量空间。 . . F . E . . . 1 F 是域，看成 “系数”； . . . 2 E 看成 “空间”； . . . 3 F × E 是个向量空间。 . 注意 . . . . . . . . 如果只考虑向量空间的定义，这里的 F × E 和以前的 F × V 并无区别。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . . . . . . . 若 E 是 F 的扩域，则 E 可以自然地看成 F 上的向量空间。 . . F . E . . . 1 F 是域，看成 “系数”； . . . 2 E 看成 “空间”； . . . 3 F × E 是个向量空间。 . 注意 . . . . . . . . 如果只考虑向量空间的定义，这里的 F × E 和以前的 F × V 并无区别。F × E 的特别之处在于 E 中的元素不仅有加法运算，还有乘法和求逆。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 定义 . . . . . . . . 若 E 是 F 的扩域，则 E 是 F 上的向量空间。如果 E 是 F 上的 n 维向量空间，则称 E 是 F 的一个 n 次扩张，记为 [E : F] = n。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 定义 . . . . . . . . 若 E 是 F 的扩域，则 E 是 F 上的向量空间。如果 E 是 F 上的 n 维向量空间，则称 E 是 F 的一个 n 次扩张，记为 [E : F] = n。当 n 是有限维数时，E 称为 F 的一个有限扩张，否则称为一个无限扩张。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 定理 . . . . . . . . 若 K 是 F 的有限扩张，若 E 是 K 的有限扩张，则 E 也是 F 的有限扩张，且 [E : F] = [E : K][K : F]。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 定理 . . . . . . . . 若 K 是 F 的有限扩张，若 E 是 K 的有限扩张，则 E 也是 F 的有限扩张，且 [E : F] = [E : K][K : F]。 . . F . K . E . {α1,,...,αm} . {β1,,...,βn} 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 定理 . . . . . . . . 若 K 是 F 的有限扩张，若 E 是 K 的有限扩张，则 E 也是 F 的有限扩张，且 [E : F] = [E : K][K : F]。 . . F . K . E . {α1,,...,αm} . {β1,,...,βn} E 在 K 上的基为 {α1, . . . , αm}; K 在 F 上的基为 {β1, . . . , βn}; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 定理 . . . . . . . . 若 K 是 F 的有限扩张，若 E 是 K 的有限扩张，则 E 也是 F 的有限扩张，且 [E : F] = [E : K][K : F]。 . . F . K . E . {α1,,...,αm} . {β1,,...,βn} E 在 K 上的基为 {α1, . . . , αm}; K 在 F 上的基为 {β1, . . . , βn}; 若 θ 是 E 中一个元，则有：广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 定理 . . . . . . . . 若 K 是 F 的有限扩张，若 E 是 K 的有限扩张，则 E 也是 F 的有限扩张，且 [E : F] = [E : K][K : F]。 . . F . K . E . {α1,,...,αm} . {β1,,...,βn} E 在 K 上的基为 {α1, . . . , αm}; K 在 F 上的基为 {β1, . . . , βn}; 若 θ 是 E 中一个元，则有： θ = m ∑ i=1 kiαi, ki ∈ K 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 定理 . . . . . . . . 若 K 是 F 的有限扩张，若 E 是 K 的有限扩张，则 E 也是 F 的有限扩张，且 [E : F] = [E : K][K : F]。 . . F . K . E . {α1,,...,αm} . {β1,,...,βn} E 在 K 上的基为 {α1, . . . , αm}; K 在 F 上的基为 {β1, . . . , βn}; 若 θ 是 E 中一个元，则有： θ = m ∑ i=1 kiαi, ki ∈ K = m ∑ j   n ∑ j=1 (fij)βi   αi, fij ∈ F 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . . . . . . . 前面的式子展开成 θ = n ∑ i=1 m ∑ j=1 fij(αjβi), fij ∈ F 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . . . . . . . 前面的式子展开成 θ = n ∑ i=1 m ∑ j=1 fij(αjβi), fij ∈ F 所以 B = {αjβi | 1 i m, 1 j n} 是 E 在 F 上的一组生成元。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . . . . . . . 前面的式子展开成 θ = n ∑ i=1 m ∑ j=1 fij(αjβi), fij ∈ F 所以 B = {αjβi | 1 i m, 1 j n} 是 E 在 F 上的一组生成元。如果 {αjβi | 1 i m, 1 j n} 在 F 上无关，则 B 是 E 在 F 上的一组基。问题是： B 在 F 上相关还是无关？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . . . . . . . 设 m ∑ i=1 n ∑ j=1 fij(αiβj) = 0，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . . . . . . . 设 m ∑ i=1 n ∑ j=1 fij(αiβj) = 0，有 m ∑ i=1 ( n ∑ j=1 fijβj ) αi = 0 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . . . . . . . 设 m ∑ i=1 n ∑ j=1 fij(αiβj) = 0，有 m ∑ i=1 ( n ∑ j=1 fijβj ) αi = 0 由于 n ∑ j=1 fijβj 是在 K 中的，所以 m ∑ i=1 ( n ∑ j=1 fijβi ) αj 是 αj 在 K 上的线性组合。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . . . . . . . 设 m ∑ i=1 n ∑ j=1 fij(αiβj) = 0，有 m ∑ i=1 ( n ∑ j=1 fijβj ) αi = 0 由于 n ∑ j=1 fijβj 是在 K 中的，所以 m ∑ i=1 ( n ∑ j=1 fijβi ) αj 是 αj 在 K 上的线性组合。于是： n ∑ j=1 fijβi = 0, 1 i m 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . . . . . . . 设 m ∑ i=1 n ∑ j=1 fij(αiβj) = 0，有 m ∑ i=1 ( n ∑ j=1 fijβj ) αi = 0 由于 n ∑ j=1 fijβj 是在 K 中的，所以 m ∑ i=1 ( n ∑ j=1 fijβi ) αj 是 αj 在 K 上的线性组合。于是： n ∑ j=1 fijβi = 0, 1 i m 所以有 fij = 0, 1 i m, 1 j n，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . . . . . . . 设 m ∑ i=1 n ∑ j=1 fij(αiβj) = 0，有 m ∑ i=1 ( n ∑ j=1 fijβj ) αi = 0 由于 n ∑ j=1 fijβj 是在 K 中的，所以 m ∑ i=1 ( n ∑ j=1 fijβi ) αj 是 αj 在 K 上的线性组合。于是： n ∑ j=1 fijβi = 0, 1 i m 所以有 fij = 0, 1 i m, 1 j n， {αiβj, 1 i m, 1 j n} 是 E 在 F 上的一组基。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . . . . . . . 设 m ∑ i=1 n ∑ j=1 fij(αiβj) = 0，有 m ∑ i=1 ( n ∑ j=1 fijβj ) αi = 0 由于 n ∑ j=1 fijβj 是在 K 中的，所以 m ∑ i=1 ( n ∑ j=1 fijβi ) αj 是 αj 在 K 上的线性组合。于是： n ∑ j=1 fijβi = 0, 1 i m 所以有 fij = 0, 1 i m, 1 j n， {αiβj, 1 i m, 1 j n} 是 E 在 F 上的一组基。 [E : F] = mn 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . . . . . . . 设 m ∑ i=1 n ∑ j=1 fij(αiβj) = 0，有 m ∑ i=1 ( n ∑ j=1 fijβj ) αi = 0 由于 n ∑ j=1 fijβj 是在 K 中的，所以 m ∑ i=1 ( n ∑ j=1 fijβi ) αj 是 αj 在 K 上的线性组合。于是： n ∑ j=1 fijβi = 0, 1 i m 所以有 fij = 0, 1 i m, 1 j n， {αiβj, 1 i m, 1 j n} 是 E 在 F 上的一组基。 [E : F] = mn = [E : K][K : F] 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . . F . K . E . {α1,,...,αm} . {β1,,...,βn} . 注意 . . . . . . . . 从前面的讨论可以知道： . . . 1 若 E 是 F 的有限扩张，K 是 F 的有限扩张，则 E 也是 F 的有限扩张。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . . F . K . E . {α1,,...,αm} . {β1,,...,βn} . 注意 . . . . . . . . 从前面的讨论可以知道： . . . 1 若 E 是 F 的有限扩张，K 是 F 的有限扩张，则 E 也是 F 的有限扩张。 . . . 2 若 {αi} 是 E 在 K 上的一组基，而 {βj} 是 K 在 F 上的一组基，则 {αiβj} 是 E 在 K 上一组基。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . . F . K . E . {α1,,...,αm} . {β1,,...,βn} . 注意 . . . . . . . . 从前面的讨论可以知道： . . . 1 若 E 是 F 的有限扩张，K 是 F 的有限扩张，则 E 也是 F 的有限扩张。 . . . 2 若 {αi} 是 E 在 K 上的一组基，而 {βj} 是 K 在 F 上的一组基，则 {αiβj} 是 E 在 K 上一组基。 . . . 3 [E : F] = [E : K][K : F]。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 推论 . . . . . . . . 若 F1, F2, . . . , Ft 是域，且在序列中，后一个是前一个的有限扩张，则 [Ft : F1] = [Ft : Ft−1][Ft−1 : Ft−2] · · · [F2 : F1]。