統計の基礎5 t検定

統計の基礎5では、平均値の差の検定である、t検定について説明します。

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1. 統計の基礎5 t検定 2020/8/22 Ver. 1.0
2. t検定とは？ 平均の差を調べる検定法 • 集団は正規分布し、分散が同じと仮定（等分散＊） • t分布を利用した検定法 • 帰無仮説を「差がない」とする ＊分散の仮定の無い場合のt検定もある
3. t分布 標本が小さい時の母平均推定に用いられる分布 = ҧ − / • 分母は標準誤差 • 分子は標本平均と母平均の差 tの分布がt分布となる t: t統計量、: 母平均、 ҧ : 標本平均、S: 標本の標準偏差、n: 標本数
4. t分布の形 自由度がパラメータとなる • 自由度が小さいと幅がやや広くなる • 自由度が無限大に近づくと正規分布 になる
5. 自由度とは？ 変数のうち、独立に選ぶことができるものの数 • 不偏分散のn-1は自由度 • t分布の自由度もn-1＊ ＊不偏分散を仮定するため、不偏分散の自由度n-1と同じになる
6. 平均値の信頼区間 母平均の信頼区間はt分布＊で求める ＊母分散が未知のとき。既知なら正規分布で求める ＊任意でよいが、普通は95%信頼区間を求めることが多い • 平均値を求める標本の数はn • t分布の自由度はn-1になる • α%信頼区間として求める（ αは任意の数＊） ത − −1 2 ∙ ≤ ≤ ത + −1 ( 2 ) ∙
7. 信頼区間の求め方 古典的には分布表＊から求める • 信頼区間と自由度、範囲を記載したテーブル • RやPythonなら計算ができる Rでの計算例（1,2,3,4,5の95%信頼区間） ＊http://www2.vmas.kitasato-u.ac.jp/lecture0/statistics/ttest.pdf
8. 一群のt検定 母平均がある値でない可能性について検定する （＊これは正規分布なので少し違う） • 帰無仮説: 平均が0 • t統計量が4.24、自由度は4 • p値が0.01324 ＊alternative hypothesisは対立仮説で、帰無仮説の棄却により得られるもの
9. p値の意味 t分布の範囲の割合のこと • 左図は自由度4のt分布 • t統計量 4.24、－4.24に縦線 • 赤線の外側になる確率がp値 t分布は平均値の信頼区間を示す
10. p値の意味2 t分布は平均値の信頼区間を示す 平均が0と仮定したとき • 1,2,3,4,5の母平均が0になる確率がp値 • とても低い（1.324％） 低いため、仮定は矛盾する 帰無仮説は棄却できるとする
11. p値と帰無仮説の棄却 p値が低いと棄却できる • 一般的に0.05以下なら棄却できるとする • 棄却できたとき、有意な差があるとされる • 0.05には特に意味はない（低いとは言える）
12. 過誤 p値は平均値が0である確率だったので、 • 0.05なら、5%は0であると言える • 仮説の棄却が間違いである可能性が5%ある このような仮説検定の間違いを 過誤 と呼ぶ
13. 第一の過誤と第二の過誤 過誤には2種類がある 棄却する 棄却しない 実際に 差がある 有意な差 棄却しなかったが 実際には差がある 実際に 差がない 棄却したが 実際には差がない 差があるとは言えない • 青を第一の過誤（偽陽性）と呼ぶ • オレンジを第二の過誤（偽陰性）と呼ぶ
14. p値とサンプルサイズ サンプルが多くなると、p値は小さくなる 例）Rで平均0.25、標準偏差1の正規乱数からサンプルを取り、p値を計算＊ • 3個 • 5個 • 20個 • 50個 • 100個 0.606 0.326 0.246 0.239 0.076 ＊たまたまうまくいくが、本来1000回ぐらい繰り返し計算しないとまともな値にはならない
15. サンプルサイズとt統計量 = ҧ − / t統計量は標本平均と母平均の差を標準誤差で割ったもの 標準誤差 • 標準誤差はサンプルサイズと共に小さくなる • t統計量は大きくなり、p値は小さくなる サンプルサイズが大きければ、差が出やすくなる ＊帰無仮説では、μを0と仮定している
16. 検出力 第二の過誤を除き、有意差を検出できる確率のこと （偽陰性） = 1 − 検出力は0.8以上が好ましい＊とされる ＊特に理由があるわけではない power: 検出力、β: 第二の過誤の起こる確率
17. 検出力の図示と計算 図の赤色部がp値、青色部が第二の過誤 • 分布から青色を除いた部分が検出力 • 計算はRで行うのが簡単
18. 例数 所定の検出力を達成するために必要なサンプル数のこと 例）平均の差が1、標準偏差が1、p＝0.05のとき、検出力0.8を達成する 例数は17となる
19. 線形回帰: 傾きの有意性 傾きがゼロでないことはt検定で調べる • 傾きがゼロであれば、2値に関係はない • 相関係数のほうが一般的 これがt検定の結果
20. 2つの平均値の差の検定 差 平均値の差の分布がゼロより大きい・小さいことを示す 一群の平均値の検定と同じ問題である
21. 効果量（Cohen’s d） t検定では、差の有意性は検定するが、差の大きさは示さない 差の大きさ（効果量）はCohen’s dとして示す = ҧ 2 − ҧ 1 1 2 + 2 2 2 ҧ : 各群の平均値、s: 各群の標準偏差 dはばらつきを考慮した場合の差の大きさを示す
22. 片側と両側検定 平均値の差の分布がゼロより大きい・小さいことを示す どちらかが必ず大きいことがわかっているとき 大/小の両方を検証する必要はない 片方が大きいことが明らかな場合には、 大きいことだけ検証（片側検定） を利用できる
23. 片側と両側検定 片側検定では、検証するt統計量が片方のみとなる 片側のほうがp値が小さくなる
24. まとめ • t検定は仮説検定法の一つ • ある値と平均値の差を検定する • サンプル数に依存して結果が変わる • 平均値の差、回帰曲線の傾きの検定にも使われる