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 定义 . . . . . . . . 设 E 是域 F 的一个扩域，如果 E 中每个元素都是 F 上的代数元，那么 E 称为 F 的一个代数扩张。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 定理 . . . . . . . . 有限扩张是代数扩张。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 定理 . . . . . . . . 有限扩张是代数扩张。 . . . . . . . . . . 1 设 E 是 F 的有限扩张，[E : F] = n；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 定理 . . . . . . . . 有限扩张是代数扩张。 . . . . . . . . . . 1 设 E 是 F 的有限扩张，[E : F] = n； . . . 2 对任意 α ∈ E，1, α, α2, . . . αn−1 都是相关的；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 定理 . . . . . . . . 有限扩张是代数扩张。 . . . . . . . . . . 1 设 E 是 F 的有限扩张，[E : F] = n； . . . 2 对任意 α ∈ E，1, α, α2, . . . αn−1 都是相关的； . . . 3 存在 a0, a1, . . . , an−1 ∈ F 使得 a0 + a1α + · · · + αn−1 = 0, 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 定理 . . . . . . . . 有限扩张是代数扩张。 . . . . . . . . . . 1 设 E 是 F 的有限扩张，[E : F] = n； . . . 2 对任意 α ∈ E，1, α, α2, . . . αn−1 都是相关的； . . . 3 存在 a0, a1, . . . , an−1 ∈ F 使得 a0 + a1α + · · · + αn−1 = 0, . . . 4 α 是代数元。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 定理 . . . . . . . . 若 α 是 F 上的代数元，则单扩张 E = F(α) 是 F 的一个代数扩张。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 定理 . . . . . . . . 若 α 是 F 上的代数元，则单扩张 E = F(α) 是 F 的一个代数扩张。 . . . . . . . . . . 1 设 α 极小多项式的次数为 n，F(α) 中元素能唯一表示成： a0 + a1α + · · · + αn−1, ai ∈ F; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 定理 . . . . . . . . 若 α 是 F 上的代数元，则单扩张 E = F(α) 是 F 的一个代数扩张。 . . . . . . . . . . 1 设 α 极小多项式的次数为 n，F(α) 中元素能唯一表示成： a0 + a1α + · · · + αn−1, ai ∈ F; . . . 2 {1, α, . . . , αn−1} 是向量空间 F × F(α) 在 F 上的一组生成元，而且是无关的。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 定理 . . . . . . . . 若 α 是 F 上的代数元，则单扩张 E = F(α) 是 F 的一个代数扩张。 . . . . . . . . . . 1 设 α 极小多项式的次数为 n，F(α) 中元素能唯一表示成： a0 + a1α + · · · + αn−1, ai ∈ F; . . . 2 {1, α, . . . , αn−1} 是向量空间 F × F(α) 在 F 上的一组生成元，而且是无关的。 . . . 3 {1, α, . . . , αn−1} 是向量空间 F × F(α) 在 F 上的一组基。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 定理 . . . . . . . . 若 α 是 F 上的代数元，则单扩张 E = F(α) 是 F 的一个代数扩张。 . . . . . . . . . . 1 设 α 极小多项式的次数为 n，F(α) 中元素能唯一表示成： a0 + a1α + · · · + αn−1, ai ∈ F; . . . 2 {1, α, . . . , αn−1} 是向量空间 F × F(α) 在 F 上的一组生成元，而且是无关的。 . . . 3 {1, α, . . . , αn−1} 是向量空间 F × F(α) 在 F 上的一组基。 . . . 4 [F(α) : F] = n，F(α) 是 F 的有限扩张，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 定理 . . . . . . . . 若 α 是 F 上的代数元，则单扩张 E = F(α) 是 F 的一个代数扩张。 . . . . . . . . . . 1 设 α 极小多项式的次数为 n，F(α) 中元素能唯一表示成： a0 + a1α + · · · + αn−1, ai ∈ F; . . . 2 {1, α, . . . , αn−1} 是向量空间 F × F(α) 在 F 上的一组生成元，而且是无关的。 . . . 3 {1, α, . . . , αn−1} 是向量空间 F × F(α) 在 F 上的一组基。 . . . 4 [F(α) : F] = n，F(α) 是 F 的有限扩张，从而是代数扩张。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . Example . . . . . . . . √ 2 是 Q 上的多项式 f(x) 的根，所以 √ 2 是 Q 上的代数元，从而 Q( √ 2) 是 Q 的代数扩张。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . Example . . . . . . . . √ 2 是 Q 上的多项式 f(x) 的根，所以 √ 2 是 Q 上的代数元，从而 Q( √ 2) 是 Q 的代数扩张。 Q( √ 2) = {a + b √ 2 | , a, b ∈ Q}。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 推论 . . . . . . . . 域 F 上两个代数元的和、差、积、商仍是 F 上的代数元。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 推论 . . . . . . . . 域 F 上两个代数元的和、差、积、商仍是 F 上的代数元。 . . . . . . . . . . 1 设 α, β 是 F 上的代数元；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 推论 . . . . . . . . 域 F 上两个代数元的和、差、积、商仍是 F 上的代数元。 . . . . . . . . . . 1 设 α, β 是 F 上的代数元；则 β 是 F(α) 上的代数元；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 推论 . . . . . . . . 域 F 上两个代数元的和、差、积、商仍是 F 上的代数元。 . . . . . . . . . . 1 设 α, β 是 F 上的代数元；则 β 是 F(α) 上的代数元； . . . 2 F(α) 是 F 的单代数扩张，从而是 F 的有限扩张；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 推论 . . . . . . . . 域 F 上两个代数元的和、差、积、商仍是 F 上的代数元。 . . . . . . . . . . 1 设 α, β 是 F 上的代数元；则 β 是 F(α) 上的代数元； . . . 2 F(α) 是 F 的单代数扩张，从而是 F 的有限扩张； . . . 3 F(α)(β) 是 F(α) 的单代数扩张，从而是 F(α) 的有限扩张；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 推论 . . . . . . . . 域 F 上两个代数元的和、差、积、商仍是 F 上的代数元。 . . . . . . . . . . 1 设 α, β 是 F 上的代数元；则 β 是 F(α) 上的代数元； . . . 2 F(α) 是 F 的单代数扩张，从而是 F 的有限扩张； . . . 3 F(α)(β) 是 F(α) 的单代数扩张，从而是 F(α) 的有限扩张； . . . 4 [F(α)(β) : F] = [F(α)(β) : F(α)][F(α) : F] 是 F 的有限扩张，从而是 F 上的代数扩张。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 推论 . . . . . . . . 域 F 上两个代数元的和、差、积、商仍是 F 上的代数元。 . . . . . . . . . . 1 设 α, β 是 F 上的代数元；则 β 是 F(α) 上的代数元； . . . 2 F(α) 是 F 的单代数扩张，从而是 F 的有限扩张； . . . 3 F(α)(β) 是 F(α) 的单代数扩张，从而是 F(α) 的有限扩张； . . . 4 [F(α)(β) : F] = [F(α)(β) : F(α)][F(α) : F] 是 F 的有限扩张，从而是 F 上的代数扩张。 . . . 5 F(α)(β) 中每个元都是 F 的代数元。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 推论 . . . . . . . . 域 F 上两个代数元的和、差、积、商仍是 F 上的代数元。 . . . . . . . . . . 1 设 α, β 是 F 上的代数元；则 β 是 F(α) 上的代数元； . . . 2 F(α) 是 F 的单代数扩张，从而是 F 的有限扩张； . . . 3 F(α)(β) 是 F(α) 的单代数扩张，从而是 F(α) 的有限扩张； . . . 4 [F(α)(β) : F] = [F(α)(β) : F(α)][F(α) : F] 是 F 的有限扩张，从而是 F 上的代数扩张。 . . . 5 F(α)(β) 中每个元都是 F 的代数元。 . . . 6 α, β 和、差、积、商（如果 β = 0）都在 F(α)(β) 中，所以在 F 上代数。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 定理 . . . . . . . . 若集合 S 中的元都是 F 上的代数元，那么 F(S) 是 F(S) 的代数扩张。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 定理 . . . . . . . . 若集合 S 中的元都是 F 上的代数元，那么 F(S) 是 F(S) 的代数扩张。 . . . . . . . . . . 1 F(S) 中的元素具有形式 f(α1, α2, . . . , αk) g(α1, α2, . . . , αk) , αi ∈ S 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 定理 . . . . . . . . 若集合 S 中的元都是 F 上的代数元，那么 F(S) 是 F(S) 的代数扩张。 . . . . . . . . . . 1 F(S) 中的元素具有形式 f(α1, α2, . . . , αk) g(α1, α2, . . . , αk) , αi ∈ S . . . 2 由于每两个 F 上的代数元的四则运算结果仍是代数元，容易看出有限个代数元的四则运算仍是代数元。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

代数扩张 . 定理 . . . . . . . . 若集合 S 中的元都是 F 上的代数元，那么 F(S) 是 F(S) 的代数扩张。 . . . . . . . . . . 1 F(S) 中的元素具有形式 f(α1, α2, . . . , αk) g(α1, α2, . . . , αk) , αi ∈ S . . . 2 由于每两个 F 上的代数元的四则运算结果仍是代数元，容易看出有限个代数元的四则运算仍是代数元。 . . . 3 F(S) 是 F 的代数扩张。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 代数扩张二次域多项式的分裂域二次域
欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . §8.5 二次域广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 作为例子，在本节中，我们研究一种特殊的代数扩张—二次域。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定义 . . . . . . . . 有理数域 Q 的二次扩域 K 称为二次扩域。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . Example . . . . . . . . Q(E) = {a + bE | a, b ∈ Q}。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . Example . . . . . . . . Q(E) = {a + bE | a, b ∈ Q}。 . . . . . . . . . . 1 容易直接验证 Q(E) 是个域。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . Example . . . . . . . . Q(E) = {a + bE | a, b ∈ Q}。 . . . . . . . . . . 1 容易直接验证 Q(E) 是个域。 . . . 2 1, E 是 Q(E) 在 Q 上的一组线性无关生成元，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . Example . . . . . . . . Q(E) = {a + bE | a, b ∈ Q}。 . . . . . . . . . . 1 容易直接验证 Q(E) 是个域。 . . . 2 1, E 是 Q(E) 在 Q 上的一组线性无关生成元，所以 [Q(E) : Q] = 2。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . Example . . . . . . . . Q(E) = {a + bE | a, b ∈ Q}。 . . . . . . . . . . 1 容易直接验证 Q(E) 是个域。 . . . 2 1, E 是 Q(E) 在 Q 上的一组线性无关生成元，所以 [Q(E) : Q] = 2。 . . . 3 Q(E) 是个二次扩张。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定理 . . . . . . . . 二次扩张必定是单扩张。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定理 . . . . . . . . 二次扩张必定是单扩张。 . . . . . . . 设 K 是 Q 的二次扩张， α ∈ K\Q。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定理 . . . . . . . . 二次扩张必定是单扩张。 . . . . . . . 设 K 是 Q 的二次扩张， α ∈ K\Q。 . . . 1 1, α 在 Q 上无关；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定理 . . . . . . . . 二次扩张必定是单扩张。 . . . . . . . 设 K 是 Q 的二次扩张， α ∈ K\Q。 . . . 1 1, α 在 Q 上无关； . . . 2 [K : Q] = 2；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定理 . . . . . . . . 二次扩张必定是单扩张。 . . . . . . . 设 K 是 Q 的二次扩张， α ∈ K\Q。 . . . 1 1, α 在 Q 上无关； . . . 2 [K : Q] = 2； . . . 3 1, α 是 K 在 Q 上一个极大无关组，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定理 . . . . . . . . 二次扩张必定是单扩张。 . . . . . . . 设 K 是 Q 的二次扩张， α ∈ K\Q。 . . . 1 1, α 在 Q 上无关； . . . 2 [K : Q] = 2； . . . 3 1, α 是 K 在 Q 上一个极大无关组，从而是一组基。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定理 . . . . . . . . 二次扩张必定是单扩张。 . . . . . . . 设 K 是 Q 的二次扩张， α ∈ K\Q。 . . . 1 1, α 在 Q 上无关； . . . 2 [K : Q] = 2； . . . 3 1, α 是 K 在 Q 上一个极大无关组，从而是一组基。 . . . 4 Q(α) = K，K 是单扩张。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 二次域的形式：广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 二次域的形式： . . . . . . . . . . 1 设 K 是二次域，α 是 K\Q 中任一元, 则 K = Q(α)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 二次域的形式： . . . . . . . . . . 1 设 K 是二次域，α 是 K\Q 中任一元, 则 K = Q(α)； . . . 2 设 α 的极小多项式为 p(x) = x2 + sx + t, s, t ∈ Q；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 二次域的形式： . . . . . . . . . . 1 设 K 是二次域，α 是 K\Q 中任一元, 则 K = Q(α)； . . . 2 设 α 的极小多项式为 p(x) = x2 + sx + t, s, t ∈ Q；把 p(x) 乘上适当整数，得一整系数多项式 f(x) = ax2 + bx + c。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 二次域的形式： . . . . . . . . . . 1 设 K 是二次域，α 是 K\Q 中任一元, 则 K = Q(α)； . . . 2 设 α 的极小多项式为 p(x) = x2 + sx + t, s, t ∈ Q；把 p(x) 乘上适当整数，得一整系数多项式 f(x) = ax2 + bx + c。 . . . 3 α 是 f(x) 的根，所以 α = −b± √ Δ 2a , Δ = b2 − 4ac；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 二次域的形式： . . . . . . . . . . 1 设 K 是二次域，α 是 K\Q 中任一元, 则 K = Q(α)； . . . 2 设 α 的极小多项式为 p(x) = x2 + sx + t, s, t ∈ Q；把 p(x) 乘上适当整数，得一整系数多项式 f(x) = ax2 + bx + c。 . . . 3 α 是 f(x) 的根，所以 α = −b± √ Δ 2a , Δ = b2 − 4ac； . . . 4 任一二次域都可以表示为 Q(α) = Q(Δ)，其中 Δ 不是完全平方数。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 二次域的形式： . . . . . . . . . . 1 设 K 是二次域，α 是 K\Q 中任一元, 则 K = Q(α)； . . . 2 设 α 的极小多项式为 p(x) = x2 + sx + t, s, t ∈ Q；把 p(x) 乘上适当整数，得一整系数多项式 f(x) = ax2 + bx + c。 . . . 3 α 是 f(x) 的根，所以 α = −b± √ Δ 2a , Δ = b2 − 4ac； . . . 4 任一二次域都可以表示为 Q(α) = Q(Δ)，其中 Δ 不是完全平方数。 . . . 5 若 Δ > 0 称 Q(Δ) 为实二次域，若 Δ < 0 称 Q(Δ) 为虚二次域。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 二次域的形式： . . . . . . . . . . 1 设 K 是二次域，α 是 K\Q 中任一元, 则 K = Q(α)； . . . 2 设 α 的极小多项式为 p(x) = x2 + sx + t, s, t ∈ Q；把 p(x) 乘上适当整数，得一整系数多项式 f(x) = ax2 + bx + c。 . . . 3 α 是 f(x) 的根，所以 α = −b± √ Δ 2a , Δ = b2 − 4ac； . . . 4 任一二次域都可以表示为 Q(α) = Q(Δ)，其中 Δ 不是完全平方数。 . . . 5 若 Δ > 0 称 Q(Δ) 为实二次域，若 Δ < 0 称 Q(Δ) 为虚二次域。 . . . 6 设 Δ = dm2，d 不含平方因子，有 Q(Δ) = Q(d)，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 二次域的形式： . . . . . . . . . . 1 设 K 是二次域，α 是 K\Q 中任一元, 则 K = Q(α)； . . . 2 设 α 的极小多项式为 p(x) = x2 + sx + t, s, t ∈ Q；把 p(x) 乘上适当整数，得一整系数多项式 f(x) = ax2 + bx + c。 . . . 3 α 是 f(x) 的根，所以 α = −b± √ Δ 2a , Δ = b2 − 4ac； . . . 4 任一二次域都可以表示为 Q(α) = Q(Δ)，其中 Δ 不是完全平方数。 . . . 5 若 Δ > 0 称 Q(Δ) 为实二次域，若 Δ < 0 称 Q(Δ) 为虚二次域。 . . . 6 设 Δ = dm2，d 不含平方因子，有 Q(Δ) = Q(d)，故二次域一定可以写成 Q( √ d) 的形式，其中 d 不含平方因子。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 整数环和域上的多项式环都可以做带余除法, 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 整数环和域上的多项式环都可以做带余除法,把这个概念抽象一下，可以得到所谓的欧氏环。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 整数环和域上的多项式环都可以做带余除法,把这个概念抽象一下，可以得到所谓的欧氏环。 . 定义 . . . . . . . . 设 R 是一个环，R∗ = R\{0}。若存在映射 φ : R∗ → Z+，使得对任意的 a, b ∈ R, b = 0，均存在 q, r ∈ R 满足 a = qb + r, r = 0, 或 φ(r) < φ(b), 则称 R 是一个欧氏环。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定理 . . . . . . . . 欧氏环 R 中任一理想都是主理想。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定理 . . . . . . . . 欧氏环 R 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . . . . 1 对任意非零元 x ∈ R，称 φ(x) 为 x 的度量。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定理 . . . . . . . . 欧氏环 R 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . . . . 1 对任意非零元 x ∈ R，称 φ(x) 为 x 的度量。 . . . 2 设 I 是 R 中一个非零理想，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定理 . . . . . . . . 欧氏环 R 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . . . . 1 对任意非零元 x ∈ R，称 φ(x) 为 x 的度量。 . . . 2 设 I 是 R 中一个非零理想，其中度量最小的非零元设为 d；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定理 . . . . . . . . 欧氏环 R 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . . . . 1 对任意非零元 x ∈ R，称 φ(x) 为 x 的度量。 . . . 2 设 I 是 R 中一个非零理想，其中度量最小的非零元设为 d；我们将证明 I = (d)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定理 . . . . . . . . 欧氏环 R 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . . . . 1 对任意非零元 x ∈ R，称 φ(x) 为 x 的度量。 . . . 2 设 I 是 R 中一个非零理想，其中度量最小的非零元设为 d；我们将证明 I = (d)。 . . . 3 由欧氏环的定义，对任意 a ∈ I，存在 q, r ∈ R 使得 a = bq + r, r = 0 或 φ(r) < φ(b), 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定理 . . . . . . . . 欧氏环 R 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . . . . 1 对任意非零元 x ∈ R，称 φ(x) 为 x 的度量。 . . . 2 设 I 是 R 中一个非零理想，其中度量最小的非零元设为 d；我们将证明 I = (d)。 . . . 3 由欧氏环的定义，对任意 a ∈ I，存在 q, r ∈ R 使得 a = bq + r, r = 0 或 φ(r) < φ(b), . . . 4 r = a − bq ∈ I，而 d 是 I 中度量最小的元素，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定理 . . . . . . . . 欧氏环 R 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . . . . 1 对任意非零元 x ∈ R，称 φ(x) 为 x 的度量。 . . . 2 设 I 是 R 中一个非零理想，其中度量最小的非零元设为 d；我们将证明 I = (d)。 . . . 3 由欧氏环的定义，对任意 a ∈ I，存在 q, r ∈ R 使得 a = bq + r, r = 0 或 φ(r) < φ(b), . . . 4 r = a − bq ∈ I，而 d 是 I 中度量最小的元素，所以 I = 0；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定理 . . . . . . . . 欧氏环 R 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . . . . 1 对任意非零元 x ∈ R，称 φ(x) 为 x 的度量。 . . . 2 设 I 是 R 中一个非零理想，其中度量最小的非零元设为 d；我们将证明 I = (d)。 . . . 3 由欧氏环的定义，对任意 a ∈ I，存在 q, r ∈ R 使得 a = bq + r, r = 0 或 φ(r) < φ(b), . . . 4 r = a − bq ∈ I，而 d 是 I 中度量最小的元素，所以 I = 0； . . . 5 I 中元素都是 d 的倍元，所以 I ⊆ (d)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定理 . . . . . . . . 欧氏环 R 中任一理想都是主理想。 . . . . . . . . . . 1 对任意非零元 x ∈ R，称 φ(x) 为 x 的度量。 . . . 2 设 I 是 R 中一个非零理想，其中度量最小的非零元设为 d；我们将证明 I = (d)。 . . . 3 由欧氏环的定义，对任意 a ∈ I，存在 q, r ∈ R 使得 a = bq + r, r = 0 或 φ(r) < φ(b), . . . 4 r = a − bq ∈ I，而 d 是 I 中度量最小的元素，所以 I = 0； . . . 5 I 中元素都是 d 的倍元，所以 I ⊆ (d)； . . . 6 d ∈ I，所以 I ⊇ (d) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 下面我们考虑两个特殊的二次域： . . . 1 高斯数域 Q(E)； . . . 2 三次分元域 Q(ω)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定义 . . . . . . . . . . . 1 设 E = √ −1，Z[E] = {a + bE | a, b ∈ Z} 按复数的加法和乘法构成一个整环，称为高斯整环。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定义 . . . . . . . . . . . 1 设 E = √ −1，Z[E] = {a + bE | a, b ∈ Z} 按复数的加法和乘法构成一个整环，称为高斯整环。 . . . 2 显然二次域 Q(E) 是 Q[E] 的分式域，称为高斯数域。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定理 . . . . . . . . 高斯整环 Z[E] 是欧氏环。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定理 . . . . . . . . 高斯整环 Z[E] 是欧氏环。 . . . . . . . 分析：欧氏环是整数环的推广，所以我们的推理可以仿照整数环上的理论进行；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定理 . . . . . . . . 高斯整环 Z[E] 是欧氏环。 . . . . . . . 分析：欧氏环是整数环的推广，所以我们的推理可以仿照整数环上的理论进行；一个整数的度量就是到该整数到原点的距离，所以我们可以把 a + bE 的度量定义为 √ a2 + b2；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定理 . . . . . . . . 高斯整环 Z[E] 是欧氏环。 . . . . . . . 分析：欧氏环是整数环的推广，所以我们的推理可以仿照整数环上的理论进行；一个整数的度量就是到该整数到原点的距离，所以我们可以把 a + bE 的度量定义为 √ a2 + b2；但注意到度量函数 φ 是映射到 Z+ 上的，但 √ a2 + b2 未必落在 Z+ 上，所以我们把定义修改为： φ : a + bE → a2 + b2, 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 我们设定的度量函数 φ 能满足要求吗？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 我们设定的度量函数 φ 能满足要求吗？对 α, β = 0 ∈ Z[E], 是否有类似带余除法的性质： α = βθ + γ, γ = 0 或 φ(γ) < φ(β)? 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 我们设定的度量函数 φ 能满足要求吗？对 α, β = 0 ∈ Z[E], 是否有类似带余除法的性质： α = βθ + γ, γ = 0 或 φ(γ) < φ(β)? . . . . . . . α β = θ + γ β ，若 α β 是高斯整数，则取 θ = α β , γ = 0; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 我们设定的度量函数 φ 能满足要求吗？对 α, β = 0 ∈ Z[E], 是否有类似带余除法的性质： α = βθ + γ, γ = 0 或 φ(γ) < φ(β)? . . . . . . . α β = θ + γ β ，若 α β 是高斯整数，则取 θ = α β , γ = 0; 若 α β 不是高斯整数呢？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 我们设定的度量函数 φ 能满足要求吗？对 α, β = 0 ∈ Z[E], 是否有类似带余除法的性质： α = βθ + γ, γ = 0 或 φ(γ) < φ(β)? . . . . . . . α β = θ + γ β ，若 α β 是高斯整数，则取 θ = α β , γ = 0; 若 α β 不是高斯整数呢？出于方便，我们把 φ 的定义从 Q[E]∗ 自然地扩展到 Q(E) 中，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 我们设定的度量函数 φ 能满足要求吗？对 α, β = 0 ∈ Z[E], 是否有类似带余除法的性质： α = βθ + γ, γ = 0 或 φ(γ) < φ(β)? . . . . . . . α β = θ + γ β ，若 α β 是高斯整数，则取 θ = α β , γ = 0; 若 α β 不是高斯整数呢？出于方便，我们把 φ 的定义从 Q[E]∗ 自然地扩展到 Q(E) 中，有 φ(xy) = φ(x)φ(y)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 我们设定的度量函数 φ 能满足要求吗？对 α, β = 0 ∈ Z[E], 是否有类似带余除法的性质： α = βθ + γ, γ = 0 或 φ(γ) < φ(β)? . . . . . . . α β = θ + γ β ，若 α β 是高斯整数，则取 θ = α β , γ = 0; 若 α β 不是高斯整数呢？出于方便，我们把 φ 的定义从 Q[E]∗ 自然地扩展到 Q(E) 中，有 φ(xy) = φ(x)φ(y)。 φ ( α β − θ ) = φ ( γ β ) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 我们设定的度量函数 φ 能满足要求吗？对 α, β = 0 ∈ Z[E], 是否有类似带余除法的性质： α = βθ + γ, γ = 0 或 φ(γ) < φ(β)? . . . . . . . α β = θ + γ β ，若 α β 是高斯整数，则取 θ = α β , γ = 0; 若 α β 不是高斯整数呢？出于方便，我们把 φ 的定义从 Q[E]∗ 自然地扩展到 Q(E) 中，有 φ(xy) = φ(x)φ(y)。 φ ( α β − θ ) = φ ( γ β ) = φ(γ) φ(β) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 我们设定的度量函数 φ 能满足要求吗？对 α, β = 0 ∈ Z[E], 是否有类似带余除法的性质： α = βθ + γ, γ = 0 或 φ(γ) < φ(β)? . . . . . . . α β = θ + γ β ，若 α β 是高斯整数，则取 θ = α β , γ = 0; 若 α β 不是高斯整数呢？出于方便，我们把 φ 的定义从 Q[E]∗ 自然地扩展到 Q(E) 中，有 φ(xy) = φ(x)φ(y)。 φ ( α β − θ ) = φ ( γ β ) = φ(γ) φ(β) < 1；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 我们设定的度量函数 φ 能满足要求吗？对 α, β = 0 ∈ Z[E], 是否有类似带余除法的性质： α = βθ + γ, γ = 0 或 φ(γ) < φ(β)? . . . . . . . α β = θ + γ β ，若 α β 是高斯整数，则取 θ = α β , γ = 0; 若 α β 不是高斯整数呢？出于方便，我们把 φ 的定义从 Q[E]∗ 自然地扩展到 Q(E) 中，有 φ(xy) = φ(x)φ(y)。 φ ( α β − θ ) = φ ( γ β ) = φ(γ) φ(β) < 1； θ 是很接近 α β 的高斯整数，它们差距的度量不到 1。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . α = βθ + γ，如何求出 θ ？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . α = βθ + γ，如何求出 θ ？ . . . . . . . 我们已经知道 θ 应该很接近 α β ，但具体应该是多少呢？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . α = βθ + γ，如何求出 θ ？ . . . . . . . 我们已经知道 θ 应该很接近 α β ，但具体应该是多少呢？设 α β = s + tE, s, t ∈ Q，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . α = βθ + γ，如何求出 θ ？ . . . . . . . 我们已经知道 θ 应该很接近 α β ，但具体应该是多少呢？设 α β = s + tE, s, t ∈ Q，取 θ = [s] + [t]E 怎么样呢？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . α = βθ + γ，如何求出 θ ？ . . . . . . . 我们已经知道 θ 应该很接近 α β ，但具体应该是多少呢？设 α β = s + tE, s, t ∈ Q，取 θ = [s] + [t]E 怎么样呢？这样 γ β = ( (s + tE) − ([s] + [t]E) ) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . α = βθ + γ，如何求出 θ ？ . . . . . . . 我们已经知道 θ 应该很接近 α β ，但具体应该是多少呢？设 α β = s + tE, s, t ∈ Q，取 θ = [s] + [t]E 怎么样呢？这样 γ β = ( (s + tE) − ([s] + [t]E) ) = (s − [s]) + (t − [t])E，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . α = βθ + γ，如何求出 θ ？ . . . . . . . 我们已经知道 θ 应该很接近 α β ，但具体应该是多少呢？设 α β = s + tE, s, t ∈ Q，取 θ = [s] + [t]E 怎么样呢？这样 γ β = ( (s + tE) − ([s] + [t]E) ) = (s − [s]) + (t − [t])E， φ ( γ β ) = (s − [s])2 + (t − [t])2 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . α = βθ + γ，如何求出 θ ？ . . . . . . . 我们已经知道 θ 应该很接近 α β ，但具体应该是多少呢？设 α β = s + tE, s, t ∈ Q，取 θ = [s] + [t]E 怎么样呢？这样 γ β = ( (s + tE) − ([s] + [t]E) ) = (s − [s]) + (t − [t])E， φ ( γ β ) = (s − [s])2 + (t − [t])2 小于 1 吗？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . α = βθ + γ，如何求出 θ ？ . . . . . . . 我们已经知道 θ 应该很接近 α β ，但具体应该是多少呢？设 α β = s + tE, s, t ∈ Q，取 θ = [s] + [t]E 怎么样呢？这样 γ β = ( (s + tE) − ([s] + [t]E) ) = (s − [s]) + (t − [t])E， φ ( γ β ) = (s − [s])2 + (t − [t])2 小于 1 吗？显然无法保证。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . α = βθ + γ，如何求出 θ ？ . . . . . . . 我们已经知道 θ 应该很接近 α β ，但具体应该是多少呢？设 α β = s + tE, s, t ∈ Q，取 θ = [s] + [t]E 怎么样呢？这样 γ β = ( (s + tE) − ([s] + [t]E) ) = (s − [s]) + (t − [t])E， φ ( γ β ) = (s − [s])2 + (t − [t])2 小于 1 吗？显然无法保证。 α β − θ 的实部和虚部都应该尽可能小。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 取 s , t ∈ Z，使得 |s − s | 1 2 , |t − t | 1 2 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 取 s , t ∈ Z，使得 |s − s | 1 2 , |t − t | 1 2 令 θ = s + t E，有： γ β = α β − θ = (s − s ) + (t − t )E；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 取 s , t ∈ Z，使得 |s − s | 1 2 , |t − t | 1 2 令 θ = s + t E，有： γ β = α β − θ = (s − s ) + (t − t )E； φ ( γ β ) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 取 s , t ∈ Z，使得 |s − s | 1 2 , |t − t | 1 2 令 θ = s + t E，有： γ β = α β − θ = (s − s ) + (t − t )E； φ ( γ β ) = (s − s )2 + (t − t )2 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 取 s , t ∈ Z，使得 |s − s | 1 2 , |t − t | 1 2 令 θ = s + t E，有： γ β = α β − θ = (s − s ) + (t − t )E； φ ( γ β ) = (s − s )2 + (t − t )2 < ( 1 2 )2 + ( 1 2 )2 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 取 s , t ∈ Z，使得 |s − s | 1 2 , |t − t | 1 2 令 θ = s + t E，有： γ β = α β − θ = (s − s ) + (t − t )E； φ ( γ β ) = (s − s )2 + (t − t )2 < ( 1 2 )2 + ( 1 2 )2 < 1 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 取 s , t ∈ Z，使得 |s − s | 1 2 , |t − t | 1 2 令 θ = s + t E，有： γ β = α β − θ = (s − s ) + (t − t )E； φ ( γ β ) = (s − s )2 + (t − t )2 < ( 1 2 )2 + ( 1 2 )2 < 1 于是我们得到了 θ = s + t E, 使得： φ ( α β − θ ) = φ ( γ β ) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 取 s , t ∈ Z，使得 |s − s | 1 2 , |t − t | 1 2 令 θ = s + t E，有： γ β = α β − θ = (s − s ) + (t − t )E； φ ( γ β ) = (s − s )2 + (t − t )2 < ( 1 2 )2 + ( 1 2 )2 < 1 于是我们得到了 θ = s + t E, 使得： φ ( α β − θ ) = φ ( γ β ) < 1 即 α = βθ + γ, γ = 0, 或 φ(γ) < φ(β)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定义 . . . . . . . . 设 ω = −1+ √ −3 2 。 . . . 1 ω 在 Q 上的极小多项式为 x2 + x + 1，因此 Q(ω) 是个二次域，称为三次分圆域。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定义 . . . . . . . . 设 ω = −1+ √ −3 2 。 . . . 1 ω 在 Q 上的极小多项式为 x2 + x + 1，因此 Q(ω) 是个二次域，称为三次分圆域。 . . . 2 Q[ω] 是 Q(ω) 的一个子环，所以是个整环。称为三次分圆域的整数环。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定义 . . . . . . . . 设 ω = −1+ √ −3 2 。 . . . 1 ω 在 Q 上的极小多项式为 x2 + x + 1，因此 Q(ω) 是个二次域，称为三次分圆域。 . . . 2 Q[ω] 是 Q(ω) 的一个子环，所以是个整环。称为三次分圆域的整数环。 . . . 3 Q(ω) 是 ω[ω] 的分式环。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 三次分圆域名字的来由：广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 三次分圆域名字的来由： . . x . y . ω0 . ω . ω2 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 三次分圆域名字的来由： . . x . y . ω0 . ω . ω2 . . . 1 1, ω, ω2 是 x3 = 1 的三个根；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 三次分圆域名字的来由： . . x . y . ω0 . ω . ω2 . . . 1 1, ω, ω2 是 x3 = 1 的三个根； . . . 2 它们均匀地分布在单位圆上。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . 三次分圆域名字的来由： . . x . y . ω0 . ω . ω2 . . . 1 1, ω, ω2 是 x3 = 1 的三个根； . . . 2 它们均匀地分布在单位圆上。 . . . 3 ω = e2π 3 E。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定理 . . . . . . . . 三次分圆域 Q(ω) 的整数环 Z[ω] 是个欧氏环。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定理 . . . . . . . . 三次分圆域 Q(ω) 的整数环 Z[ω] 是个欧氏环。 . . . . . . . Z[ω] = {a + bE | a, b ∈ Z}；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定理 . . . . . . . . 三次分圆域 Q(ω) 的整数环 Z[ω] 是个欧氏环。 . . . . . . . Z[ω] = {a + bE | a, b ∈ Z}；把 Z[ω]∗ 的非零元素的度量定义为复数模的平方，计算得： ϕ(a + bω) = a2 − ab + b2; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定理 . . . . . . . . 三次分圆域 Q(ω) 的整数环 Z[ω] 是个欧氏环。 . . . . . . . Z[ω] = {a + bE | a, b ∈ Z}；把 Z[ω]∗ 的非零元素的度量定义为复数模的平方，计算得： ϕ(a + bω) = a2 − ab + b2; 对任意 α, β = 0 ∈ Z[ω]，设 α/β = s + tω；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定理 . . . . . . . . 三次分圆域 Q(ω) 的整数环 Z[ω] 是个欧氏环。 . . . . . . . Z[ω] = {a + bE | a, b ∈ Z}；把 Z[ω]∗ 的非零元素的度量定义为复数模的平方，计算得： ϕ(a + bω) = a2 − ab + b2; 对任意 α, β = 0 ∈ Z[ω]，设 α/β = s + tω；取整数 s , t 使得 |s − s | < 1/2, |t − t | < 1/2；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . 定理 . . . . . . . . 三次分圆域 Q(ω) 的整数环 Z[ω] 是个欧氏环。 . . . . . . . Z[ω] = {a + bE | a, b ∈ Z}；把 Z[ω]∗ 的非零元素的度量定义为复数模的平方，计算得： ϕ(a + bω) = a2 − ab + b2; 对任意 α, β = 0 ∈ Z[ω]，设 α/β = s + tω；取整数 s , t 使得 |s − s | < 1/2, |t − t | < 1/2；令 θ = s + t ω, 有 α/β − θ = (s − s ) + (t − t ) ω；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . φ ( α β − θ ) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . φ ( α β − θ ) = φ ( (s − s) + (t − t )ω ) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . φ ( α β − θ ) = φ ( (s − s) + (t − t )ω ) = (s − s )2 − (s − s )(t − t) + (t − t )2 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . φ ( α β − θ ) = φ ( (s − s) + (t − t )ω ) = (s − s )2 − (s − s )(t − t) + (t − t )2 < 1/4 + 1/4 + 1/4 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . φ ( α β − θ ) = φ ( (s − s) + (t − t )ω ) = (s − s )2 − (s − s )(t − t) + (t − t )2 < 1/4 + 1/4 + 1/4 < 1 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . φ ( α β − θ ) = φ ( (s − s) + (t − t )ω ) = (s − s )2 − (s − s )(t − t) + (t − t )2 < 1/4 + 1/4 + 1/4 < 1 令 γ = ( α β − θ ) β，有广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

欧氏环高斯数域 Q(E) 三次分圆域 Q(ω) . . . . . . . φ ( α β − θ ) = φ ( (s − s) + (t − t )ω ) = (s − s )2 − (s − s )(t − t) + (t − t )2 < 1/4 + 1/4 + 1/4 < 1 令 γ = ( α β − θ ) β，有 α = βθ + γ, γ = 0, 或 φ(γ) < φ(β)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . §8.6 多项式的分裂域广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 域的单代数扩张实际上是添加一个不可约多项式根的扩张，因此在这个扩域上，此不可约多项式就有根，从而在扩域上这个多项式就可约了。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 域的单代数扩张实际上是添加一个不可约多项式根的扩张，因此在这个扩域上，此不可约多项式就有根，从而在扩域上这个多项式就可约了。通常，如果 f(x) 是域 F 上的一个多项式，可以将 f(x) 的所有根添加到 F 中，得到一个扩域，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 域的单代数扩张实际上是添加一个不可约多项式根的扩张，因此在这个扩域上，此不可约多项式就有根，从而在扩域上这个多项式就可约了。通常，如果 f(x) 是域 F 上的一个多项式，可以将 f(x) 的所有根添加到 F 中，得到一个扩域，在这个扩域上，f(x) 可以分解成线性因式的乘积。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 域的单代数扩张实际上是添加一个不可约多项式根的扩张，因此在这个扩域上，此不可约多项式就有根，从而在扩域上这个多项式就可约了。通常，如果 f(x) 是域 F 上的一个多项式，可以将 f(x) 的所有根添加到 F 中，得到一个扩域，在这个扩域上，f(x) 可以分解成线性因式的乘积。这个扩域就是所谓的分裂域。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 设 f(x) ∈ F[x] 是一个 n 次多项式，E 是 F 的一个扩域，如果 . . . 1 f(x) 在 E 上能够分解成一次因式的成积 f(x) = a(x − α1)(x − α2) · · · (x − αn); 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 设 f(x) ∈ F[x] 是一个 n 次多项式，E 是 F 的一个扩域，如果 . . . 1 f(x) 在 E 上能够分解成一次因式的成积 f(x) = a(x − α1)(x − α2) · · · (x − αn); . . . 2 E = F(α1, α2, . . . , αn)，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 设 f(x) ∈ F[x] 是一个 n 次多项式，E 是 F 的一个扩域，如果 . . . 1 f(x) 在 E 上能够分解成一次因式的成积 f(x) = a(x − α1)(x − α2) · · · (x − αn); . . . 2 E = F(α1, α2, . . . , αn)，则称 E 为 f(x) 在 F 上的一个分裂域，或称 E 为 F 上的一个分裂扩张。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定义 . . . . . . . . 设 f(x) ∈ F[x] 是一个 n 次多项式，E 是 F 的一个扩域，如果 . . . 1 f(x) 在 E 上能够分解成一次因式的成积 f(x) = a(x − α1)(x − α2) · · · (x − αn); . . . 2 E = F(α1, α2, . . . , αn)，则称 E 为 f(x) 在 F 上的一个分裂域，或称 E 为 F 上的一个分裂扩张。 . . . . . . . 这个定义其实是说：f 在 F 上的分裂域 E 是使 f 能分解成线性因式乘积的 F 的最小扩域。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . x2 + 1 是实数域 R 上的多项式，求 x2 + 1 在 R 上的分裂域。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . x2 + 1 是实数域 R 上的多项式，求 x2 + 1 在 R 上的分裂域。 . . . . . . . . . . 1 x2 + 1 在 R 的扩域 C 上分解成线性因式的乘积 (x − E)(x + E)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . x2 + 1 是实数域 R 上的多项式，求 x2 + 1 在 R 上的分裂域。 . . . . . . . . . . 1 x2 + 1 在 R 的扩域 C 上分解成线性因式的乘积 (x − E)(x + E)。 . . . 2 x2 + 1 在 R 上的分裂域是 R(E, −E)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . x2 + 1 是实数域 R 上的多项式，求 x2 + 1 在 R 上的分裂域。 . . . . . . . . . . 1 x2 + 1 在 R 的扩域 C 上分解成线性因式的乘积 (x − E)(x + E)。 . . . 2 x2 + 1 在 R 上的分裂域是 R(E, −E)。 . . . 3 R(E, −E) = R(E)(−E)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . x2 + 1 是实数域 R 上的多项式，求 x2 + 1 在 R 上的分裂域。 . . . . . . . . . . 1 x2 + 1 在 R 的扩域 C 上分解成线性因式的乘积 (x − E)(x + E)。 . . . 2 x2 + 1 在 R 上的分裂域是 R(E, −E)。 . . . 3 R(E, −E) = R(E)(−E)； . . . 4 R(E) = {a + bE | a, b ∈ R}，所以 −E ∈ R(E)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . x2 + 1 是实数域 R 上的多项式，求 x2 + 1 在 R 上的分裂域。 . . . . . . . . . . 1 x2 + 1 在 R 的扩域 C 上分解成线性因式的乘积 (x − E)(x + E)。 . . . 2 x2 + 1 在 R 上的分裂域是 R(E, −E)。 . . . 3 R(E, −E) = R(E)(−E)； . . . 4 R(E) = {a + bE | a, b ∈ R}，所以 −E ∈ R(E)； . . . 5 R(E)(−E) = R(E)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . x2 + 1 是有理数域 Q 上多项式，求 x2 + 1 在 Q 上的分裂域。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . x2 + 1 是有理数域 Q 上多项式，求 x2 + 1 在 Q 上的分裂域。 . . . . . . . . . . 1 x2 + 1 在 Q 的扩域 C 上分解成线性因式的乘积 (x − E)(x + E)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . x2 + 1 是有理数域 Q 上多项式，求 x2 + 1 在 Q 上的分裂域。 . . . . . . . . . . 1 x2 + 1 在 Q 的扩域 C 上分解成线性因式的乘积 (x − E)(x + E)。 . . . 2 x2 + 1 在 Q 上的分裂域是 Q(E, −E)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . x2 + 1 是有理数域 Q 上多项式，求 x2 + 1 在 Q 上的分裂域。 . . . . . . . . . . 1 x2 + 1 在 Q 的扩域 C 上分解成线性因式的乘积 (x − E)(x + E)。 . . . 2 x2 + 1 在 Q 上的分裂域是 Q(E, −E)。 . . . 3 Q(E, −E) = Q(E)(−E)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . x2 + 1 是有理数域 Q 上多项式，求 x2 + 1 在 Q 上的分裂域。 . . . . . . . . . . 1 x2 + 1 在 Q 的扩域 C 上分解成线性因式的乘积 (x − E)(x + E)。 . . . 2 x2 + 1 在 Q 上的分裂域是 Q(E, −E)。 . . . 3 Q(E, −E) = Q(E)(−E)； . . . 4 Q(E) = {a + bE | a, b ∈ Q}，所以 −E ∈ Q(E)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . x2 + 1 是有理数域 Q 上多项式，求 x2 + 1 在 Q 上的分裂域。 . . . . . . . . . . 1 x2 + 1 在 Q 的扩域 C 上分解成线性因式的乘积 (x − E)(x + E)。 . . . 2 x2 + 1 在 Q 上的分裂域是 Q(E, −E)。 . . . 3 Q(E, −E) = Q(E)(−E)； . . . 4 Q(E) = {a + bE | a, b ∈ Q}，所以 −E ∈ Q(E)； . . . 5 Q(E)(−E) = Q(E)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . x2 + 1 是有理数域 Q 上多项式，求 x2 + 1 在 Q 上的分裂域。 . . . . . . . . . . 1 x2 + 1 在 Q 的扩域 C 上分解成线性因式的乘积 (x − E)(x + E)。 . . . 2 x2 + 1 在 Q 上的分裂域是 Q(E, −E)。 . . . 3 Q(E, −E) = Q(E)(−E)； . . . 4 Q(E) = {a + bE | a, b ∈ Q}，所以 −E ∈ Q(E)； . . . 5 Q(E)(−E) = Q(E)。 . ? . . . . . . . . 这两个例子有什么不同的地方？广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . x2 + 1 是复数域 C 上的多项式，求 x2 + 1 在 C 上的分裂域。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . x2 + 1 是复数域 C 上的多项式，求 x2 + 1 在 C 上的分裂域。 . . . . . . . . . . 1 x2 + 1 在 C 的扩域 C 上分解成线性因式的乘积 (x − E)(x + E)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . x2 + 1 是复数域 C 上的多项式，求 x2 + 1 在 C 上的分裂域。 . . . . . . . . . . 1 x2 + 1 在 C 的扩域 C 上分解成线性因式的乘积 (x − E)(x + E)。 . . . 2 x2 + 1 在 C 上的分裂域是 C(E, −E)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . x2 + 1 是复数域 C 上的多项式，求 x2 + 1 在 C 上的分裂域。 . . . . . . . . . . 1 x2 + 1 在 C 的扩域 C 上分解成线性因式的乘积 (x − E)(x + E)。 . . . 2 x2 + 1 在 C 上的分裂域是 C(E, −E)。 . . . 3 由于 ±E ∈ C；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . x2 + 1 是复数域 C 上的多项式，求 x2 + 1 在 C 上的分裂域。 . . . . . . . . . . 1 x2 + 1 在 C 的扩域 C 上分解成线性因式的乘积 (x − E)(x + E)。 . . . 2 x2 + 1 在 C 上的分裂域是 C(E, −E)。 . . . 3 由于 ±E ∈ C；有 C(E, −E) = C。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

注意 . . . . . . . . f(x) 的分裂域不仅跟多项式 f 有关，还跟 f 所在的域有关。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

注意 . . . . . . . . f(x) 的分裂域不仅跟多项式 f 有关，还跟 f 所在的域有关。 . . C . Q . R . ±E 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

注意 . . . . . . . . f(x) 的分裂域不仅跟多项式 f 有关，还跟 f 所在的域有关。 . . C . Q . R . ±E . . . 1 x2 + 1 在 Q 上分裂域为 Q(E)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

注意 . . . . . . . . f(x) 的分裂域不仅跟多项式 f 有关，还跟 f 所在的域有关。 . . C . Q . R . ±E . . . 1 x2 + 1 在 Q 上分裂域为 Q(E)； . . . 2 x2 + 1 在 R 上分裂域为 R(E)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

注意 . . . . . . . . f(x) 的分裂域不仅跟多项式 f 有关，还跟 f 所在的域有关。 . . C . Q . R . ±E . . . 1 x2 + 1 在 Q 上分裂域为 Q(E)； . . . 2 x2 + 1 在 R 上分裂域为 R(E)； . . . 3 x2 + 1 在 Q 上分裂域为 C。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 域 F 上任一 n 0 次多项式 f(x) 在 F 上有分裂域。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 域 F 上任一 n 0 次多项式 f(x) 在 F 上有分裂域。 . . . . . . . 如果 f(x) 在 F 上分解成线性因式的乘积，则 f(x) 在 F 上的分裂域就是 F; 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 域 F 上任一 n 0 次多项式 f(x) 在 F 上有分裂域。 . . . . . . . 如果 f(x) 在 F 上分解成线性因式的乘积，则 f(x) 在 F 上的分裂域就是 F; 如果 f(x) 在 F 存在次数大于 1 的既约因式，设次数最高的既然约因式为 p(x)，则 f(x) = p(x) · g(x)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 域 F 上任一 n 0 次多项式 f(x) 在 F 上有分裂域。 . . . . . . . 如果 f(x) 在 F 上分解成线性因式的乘积，则 f(x) 在 F 上的分裂域就是 F; 如果 f(x) 在 F 存在次数大于 1 的既约因式，设次数最高的既然约因式为 p(x)，则 f(x) = p(x) · g(x)；存在 F 的单扩张 F1 = F(α1) F[x]/(p(x))，α1 在 F 上的极小多项式为 p(x)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 域 F 上任一 n 0 次多项式 f(x) 在 F 上有分裂域。 . . . . . . . 如果 f(x) 在 F 上分解成线性因式的乘积，则 f(x) 在 F 上的分裂域就是 F; 如果 f(x) 在 F 存在次数大于 1 的既约因式，设次数最高的既然约因式为 p(x)，则 f(x) = p(x) · g(x)；存在 F 的单扩张 F1 = F(α1) F[x]/(p(x))，α1 在 F 上的极小多项式为 p(x)。 f(x) 在 F1 上的线性因式比在 F 上多了至少一个；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

定理 . . . . . . . . 域 F 上任一 n 0 次多项式 f(x) 在 F 上有分裂域。 . . . . . . . 如果 f(x) 在 F 上分解成线性因式的乘积，则 f(x) 在 F 上的分裂域就是 F; 如果 f(x) 在 F 存在次数大于 1 的既约因式，设次数最高的既然约因式为 p(x)，则 f(x) = p(x) · g(x)；存在 F 的单扩张 F1 = F(α1) F[x]/(p(x))，α1 在 F 上的极小多项式为 p(x)。 f(x) 在 F1 上的线性因式比在 F 上多了至少一个；在 F1 上重复前面的讨论，我们可以得到更多的线性因式，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 当线性因式的个数最终到达 n 时，我们得到了 F 的一个扩域 E， f(x) 在其上分解成线性因式的乘积。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 当线性因式的个数最终到达 n 时，我们得到了 F 的一个扩域 E， f(x) 在其上分解成线性因式的乘积。 f(x) 在 E 上有 n 个根，设为 {α1, α2, . . . , αn}，其中可能有重复的根；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 当线性因式的个数最终到达 n 时，我们得到了 F 的一个扩域 E， f(x) 在其上分解成线性因式的乘积。 f(x) 在 E 上有 n 个根，设为 {α1, α2, . . . , αn}，其中可能有重复的根； F(α1, α2, . . . , αn) 是 f(x) 在 F 上的分裂域。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 当线性因式的个数最终到达 n 时，我们得到了 F 的一个扩域 E， f(x) 在其上分解成线性因式的乘积。 f(x) 在 E 上有 n 个根，设为 {α1, α2, . . . , αn}，其中可能有重复的根； F(α1, α2, . . . , αn) 是 f(x) 在 F 上的分裂域。 . 注意 . . . . . . . . 观察上面的证明，不难发现，我们每步都往当前域里添加了 f(x) 在 E 上的一个根。设添加序列为 β1, β2, . . . , βk ，显然有 E = F(β1, β2, . . . , βk) ⊆ F(α1, α2, . . . , αn)，所以 E 其实就是 f 在 F 上的分裂域 F(α1, α2, . . . , αn)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

注意 . . . . . . . . . . . 1 总有人觉得前面的方法太费劲—直接说把 F 的 n 个根添加到 F 上就行了。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

注意 . . . . . . . . . . . 1 总有人觉得前面的方法太费劲—直接说把 F 的 n 个根添加到 F 上就行了。但这是行不通的。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

注意 . . . . . . . . . . . 1 总有人觉得前面的方法太费劲—直接说把 F 的 n 个根添加到 F 上就行了。但这是行不通的。 . . . 2 因为在得到 E 之前，我们并不知道这些根的存在性，这些根是在扩张中逐步得到的。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

注意 . . . . . . . . . . . 1 总有人觉得前面的方法太费劲—直接说把 F 的 n 个根添加到 F 上就行了。但这是行不通的。 . . . 2 因为在得到 E 之前，我们并不知道这些根的存在性，这些根是在扩张中逐步得到的。 . . . 3 关键的一步在于，若 m 次多项式 p(x) 在 F 上既约，则我们可以构造商域 F[x]/(p(x))。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

注意 . . . . . . . . . . . 1 总有人觉得前面的方法太费劲—直接说把 F 的 n 个根添加到 F 上就行了。但这是行不通的。 . . . 2 因为在得到 E 之前，我们并不知道这些根的存在性，这些根是在扩张中逐步得到的。 . . . 3 关键的一步在于，若 m 次多项式 p(x) 在 F 上既约，则我们可以构造商域 F[x]/(p(x))。p(x) 既约很重要，若不既约，得到的商环不是域。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

注意 . . . . . . . . . . . 1 总有人觉得前面的方法太费劲—直接说把 F 的 n 个根添加到 F 上就行了。但这是行不通的。 . . . 2 因为在得到 E 之前，我们并不知道这些根的存在性，这些根是在扩张中逐步得到的。 . . . 3 关键的一步在于，若 m 次多项式 p(x) 在 F 上既约，则我们可以构造商域 F[x]/(p(x))。p(x) 既约很重要，若不既约，得到的商环不是域。 . . . 4 F 可以自然地嵌入到 F[x]/(p(x)) 中，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

注意 . . . . . . . . . . . 1 总有人觉得前面的方法太费劲—直接说把 F 的 n 个根添加到 F 上就行了。但这是行不通的。 . . . 2 因为在得到 E 之前，我们并不知道这些根的存在性，这些根是在扩张中逐步得到的。 . . . 3 关键的一步在于，若 m 次多项式 p(x) 在 F 上既约，则我们可以构造商域 F[x]/(p(x))。p(x) 既约很重要，若不既约，得到的商环不是域。 . . . 4 F 可以自然地嵌入到 F[x]/(p(x)) 中，¯ x 就是 p(x) 在 f[x]/(p(x)) 中的一个根。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 确定 x4 − 2 在 Q 上的分裂域。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 确定 x4 − 2 在 Q 上的分裂域。 . . . . . . . x4 − 2 在 Q 上既约，添加 √ 2 得到 Q( 4 √ 2)；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 确定 x4 − 2 在 Q 上的分裂域。 . . . . . . . x4 − 2 在 Q 上既约，添加 √ 2 得到 Q( 4 √ 2)； [Q( 4 √ 2) : Q] = 4，有广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 确定 x4 − 2 在 Q 上的分裂域。 . . . . . . . x4 − 2 在 Q 上既约，添加 √ 2 得到 Q( 4 √ 2)； [Q( 4 √ 2) : Q] = 4，有 Q( 4 √ 2) = { a + b 4 √ 2 + c( 4 √ 2)2 + d( 4 √ 2)3 | a, b, c, d ∈ Q } 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 确定 x4 − 2 在 Q 上的分裂域。 . . . . . . . x4 − 2 在 Q 上既约，添加 √ 2 得到 Q( 4 √ 2)； [Q( 4 √ 2) : Q] = 4，有 Q( 4 √ 2) = { a + b 4 √ 2 + c( 4 √ 2)2 + d( 4 √ 2)3 | a, b, c, d ∈ Q } x4 − 2 在 Q( 4 √ 2) 中分解成：(x + 4 √ 2)(x − 4 √ 2)(x2 + √ 2) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 确定 x4 − 2 在 Q 上的分裂域。 . . . . . . . x4 − 2 在 Q 上既约，添加 √ 2 得到 Q( 4 √ 2)； [Q( 4 √ 2) : Q] = 4，有 Q( 4 √ 2) = { a + b 4 √ 2 + c( 4 √ 2)2 + d( 4 √ 2)3 | a, b, c, d ∈ Q } x4 − 2 在 Q( 4 √ 2) 中分解成：(x + 4 √ 2)(x − 4 √ 2)(x2 + √ 2) 注意 √ 2 = ( 4 √ 2)2 ∈ Q( 4 √ 2)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 确定 x4 − 2 在 Q 上的分裂域。 . . . . . . . x4 − 2 在 Q 上既约，添加 √ 2 得到 Q( 4 √ 2)； [Q( 4 √ 2) : Q] = 4，有 Q( 4 √ 2) = { a + b 4 √ 2 + c( 4 √ 2)2 + d( 4 √ 2)3 | a, b, c, d ∈ Q } x4 − 2 在 Q( 4 √ 2) 中分解成：(x + 4 √ 2)(x − 4 √ 2)(x2 + √ 2) 注意 √ 2 = ( 4 √ 2)2 ∈ Q( 4 √ 2)。 (x2 + √ 2) 在 Q( 4 √ 2) 上既约，添加 4 √ 2E 得 Q( 4 √ 2, 4 √ 2E)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

Example . . . . . . . . 确定 x4 − 2 在 Q 上的分裂域。 . . . . . . . x4 − 2 在 Q 上既约，添加 √ 2 得到 Q( 4 √ 2)； [Q( 4 √ 2) : Q] = 4，有 Q( 4 √ 2) = { a + b 4 √ 2 + c( 4 √ 2)2 + d( 4 √ 2)3 | a, b, c, d ∈ Q } x4 − 2 在 Q( 4 √ 2) 中分解成：(x + 4 √ 2)(x − 4 √ 2)(x2 + √ 2) 注意 √ 2 = ( 4 √ 2)2 ∈ Q( 4 √ 2)。 (x2 + √ 2) 在 Q( 4 √ 2) 上既约，添加 4 √ 2E 得 Q( 4 √ 2, 4 √ 2E)。 x4 − 2 在 Q( 4 √ 2, 4 √ 2E) 上分解为 (x + 4 √ 2)(x − 4 √ 2)(x − 4 √ 2E)(x + 4 √ 2E) 广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . x4 − 2 在 Q 上的分裂域为 Q( 4 √ 2, 4 √ 2E)。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 分裂域的唯一性。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 分裂域的唯一性。 . . . . . . . . . . 1 从前面定理的证明可以看出，即使 f(x) 和其所在的域 F 都已经给定，但 f(x) 在 F 上的分裂域并不唯一，广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 分裂域的唯一性。 . . . . . . . . . . 1 从前面定理的证明可以看出，即使 f(x) 和其所在的域 F 都已经给定，但 f(x) 在 F 上的分裂域并不唯一，它取决于逐步扩张的选择。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 分裂域的唯一性。 . . . . . . . . . . 1 从前面定理的证明可以看出，即使 f(x) 和其所在的域 F 都已经给定，但 f(x) 在 F 上的分裂域并不唯一，它取决于逐步扩张的选择。 . . . 2 但是，可以证明，无论以何种次序进行扩张，得到的分裂域都是同构的；广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 分裂域的唯一性。 . . . . . . . . . . 1 从前面定理的证明可以看出，即使 f(x) 和其所在的域 F 都已经给定，但 f(x) 在 F 上的分裂域并不唯一，它取决于逐步扩张的选择。 . . . 2 但是，可以证明，无论以何种次序进行扩张，得到的分裂域都是同构的；所以在同构的意义下，分裂域是唯一的。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 分裂域的唯一性。 . . . . . . . . . . 1 从前面定理的证明可以看出，即使 f(x) 和其所在的域 F 都已经给定，但 f(x) 在 F 上的分裂域并不唯一，它取决于逐步扩张的选择。 . . . 2 但是，可以证明，无论以何种次序进行扩张，得到的分裂域都是同构的；所以在同构的意义下，分裂域是唯一的。 . . . 3 这个结论的证明比较难理解，我们只给出结论。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

引理 . . . . . . . . F 是域，f(x) ∈ F[x]，则 f(x) 在 F[x] 上的分裂域在同构的意义下是惟一的。 . 定理 . . . . . . . . 设 φ : F1 → F2 是域同构，f(x) ∈ F1[x]，¯ f(x) 是 f(x) 在 φ 下的像。若 E1 = F(α1, α2, . . . , αn) 是 f(x) 在 F1 上的一个分裂域; E2 = F(β1, β2, . . . , βn) 是 ¯ f 在 F2 上的一个分裂域，则在 E1 与 E2 之间存在一个同构 ¯ φ, ¯ φ 在 F1 上的限制为 φ，且适当调整 αi 和 βj 的顺序，有 ¯ φ(αi) = βi 。广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

. . . . . . 代数扩张二次域多项式的分裂域本节完，谢谢！
磊张印晓广州大学数学与信息科学学院裴定一、徐详《信息安全数学基础》

信息安全数学基础：第8章：域（下）

信息安全数学基础：第8章：域（下）

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